Различные виды статистических данных

Объекты нечисловой природы как статистические данные. В эконометрике и прикладной математической статистике наиболее распространенный объект изучения - выборка $$x1, x2,...,xn$$, т.е. совокупность результатов $$n$$ наблюдений. В различных областях статистики результат наблюдения - это или число, или конечномерный вектор, или функция... Соответственно проводится, как уже отмечалось, деление прикладной математической статистики: одномерная статистика, многомерный статистический анализ, статистика временных рядов и случайных процессов... В статистике нечисловых данных в качестве результатов наблюдений рассматриваются объекты нечисловой природы, в частности, перечисленных выше видов - измерения в шкалах, отличных от абсолютной, бинарные отношения, вектора из 0 и 1, множества, нечеткие множества. Выборка может состоять из $$n$$ ранжировок или $$n$$ толерантностей, или $$n$$ множеств, или $$n$$ нечетких множеств и т.д.

Отметим необходимость развития методов статистической обработки "разнотипных данных", обусловленную большой ролью в прикладных исследованиях "признаков смешанной природы". Речь идет о том, что результат наблюдения состояния объекта зачастую представляет собой вектор, у которого часть координат измерена по шкале наименований, часть - по порядковой шкале, часть - по шкале интервалов и т.д. Статистические методы ориентированы обычно либо на абсолютную шкалу, либо на шкалу наименований (анализ таблиц сопряженности), а потому зачастую непригодны для обработки разнотипных данных. Есть и более сложные модели разнотипных данных, например, когда некоторые координаты вектора наблюдений описываются нечеткими множествами.

Для обозначения подобных неклассических результатов наблюдений в 1979 г. в монографии [] предложен собирательный термин - объекты нечисловой природы. Термин "нечисловой" означает, что структура пространства, в котором лежат результаты наблюдений, не является структурой действительных чисел, векторов или функций, она вообще не является структурой линейного (векторного) пространства. При расчетах объекты числовой природы, разумеется, изображаются с помощью чисел, но эти числа нельзя складывать и умножать.

С целью "стандартизации математических орудий" (выражение группы французских математиков Н. Бурбаки) целесообразно разрабатывать методы статистического анализа данных, пригодные одновременно для всех перечисленных выше видов результатов наблюдений. Кроме того, в процессе развития прикладных исследований выявляется необходимость использования новых видов объектов нечисловой природы, отличных от рассмотренных выше, например, в связи с развитием статистических методов обработки текстовой информации. Поэтому целесообразно ввести еще один вид объектов нечисловой природы - объекты произвольной природы, т.е. элементы множеств, на которые не наложено никаких условий (кроме "условий регулярности", необходимых для справедливости доказываемых теорем). Другими словами, в этом случае предполагается, что результаты наблюдений (элементы выборки) лежат в произвольном пространстве $$X$$. Для получения теорем необходимо потребовать, чтобы $$X$$ удовлетворяло некоторым условиям, например, было так называемым топологическим пространством. Как известно, ряд результатов классической математической статистики получен именно в такой постановке. Так, при изучении оценок максимального правдоподобия элементы выборки могут лежать в пространстве произвольной природы. Это не влияет на рассуждения, поскольку в них рассматривается лишь зависимость плотности вероятности от параметра. Методы классификации, использующие лишь расстояние между классифицируемыми объектами, могут применяться к совокупностям объектов произвольной природы, лишь бы в пространстве, где они лежат, была задана метрика. Цель статистики нечисловых данных (в некоторых литературных источниках используется термин "статистика объектов нечисловой природы") состоит в том, чтобы систематически рассматривать методы статистической обработки данных как произвольной природы, так и относящихся к указанным выше конкретным видам объектов нечисловой природы, т.е. методы описания данных, оценивания и проверки гипотез. Взгляд с общей точки зрения позволяет получить новые результаты и в других областях прикладной статистики.

