Вероятностно-статистические методы в обработке и интерпретации экспериментальных данных

Основные определения и понятия

Наблюдаемые при эксперименте события могут быть достоверными, невозможными, случайными.

Определение. Достоверным назовем событие, которое при одном и том же комплексе условий обязательно произойдет.

Определение. Если при одном и том же комплексе условий событие может произойти или не произойти, то такое событие назовем случайным.

Определение. Невозможным назовем событие, которое заведомо не может произойти при любом комплексе условий эксперимента.

Приведем примеры таких событий.

Достоверные: повышение температуры воздуха днем и понижение ночью; смена дня и ночи; появление зеленых листьев на деревьях весной и т.п.

Случайные: встретить своего знакомого во время прогулки по улице; резкое похолодание в июле; возникновение лесного пожара; потеря какого-либо предмета и т.п.

Невозможные: появление крокодила в лесотундре в дикой природе; уменьшение пористости породы в результате выветривания; уменьшение температуры при нагревании и т.п.

Определение. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же опыте.

Примером таких событий могут быть два взаимоисключающих вывода. Например, один исследователь сделал вывод о наличии аномалии в исследуемой области, а другой, на тех же данных, в то же время делает вывод об отсутствии аномалии в исследуемой области.

Другой пример. Двое стреляют по одной мишени по одному разу. В мишени обнаруживается только одно отверстие. Попадание одного стрелка в мишень в этом случае исключает попадание другого.

Определение. Суммой событий называется событие, состоящее в появлении одного из несовместных событий.

Если в последнем примере обозначить за $$$А$$$ - попадание в мишень первого стрелка, за $$$В$$$ - попадание в мишень второго стрелка, то поражение мишени один раз (событие $$$С$$$ ) может быть записано:$$\[C=A+B \]$$

Определение. Произведением событий назовем событие, состоящее в совместном появлении всех событий группы.

Тогда, следуя последнему определению, событие $$$(A \cdot B)$$$ будет обозначать попадание в мишень обоих стрелков, т.е. наличие в мишени двух отверстий.

Определение. События $$$A_{1},A_{2},\ldots,{A_k}$$$ образует полную группу событий, если они попарно несовместимы, а в сумме образуют достоверное событие, т.е. событие, которое непременно произойдет.

Определение. Противоположными событиями назовем два несовместных события, образующих полную группу.

Стрелок стреляет по мишени. Если обозначить $$$А$$$ - попадание, а $$$В$$$ - промах, то событие $$$(A+B)$$$ будет достоверным, следовательно А и В - противоположные события по этому определению.

В геологии в качестве события могут выступать любые конкретные значения любых физических объектов: погрешность образца породы, плотность и его трещиноватость, наличие осадконакопления, глубина заполнения и пр. В экономике в качестве события могут быть любые данные, полученные путем сбора информации о том или ином виде деятельности, выпуске продукции, занятости работников и пр.

Количественной мерой степени объективной возможности того или иного события $$$А$$$ служит вероятность его появления $$$P(A)$$$.

Определение. Вероятностью появления события А называется отношение количества благоприятных событию А исходов испытаний к общему количеству всех возможных исходов эксперимента.$$\[P(A)=\frac m n \]$$ где $$$m$ $$ - количество благоприятных исходов; $$$n $$$ - общее количество исходов эксперимента.

Пример 1. Бросают игральный кубик, на гранях которого от 1 до 6 точек. Найти вероятность выпадения 1.

Решение: Так как все грани равнозначны, то общее количество исходов 6. Нас интересует лишь один из всех - выпадение 1, следовательно, искомая вероятность по формуле (1) будет:$$\[ P(A)=\frac 1 6 \]$$

Пример 2. Бросают игральный кубик, на гранях которого от 1 до 6 точек. Найти вероятность того, что

выпадет число, не больше 3;

выпадет четное число;

выпадет 7;

выпадет число, большее 4.