Использование объектов нечисловой природы при формировании статистической или математической модели реального явления. Использование объектов нечисловой природы часто порождено желанием обрабатывать более объективную, более освобожденную от погрешностей информацию. Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах. Другими словами, использование объектов нечисловой природы - средство повышения устойчивости эконометрических и экономико-математических моделей реальных явлений. Сначала конкретные области статистики объектов нечисловой природы (а именно – прикладная теория измерений, нечеткие и случайные множества) были рассмотрены в монографии [], как частные постановки проблемы устойчивости математических моделей социально-экономических явлений и процессов к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели, а затем пришли к пониманию необходимости проведения работ по развитию статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного научного направления.

Обсуждение начнем со шкал измерения. Науку о единстве мер и точности измерений называют метрологией. Таким образом, репрезентативная теория измерений - часть метрологии. Методы обработки данных должны быть адекватны относительно допустимых преобразований шкал измерения в смысле репрезентативной теории измерений. Однако, как было отмечено ранее (см. 1.2), проблема установления типа шкалы, относится, скорее всего, к наукам о человеке и для ее решения необходимо определенное время. Пока же целесообразно в неясных случаях принимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.

Порядковые шкалы широко распространены не только в социально-экономических исследованиях. Они применяются в медицине - шкала стадий гипертонической болезни по Мясникову, шкала степеней сердечной недостаточности по Стражеско-Василенко-Лангу, шкала степени выраженности коронарной недостаточности по Фогельсону; в минералогии - шкала Мооса (тальк - 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10), по которой минералы классифицируются согласно критерию твердости; в географии - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и др.) и т.д. Напомним, что по шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой, на которой не отмечены ни начало, ни единица измерения; по шкале отношений - цены в экономике; большинство физических единиц – массу тела, длину, заряд. Время измеряется по шкале разностей, если год принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может меняться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее - теплее), затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра) и наконец, после открытия абсолютного нуля температур - по шкале отношений (шкала Кельвина). Следует отметить, что среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины.

Отметим, что термин "репрезентативная" использовался, чтобы отличить рассматриваемый подход к теории измерений от классической метрологии, а также от работ А.Н. Колмогорова и А. Лебега, связанных с измерением геометрических величин, от "алгоритмической теории измерения" и др.

Необходимость использования в математических моделях реальных явлений таких объектов нечисловой природы, как бинарные отношения, множества, нечеткие множества, кратко была показана выше. Здесь же обратим внимание, что используемые в классической статистике результаты наблюдений также "не совсем числа". А именно, любая величина $$X$$ измеряется всегда с некоторой погрешностью $$\Delta X$$ и результатом наблюдения является

$$Y=X+\Delta X$$

Как уже отмечалось, погрешностями измерений занимается метрология. Отметим справедливость следующих фактов:

для большинства реальных измерений невозможно полностью исключить систематическую ошибку, т.е. $$M(\Delta X)\ne 0$$ ;

распределение $$\Delta X$$ в подавляющем большинстве случаев не является нормальным (см. лекцию 5);

измеряемую величину $$X$$ и погрешность ее измерения $$\Delta X$$ обычно нельзя считать независимыми случайными величинами;

распределение погрешностей оценивается по результатам специальных наблюдений, следовательно, полностью известным считать его нельзя; зачастую исследователь располагает лишь границами для систематической погрешности и оценками таких характеристик для случайной погрешности, как дисперсия или размах.

Приведенные факты показывают ограниченность области применимости распространенной модели погрешностей, в которой $$X$$ и $$\Delta X$$ рассматриваются как независимые случайные величины, причем $$\Delta X$$ имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием.

Строго говоря, результаты наблюдения всегда имеют дискретное распределение, поскольку описываются числами с небольшим (1 – 5) числом значащих цифр. Возникает дилемма: либо признать, что непрерывные распределения - фикция, и прекратить ими пользоваться, либо считать, что непрерывные распределения имеют "реальные" величины $$X$$, которые мы наблюдаем с принципиально неустранимой погрешностью $$\Delta X$$. Первый выход в настоящее время нецелесообразен, так как потребует отказаться от большей части разработанного математического аппарата. Из второго следует необходимость изучения влияния неустранимых погрешностей на статистические выводы.

Погрешности $$\Delta X$$ можно учитывать либо с помощью вероятностной модели ( $$\Delta X$$ - случайная величина, имеющая функцию распределения, вообще говоря, зависящую от $$X$$ ), либо с помощью нечетких множеств. Во втором случае приходим к теории нечетких чисел и к ее частному случаю - статистике интервальных данных (см. лекцию 12).

Другой источник появления погрешности $$\Delta X$$ связан с принятой в конструкторской и технологической документации системой допусков на контролируемые параметры изделий и деталей, с использованием шаблонов при проверке контроля качества продукции []. В этих случаях характеристики $$\Delta X$$ определяются не свойствами средств измерения, а применяемой технологией проектирования и производства. В терминах прикладной статистики сказанному соответствует группировка данных, при которой мы знаем, какому из заданных интервалов принадлежит наблюдение, но не знаем точного значения результата наблюдения. Применение группировки может дать экономический эффект, поскольку зачастую легче (в среднем) установить, к какому интервалу относится результат наблюдения, чем точно измерить его.

Объекты нечисловой природы как результат статистической обработки данных. Объекты нечисловой природы появляются не только на "входе" статистической процедуры, но и в процессе обработки данных, и на "выходе" в качестве итога статистического анализа.

Рассмотрим простейшую прикладную постановку задачи регрессии (см. также лекцию 9). Исходные данные имеют вид $$(x_i,y_i)\in R^2, i=1,2,...,n$$ Цель состоит в том, чтобы с достаточной точностью описать y как полином от x, т.е. модель имеет вид

$$y_i=\sum_{k=0}^m a_j x_i^k+\varepsilon_i$$

где $$m$$ - неизвестная степень полинома; $$a_0,a_1,a_2,...,a_m$$ - неизвестные коэффициенты многочлена; $$\varepsilon_i,i=1,2,...,n$$ - погрешности, которые для простоты примем независимыми и имеющими одно и то же нормальное распределение. (Здесь наглядно проявляется одна из причин живучести статистических моделей на основе нормального распределения. Такие модели, как правило, неадекватны реальной ситуации (см. лекцию 5), но с математической точки зрения позволяют проникнуть глубже в суть изучаемого явления. Поэтому они пригодны для первоначального анализа ситуации, как и в рассматриваемом случае. Дальнейшие научные исследования должны быть направлены на снятие нереалистического предположения нормальности и перехода к непараметрическим моделям погрешности.) Распространенная процедура такова: сначала пытаются применить модель (2) для линейной функции ( $$m = 1$$ ), при неудаче (неадекватности модели) переходят к многочлену второго порядка ( $$m = 2$$ ), если снова неудача, то берут модель (2) с $$m = 3$$ и т.д. (адекватность модели проверяют по $$F$$ -критерию Фишера).

Обсудим свойства этой процедуры в терминах прикладной статистики. Если степень полинома задана ( $$m = m_0$$ ), то его коэффициенты оценивают методом наименьших квадратов, свойства этих оценок хорошо известны (см., например, , гл.26]). Однако в описанной выше реальной постановке m тоже является неизвестным параметром и подлежит оценке. Таким образом, требуется оценить объект ( $$m, a_0, a_1, a_2, ..., a_m$$ ), множество значений которого можно описать как $$R^1\bigcup R^2\bigcup R^3\bigcup..$$. Это - объект нечисловой природы, обычные методы оценивания для него неприменимы, так как $$m$$ - дискретный параметр. В рассматриваемой постановке разработанные к настоящему времени методы оценивания степени полинома носят в основном эвристический характер (см., например, гл.12 монографии []). Свойства описанной выше распространенной процедуры рассмотрены в лекции 9. Там показано, что степень полинома $$m$$ при этом оценивается несостоятельно, и найдено предельное распределение оценки этого параметра, оказавшееся геометрическим.