Решение:

а) В данном случае, как и в примере 1, общее количество исходов 6, однако благоприятным событиями будет выпадение чисел 1, 2, 3. Следовательно, искомая вероятность в данном случае будет равна$$P(A)=\frac 3 6 =\frac 1 2 = 0,5$$

б) Количество четных цифр на гранях кубика три. Это числа 2, 4, 6. Искомая вероятность по формуле (1):$$P(A)=\frac 3 6 =\frac 1 2 = 0,5$$

в) На гранях кубка самое большое число 6, следовательно, количество благоприятных событий равно 0.$$P(A)=\frac 0 6 = 0,$$ т.е. выпадение числа 7 является невозможным событием.

г) Таких чисел только два, это 5 и 6, следовательно$$P(A)=\frac 2 6 =\frac 1 3$$

Сравнивая результаты вариантов а) и б), можно сказать что событие "выпадение числа не большего числа 3" и "выпадение четной цифры" равновероятны, а событие "выпадение четной цифры" более вероятно чем "выпадение цифры большей, чем 4".

Пример 3. Пусть теперь бросают два кубика одновременно. Определить вероятность появления двух одинаковых цифр.

Решение: Оба кубика являются независимыми и выпадение на одном кубике той или иной цифры не влияет на цифры, выпадающие на другом кубике. Кубики бросаются только один раз и события (выпадение конкретной грани на каждом из кубиков) наступают одновременно, т.е. по определению, здесь речь идет о произведении вероятностей. Однако, грани могут совпасть только 6 раз, поэтому интересующая нас вероятность будет равна:$$P(A)= \left( \frac 1 6 \cdot \frac 1 6 \right) \cdot 6 = \frac 1 6.$$

Пример 4. В ящике лежат образцы мрамора, кварца, песчаника и гранита, каждого по 4 экземпляра. Извлекают наудачу один образец. Какова вероятность, того что это будет:

образец мрамора;

образец не мрамора;

гранит или кварц;

образец гранодиорита?

Решение: а) По условию задачи совершенно нет разницы в том что, какой именно из образцов мрамора будет извлечен, поэтому число благоприятных исходов - 4. Всего в ящике находится 16 образцов, извлечение каждого из них равновозможно, поэтому вероятность извлечь образец мрамора будет равна:

$$P(A)=\frac 4 {16} =\frac 1 4 = 0,25.$$

б) Благоприятных исходов в данном случае значительно больше - 12, поэтому искомая вероятность будет:

$$P(A)=\frac {12} {16} =\frac 3 4 = 0,75.$$

т.е. значительно большая, чем в случае а). в) В условии задачи не различают, какой именно образец (гранит или кварц) будет извлечен, поэтому число благоприятных исходов будет равно суммарному количеству образцов кварца и гранита - 8. Тогда вероятность их извлечения равна

$$P(A)=\frac 8 {16} =\frac 1 2 = 0,5.$$

г) В ящике по условию нет образцов гранодиоритов, поэтому извлечение этого образца является невозможным событием, т.е.

$$P(A)=\frac 0 {16} = 0.$$

Более общим является статистическое определение вероятности.

Определение. Вероятностью события называют относительную частоту его появления при многократном воспроизведении комплекса условий эксперимента.

Заметим, что при большом числе опытов частота наступления события А стремится к вероятности в классическом ее определении.

Аксиомы теории вероятностей. Геометрическая вероятность

Аксиома 1. С каждым событием $$$А$$$ связывается некоторое число $$$P(A)$$$, которое называется его вероятностью и удовлетворяет условию $$$ 0 \leqslant P(A) \leqslant 1$$$.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице $$$P(U)=1$$$

Аксиома 3. Если событие поля испытаний состоит из несовместимых событий $$$A_{1},A_{2},\ldots,{A_k}$$$ того же поля, тогда$$\[P(A_{1}+A_{2}+\ldots+{A_k})= P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots+P({A_k}) \]$$ и читается как "вероятность наступления хотя бы одного из событий"

Пример 5. В ящике лежат 20 шаров различного цвета: 2 красных, по 4 синих и черных, а остальные - белые. Найти вероятность извлечения шара каждого цвета.