В более общем случае линейной регрессии данные имеют вид $$(y_i,X_i),i=1,2,...,n$$ где $$X_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{iN})\in R^N$$ - вектор предикторов (факторов, объясняющих переменных), а модель такова:

$$y_i=\sum_{j\in K} a_j x_{ij}+\varepsilon_i,i=1,2,...,n$$

(здесь $$K$$ - некоторое подмножество множества $$\{1,2,...,n\}$$ ; - те же, что и в модели (2); $$a_j$$ - неизвестные коэффициенты при предикторах с номерами из $$K)$$. Модель (2) сводится к модели (3), если

$$x_{i1}=1,x_{i1}=x_1,x_{i2}=x_i^2,x_{i3}=x_i^3,...,x_{ij}=x_i^{j-1},...$$

В модели (2) есть естественный порядок ввода предикторов в рассмотрение - в соответствии с возрастанием степени, а в модели (3) естественного порядка нет, поэтому здесь стоит произвольное подмножество множества предикторов. Есть только частичный порядок - чем мощность подмножества меньше, тем лучше. Модель (3) особенно актуальна в технических исследованиях (см. многочисленные примеры в журнале "Заводская лаборатория"). Она применяется в задачах управления качеством продукции и других технико-экономических исследованиях, в экономике, маркетинге и социологии, когда из большого числа факторов, предположительно влияющих на изучаемую переменную, надо отобрать по возможности наименьшее число значимых факторов и с их помощью сконструировать прогнозирующую формулу (3).

Задача оценивания модели (3) разбивается на две последовательные задачи: оценивание множества $$K$$ - подмножества множества всех предикторов, а затем - неизвестных параметров $$a_j$$. Методы решения второй задачи хорошо известны и подробно изучены. Гораздо хуже обстоит дело с оцениванием объекта нечисловой природы $$K$$. Как уже отмечалось, существующие методы - в основном эвристические, они зачастую не являются даже состоятельными. Даже само понятие состоятельности в данном случае требует специального определения. Пусть $$K_0$$ - истинное подмножество предикторов, т.е. подмножество, для которого справедлива модель (3), а подмножество предикторов $$K_n$$ - его оценка. Оценка $$K_n$$ называется состоятельной, если

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \textit{Card}(K_n\Delta K_0)=0,$$

где $$\Delta$$ - символ симметрической разности множеств; $$\textit{Card}(K)$$ означает число элементов в множестве $$K$$, а предел понимается в смысле сходимости по вероятности.

Задача оценивания в моделях регрессии, таким образом, разбивается на две - оценивание структуры модели и оценивание параметров при заданной структуре. В модели (2) структура описывается неотрицательным целым числом $$m$$, в модели (3) - множеством $$K$$. Структура - объект нечисловой природы. Задача ее оценивания сложна, в то время как задача оценивания численных параметров при заданной структуре хорошо изучена, разработаны эффективные (в смысле прикладной математической статистики) методы.

Такова же ситуация и в других методах многомерного статистического анализа - в факторном анализе (включая метод главных компонент) и в многомерном шкалировании, в иных оптимизационных постановках проблем прикладного многомерного статистического анализа.

Перейдем к объектам нечисловой природы на "выходе" статистической процедуры. Примеры многочисленны. Разбиения - итог работы многих алгоритмов классификации, в частности, алгоритмов кластер-анализа. Ранжировки - результат упорядочения профессий по привлекательности или автоматизированной обработки мнений экспертов - членов комиссии по подведению итогов конкурса научных работ. (В последнем случае используются ранжировки со связями; так, в одну группу, наиболее многочисленную, попадают работы, не получившие наград.) Из всех объектов нечисловой природы, видимо, наиболее часты на "выходе" дихотомические данные - принять или не принять гипотезу; в частности, принять или забраковать партию продукции. Результатом статистической обработки данных может быть множество, например, зона наибольшего поражения при аварии, или последовательность множеств, например, "среднемерное" описание распространения пожара (см. главу 4 в монографии []). Нечетким множеством Э. Борель [] еще в начале ХХ в. предлагал описывать представление людей о числе зерен, образующем "кучу". С помощью нечетких множеств формализуются значения лингвистических переменных, выступающих как итоговая оценка качества систем автоматизированного проектирования, сельскохозяйственных машин, бытовых газовых плит, надежности программного обеспечения или систем управления. Можно констатировать, что все виды объектов нечисловой природы могут появляться "на выходе" статистического исследования.

1.4. Нечеткие множества - частный случай нечисловых данных

Нечеткие множества. Пусть $$A$$ - некоторое множество. Подмножество $$B$$ множества $$A$$ может быть задано своей характеристической функцией

$$\mu_B(x)= \left \{ \begin{gathered} 1,x\in B,\\ 0,x\notin B \end{gathered} \right.$$

Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество $$C$$ множества $$A$$ характеризуется своей функцией принадлежности $$\mu_C:A\rightarrow [0,1]$$. Значение функции принадлежности в точке $$х$$ показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству. Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке х - она одновременно и входит, и не входит в нечеткое множество $$С$$. За вхождение - $$\mu_C(x)$$ шансов, за второе - $$(1-\mu_C(x))$$ шансов.

Если функция принадлежности $$\mu_C(x)$$ имеет вид (1) при некотором $$B$$, то $$C$$ есть обычное (четкое) подмножество $$A$$. Таким образом, теория нечетких множество является не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества - частный случай нечетких. Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости, как целое, обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения, например, в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности

$$\mu_B(x)= \left \{ \begin{gathered} 1,x\in [a,b],\\ 0,x\notin [a,b] \end{gathered} \right.$$

задает интервальную неопределенность - про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале $$[a,b]$$. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено в 1965 г. работой американского ученого азербайджанского происхождения Л.А. Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г. [].

Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятиями, качеством продукции и технологическими процессами, при описании предпочтений потребителей и варки стали.

Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.

Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть $$C$$ и $$D$$ - два нечетких подмножества $$A$$ с функциями принадлежности $$\mu_C(x)$$ и $$\mu_D(x)$$ соответственно. Пересечением $$C\bigcap D$$, произведением $$CD$$, объединением $$C\bigcup D$$, отрицанием $$\overline{C}$$, суммой $$C+D$$ называются нечеткие подмножества $$A$$ с функциями принадлежности

$$\begin{multiline*} \mu_{C\cap D}(x)=\min(\mu_C(x),\mu_D(x)),\mu_{CD}(x)=\mu_C(x)\mu_D(x),\mu_{\overline{C}}(x)=1-\mu_C(x), \\ \mu_{C\cup D}(x)=\max(\mu_C(x),\mu_D(x)),\mu_{C+D}(x)=\mu_C(x)+\mu_D(x)-\mu_C(x)\mu_D(x),x\in A \end{multiline*}$$

соответственно.

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Соответствующий цикл теорем приведен ниже в лекции 4. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.

Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества $$Y$$.

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами де Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

$$\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap\overline{B},\overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup\overline{B}.$$

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

$$\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap\overline{B},\overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup\overline{B},$$ $$\overline{A+B}=\overline{A}\overline{B},\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}.$$

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (3) и (4) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества (3) и (4) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (2), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (2) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, $$A+A\ne A$$ за исключением случая, когда $$А$$ - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств $$А$$, $$В$$ и $$С$$

$$A\bigcap(B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup(A\bigcap C)$$

В то же время равенство

$$A(B+C)=AB+AC$$

справедливо тогда и только тогда, когда при всех $$y\in Y$$

$$(\mu_A^2(y)-\mu_A(y))\mu_B(y)\mu_C(y)=0.$$

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент $$y\in Y$$. Для сокращения записи обозначим $$a=\mu_A(y),b=\mu_B(y),c=\mu_C(y)$$ Для доказательства тождества (5) необходимо показать, что

$$\min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c))$$

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел $$a, b, c$$. Пусть сначала $$a\leq b\leq c$$. Тогда левая часть соотношения (7) есть $$\min(a,c)=a$$, а правая $$\max(a,a)=a$$, т.е. равенство (7) справедливо.

Пусть $$b\leq c\leq a$$. Тогда в соотношении (7) слева стоит $$\min(a,c)=c$$, а справа $$\max(b,a)=a$$, т.е. соотношение (7) опять является равенством.