Решение: Дано: $$$n_{1}=2$$$ - красных; $$$n_{2}=4$$$ - синие; $$$n_{3}=4$$$ - черные; $$$n_{4}=N-\sum \limits_{i=1}^3 n_{i} $$$ - белые; $$$N=20$$$.

Нужно найти:

$$$P(A)-?$$$

$$$P(B)-?$$$

$$$P(C)-?$$$

$$$P(D)-?$$$

Обозначим события:

$$$A$$$ - выпадет шар красного цвета;

$$$B$$$ - выпадет шар синего цвета;

$$$C$$$ - выпадет шар черного цвета;

$$$D$$$ - выпадет шар белого цвета.

$$P(A)=\frac {n_{1}} N =\frac 2 {20} = 0,1;$$ $$P(B)=\frac {n_{2}} N =\frac 4 {20} = 0,2;$$ $$P(C)=\frac {n_{3}} N =\frac 4 {20} = 0,2;$$ $$P(D)=\frac {N-(n_{1}+n_{2}+n_{3})} N = \frac {20-(2+4+4)} {20} =\frac {20-10} {20} =0,5;$$

Ответ: $$$P(A)=0,1$$$ ; $$$P(B)=0,2$$$ ; $$$P(C)=0,2$$$ ; $$$P(D)=0,5$$$

Заметим, что в данном примере события $$$А$$$, $$$B$$$, $$$С$$$ и $$$D$$$ образуют полную группу событий, т.е. $$$P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0,1+0,2+0,2+0,5=1$$$.

Пример 6. Используя данные примера 5, найти вероятность извлечения синего или красного шара.

Решение: Шар по условию извлекается один, а события А и В независимые, причем наступление события А (вытащить красный шар) полностью исключает событие В (вытащить синий шар) и наоборот. Следовательно, по аксиоме 3 речь идет о поле испытаний.$$P(A+B)=P(A)+P(B)=0,1+0,2=0,3.$$ Любое событие в поле испытаний назовем элементарным событием. Если совокупность всех элементарных событий составляет полную группу событий, то$$P(A_{1}+A_{2}+\ldots+{A_k})= P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots+P({A_k})=1$$

Пример 7. В квадрат вписан круг. В квадрат многократно кидают точку. Найти вероятность того, что точка окажется в круге.

Решение:Вероятность попадания точки в круг определяется отношением площадью круга к площади квадрата (рис. 1.1):

(рис 1.1) Вероятность попадания точки в круг$$P(A)=\frac {S_{круга}} {S_{квадрата}}=\frac {\pi R^2} {(2R)^2} =\frac {\pi R^2} { 4R^2} = \frac {\pi} 4.$$

Пример 7. Двое студентов договорились встретиться с 13 до 14 часов, чтобы вместе пойти в читальный зал. Но так как ни один из них не смог указать точное время возможной встречи, то они договорились так: пришедший на место встречи ждет 15 минут и уходит один. Какова вероятность того, что студенты встретятся в условленном месте?

Решение: Предположим, что первый студент придет ровно в 13 часов, тогда второй должен подойти в любой момент времени от 13 до 13-15, чтобы встретиться с товарищем. Если первый придет в 13-01, то и для второго интервал встречи сместится с 13-01 до 13-16 , и так далее, до окончания часа. Это можно изобразить геометрически (рис. 1.2).

(рис 1.2) Геометрическая интерпретация задачи о встрече: первый студент

Заштрихованная часть графика отмечает период времени, когда встреча возможна. Если второй студент придет в момент времени, соответствующий не заштрихованной части рис. 1.2, то тогда на условленном месте друзья не встретятся.

Предположим теперь, что первым придет второй студент, то рассуждая аналогично относительно первого, получим график (рис. 1.3), на котором заштрихованная часть графика соответствует встрече друзей.

(рис 1.3) Геометрическая интерпретация задачи о встрече: второй студент

Если теперь совместить оба графика на одном чертеже (рис. 1.4), то тогда отношение площадей заштрихованной фигуры к общей площади квадрата даст искомую вероятность:

(рис 1.4) Геометрическая интерпретация задачи о встрече: совмещение графиков$$P(A)=\frac {S_{ф}} {S_{кв}}=\frac {1-(\frac 3 4)^2} 1 = \frac 7 {16}.$$

Использование геометрии при решении задач по теории вероятностей иногда приводит к более простым решениям по сравнению с аналитическими методами.