Если $$b\leq c\leq a$$, то в соотношении (7) слева стоит $$\min(a,c)=c$$, а справа $$\max(b,c)=c$$, т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел $$a, b, c$$ разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа $$b$$ и $$c$$ входят симметрично. Тождество (5) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

$$\mu_{A(B+C)}(y)=a(b+c-bc)=ab+ac-abc$$

и

$$\mu_{AB+AC}(y)=ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac-a^2bc.$$

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда $$a^2bc = abc$$, что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества $$А$$ называется совокупность всех точек $$y\in Y$$, для которых $$\mu_A(y)>0$$.

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств $$B$$ и $$C$$ совпадают с $$Y$$, то равенство (6) имеет место тогда и только тогда, когда $$A$$ - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию $$\mu_B(y)\mu_C(y)\ne 0$$ при всех $$y\in Y$$. Тогда из теоремы 2 следует, что $$\mu_A^2(y)-\mu_A(y)=0$$, т.е. $$\mu_A(y)=1$$ или $$\mu_A(y)=0$$, что и означает, что $$A$$ - четкое множество.

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. Понятие "богатый" часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 2004 г. небольшое пилотное социологическое исследование представления различных слоев населения о понятии "богатый человек".

Мини-анкета опроса выглядела так:

При каком месячном доходе (в тыс. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?

Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:

a) богатые;

б) достаток выше среднего;

в) достаток ниже среднего;

г) бедные;

д) за чертой бедности.

(В дальнейшем вместо полного наименования категорий будем оперировать буквами, например "в" - категория, "б" - категория и т.д.)

Ваша профессия, специальность.

Всего было опрошено 74 человека, из них 40 - научные работники и преподаватели, 34 человека - не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл.1.3, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы - в табл.1.4.

Типичные ответы научных работников и преподавателей

Ответы на вопрос 3	Ответы на вопрос 1	Ответы на вопрос 2	Пол
Кандидат наук	6	д	ж
Преподаватель	6	в	ж
Доцент	6	б	ж
Учитель	60	в	м
Старший научный сотрудник	60	д	м
Инженер-физик	140	д	ж
Программист	150	г	м
Научный работник	270	г	м

Типичные ответы работников коммерческой сферы

Ответы на вопрос 3	Ответы на вопрос 1	Ответы на вопрос 2	Пол
Вице-президент банка	600	а	ж
Зам. директора банка	300	б	ж
Начальник кредитного отдела	300	б	м
Начальник отдела ценных бумаг	60	б	м
Главный бухгалтер	120	д	ж
Бухгалтер	90	в	ж
Менеджер банка	66	б	м
Начальник отдела проектирования	60	в	ж

Разброс ответов на первый вопрос - от 6 до 600 тыс. руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатства у финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных (см. гистограммы на рис.1.1,1.2 ниже).

Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретное значение суммы, которая необходима "для полного счастья", пусть даже с небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 1.3 и 1.4, денежный эквивалент богатства колеблется от 6 до 600 тыс. руб. в месяц. Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющем большинстве причисляют свой достаток к категории "в" и ниже (81% опрошенных), в том числе к категории "д" отнесли свой достаток 57%.

Со служащими коммерческих структур и бюджетных организаций иная картина: "г" - категория 1 человек (4%), "д" - категория 4 человека (17%), "б" - категория - 46% и 1 человек "а" - категория.

Пенсионеры, что не вызывает удивления, отнесли свой доход к категории "д" (4 человека), и лишь один человек указал "г" - категорию. Рабочие же ответили так: 4 человека - "в", и один человек - "б".

Для представления общей картины в табл.1.5 приведены данные об ответах работников других профессий.

Типичные ответы работников различных профессий

Ответы на вопрос 3	Ответы на вопрос 1	Ответы на вопрос 2	Пол
Работник торговли	6	б	ж
Дворник	12	в	ж
Водитель	60	в	м
Военнослужащий	60	в	м
Владелец бензоколонки	120	б	ж
Пенсионер	36	д	ж
Начальник фабрики	120	б	м
Хирург	30	в	м
Домохозяйка	60	в	м
Слесарь-механик	150	в	м
Юрист	60	б	м
Оператор ЭВМ	120	д	м
Работник собеса	18	д	ж
Архитектор	150	б	ж

Прослеживается интересное явление: чем выше планка богатства для человека, тем к более низкой категории относительно этой планки он себя относит.

Для сводки данных естественно использовать гистограммы. Для этого необходимо сгруппировать ответы. Использовались 7 классов (интервалов):

– до 30 тыс. руб. в месяц на человека (включительно);

– от 30 до 60 тыс. руб.;

– от 60 до 90 тыс. руб.;

– от 90 до 120 тыс. руб.;

– от 120 до 150 тыс. руб.;

– от 150 до 180 тыс. руб;

– более 180 тыс.

(Во всех интервалах левая граница исключена, а правая, наоборот, включена.)

Сводная информация представлена на рис.1.1 (для научных работников и преподавателей) и рис.1.2 (для всех остальных, т.е. для лиц, не занятых в сфере науки и образования - служащих иных бюджетных организаций, коммерческих структур, рабочих, пенсионеров).

(рис 1.2) Гистограмма ответов на вопрос 1 для научных работников и преподавателей (40 чел.)(рис 1.1) Гистограмма ответов на вопрос 1 для лиц, не занятых в сфере науки и образования (34 чел.)

Для двух выделенных групп, а также для некоторых подгрупп второй группы рассчитаны сводные средние характеристики - выборочные средние арифметические, медианы, моды. При этом медиана группы - количество тыс. руб., названное центральным по порядковому номеру опрашиваемым в возрастающем ряду ответов на вопрос 1, а мода группы - интервал, на котором столбик гистограммы - самый высокий, т.е. в него "попало" максимальное количество опрашиваемых. Результаты приведены в табл.1.6.

Сводные средние характеристики ответов на вопрос 1 для различных групп (в тыс. руб. в мес. на чел.)

Группа опрошенных	Среднее арифметическое	Медиана	Мода
Научные работники и преподаватели	70	43,5	(30; 60)
Лица, не занятые в сфере науки и образования	86,4	120,0	(30; 60)
Служащие коммерческих структур и бюджетных организаций	107,5	60	(30; 60)
Рабочие	90,0	78,0	-
Пенсионеры	61,8	60,0	-

Построим нечеткое множество, описывающее понятие "богатый человек" в соответствии с представлениями опрошенных. Для этого составим табл.1.7 на основе рис.1.1 и рис.1.2 с учетом размаха ответов на первый вопрос.

Число ответов, попавших в интервалы

№ п/п	Номер интервала	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	Интервал, тыс. руб. в месяц	(0;6)	[6;30]	(30;60]	(60;90]	(90;120]	(120;150]	(150;180]	(180;600)	[600;+ $$\infty$$ )
2	Число ответов в интервале	0	19	21	13	5	6	7	2	1
3	Доля ответов в интервале	0	0,257	0,284	0,176	0,068	0,081	0,095	0,027	0,013
4	Накопленное число ответов	19	40	53	58	64	71	73	74
5	Накопленная доля ответов	0	0,257	0,541	0,716	0,784	0,865	0,960	0,987	1,000

Пятая строка табл.1.7 задает функцию принадлежности нечеткого множества, выражающего понятие "богатый человек" в терминах его ежемесячного дохода. Это нечеткое множество является подмножеством множества из 9 интервалов, заданных в строке 2 табл.5. Или множества из 9 условных номеров {0, 1, 2, …, 8}. Эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из ответов 74 опрошенных на первый вопрос мини-анкеты, описывает понятие "богатый человек" как нечеткое подмножество положительной полуоси.