Для завершения этой темы рассмотрим еще один пример.

В ювелирном цеху в четырех ящичках лежат алмазы разной величины. В первом ящичке лежит 15 алмазов до 0,25 карата, во втором - 40 от 0,25 до 0,5 карата, в третьем - 30 алмазов от 0,5 до 0,75 карата, и, наконец, в четвертом - 15 алмазов от 0,75 до 1 карата. Стол случайно перевернули и алмазы рассыпались. Рабочий наугад поднимает один из рассыпавшихся алмазов…

Полная группа событий в этом примере состоит из 100 несовместных событий и равновозможных исходов потому, что по условию рабочий поднимает наугад один из 100 рассыпавшихся, и тем самым одним из этих 100 алмазов будет обязательно поднят рабочим. Однако при этом поднятым алмазом может оказаться любой (в равной мере) из 100 рассыпавшихся.

Составим событие А1 (рабочий поднял алмаз, который лежал в первом ящичке) из 15 элементарных равновозможных событий первой полной группы, так как среди всех алмазов 15 были размером до 0,25 карата, т.е. с размерами в пределах допуска первой группы. И если рабочий поднимет один алмаз из первой группы, то событие А1 наступит.

Если бы все алмазы были бы пронумерованы в порядке возрастания размеров, например, Е1, Е2, …, Е100, то к первой группе по размерам отнеслись бы самые мелкие $$$ E_{1},E_{2},\ldots,{E_{15}}$$$, т.е. само событие $$$A_{1}$$$ подразделялось бы на 15 несовместных элементарных событий, т.е.

$$A_{1}= E_{1}+E_{2}+\ldots+{E_{15}}.$$

А поскольку все 100 элементарных исходов равновозможны, то вероятность события А1 (поднять любой алмаз размером до 0,25 карат) равна:

$$P(A_{1})=\frac {15} {100} = 0,15;$$

Аналогично находится и другие вероятности:$$P(A_{2})=\frac {40} {100} = 0,4; P(A_{3})=\frac {30} {100} = 0,3; P(A_{4})=\frac {15} {100} = 0,15;$$

Невозможным событием в данном случае будет то, что рабочий поднимет алмаз, который по своему размеру не будет подходить ни к одной из четырех групп.

Противоположное событие к $$$A_1$$$, обозначенное $$$\overline {A_{1}}$$$, будет заключаться в том, что поднятый алмаз окажется не принадлежащим по своим размерам к первой группе, т.е. он может принадлежать ко второй, третьей или четвертой:$$\overline {A_{1}}=A_{2}+A_{3}+A_{4},$$ а по определению$$P(\overline {A_{1}})=\frac {85} {100} = 0,85.$$

Аналогично,$$\[ \overline {A_{2}}=A_{1}+A_{3}+A_{4}, P(\overline A_{2})=\frac {60} {100} = 0,6.\]$$

События $$$\overline {A_{1}}$$$ и $$$\overline {A_{2}}$$$ совместны, так как, если поднятый алмаз не принадлежит ни первой, ни второй группе, то он может принадлежать третьей либо четвертой, т.е. оба события $$$\overline {A_{1}}$$$ и $$$\overline {A_{2}}$$$ могут наступить одновременно.

Отсюда следует, что событие $$$A_{3}+A_{4}$$$ (поднять алмаз из третьей или четвертой группы) влечет за собой события $$$\overline {A_{1}}$$$ и $$$\overline {A_{2}}$$$ (не поднять алмаз из первой или второй группы), т.е. $$$ A_{3}+A_{4} \subset \overline {A_{1}}$$$ и $$$ A_{3}+A_{4} \subset \overline {A_{2}}$$$, при этом

$$\[ P(A_{3}+A_{4})=0,45 < P(\overline {A_{1}})=0,85\]$$

и

$$\[ P(A_{3}+A_{4})=0,45 < P(\overline {A_{2}})=0,6.\]$$