О разработке методики ценообразования на основе теории нечетких множеств. Для оценки значений показателей, не имеющих количественной оценки, можно использовать методы нечетких множеств. Например, в диссертации П.В. Битюкова [] нечеткие множества применялись при моделировании задач ценообразования на электронные обучающие курсы, используемые при дистанционном обучении. Им было проведено исследование значений фактора "Уровень качества курса" с использованием нечетких множеств. В ходе практического использования предложенной П.В. Битюковым методики ценообразования значения ряда других факторов могут также определяться с использованием теории нечетких множеств. Например, ее можно использовать для определения прогноза рейтинга специальности в вузе с помощью экспертов, а также значений других факторов, относящихся к группе "Особенности курса". Опишем подход П.В. Битюкова, как пример практического использования теории нечетких множеств.

Значение оценки, присваиваемой каждому интервалу для фактора "Уровень качества курса", определяется на универсальной шкале [0,1], где необходимо разместить значения лингвистической переменной "Уровень качества курса": НИЗКИЙ, СРЕДНИЙ, ВЫСОКИЙ. Степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа ответов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному (для этого значения) числу ответов по всем интервалам.

Был проведен опрос экспертов о степени влияния уровня качества электронных курсов на их потребительную ценность. Каждому эксперту в процессе опроса предлагалось оценить с позиции потребителя ценность того или иного класса курсов в зависимости от уровня качества. Эксперты давали свою оценку для каждого класса курсов по 10-ти балльной шкале (где 1 - min, 10 - max). Для перехода к универсальной шкале [0,1] все значения 10-ти балльной шкалы оценки ценности были разделены на максимальную оценку, т.е. на 10.

Используя свойства функции принадлежности, необходимо предварительно обработать данные для того, чтобы уменьшить искажения, вносимые опросом. Естественными свойствами функций принадлежности являются наличие одного максимума и гладкие, затухающие до нуля фронты. Для обработки статистических данных можно воспользоваться так называемой матрицей подсказок. Предварительно удаляются явно ошибочные элементы. Критерием удаления служит наличие нескольких нулей в строке вокруг этого элемента.

Элементы матрицы подсказок вычисляются по формуле:

$$k_j=\sum_{i=1}^n b_{ij}, j=\overline{1,n},$$

где $$b_{ij}$$ - элемент таблицы с результатами анкетирования, сгруппированными по интервалам. Матрица подсказок представляет собой строку, в которой выбирается максимальный элемент: $$k_{\max}=\max_j k_j$$, и далее все ее элементы преобразуются по формуле:

$$c_{ij}=\frac{b_{ij}k_{\max}}{k_i},i=\overline{1,m},j=\overline{1,n}.$$

Для столбцов, где $$k_j = 0$$, применяется линейная аппроксимация:

$$c_{ij}=\frac{c_{ij-1}+c_{ij+1}}{2}, i=\overline{1,m},j=\overline{1,n}.$$

Результаты расчетов сводятся в таблицу, на основании которой строятся функции принадлежности. Для этого находятся максимальные элементы по строкам: $$c_{i\max}=\max_j c_{ij}, i=\overline{1,m},j=\overline{1,n}$$. Функция принадлежности вычисляется по формуле: $$\mu_{ij}=c_{ij}/c_{i\max}$$. Результаты расчетов приведены в табл.1.8.

Значения функции принадлежности лингвистической переменной

$$\mu_i$$	Интервал на универсальной шкале
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$$\mu_1$$	0	0,2	1	1	0,89	0,67	0	0	0	0
$$\mu_2$$	0	0	0	0	0	0,33	1	1	0	0
$$\mu_3$$	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1

На рис.1.3 сплошными линиями показаны функции принадлежности значений лингвистической переменной "Уровень качества курса" после обработки таблицы, содержащей результаты опроса. Как видно из графика, функции принадлежности удовлетворяют описанным выше свойствам. Для сравнения пунктирной линией показана функция принадлежности лингвистической переменной для значения НИЗКИЙ без обработки данных.

(рис 1.3) График функций принадлежности значений лингвистической переменной "Уровень качества курса"

1.5. Данные и расстояния в пространствах произвольной природы

Как показано выше, исходные статистические данные могут иметь разнообразную математическую природу, являться элементами разнообразных пространств - конечномерных, функциональных, бинарных отношений, множеств, нечетких множеств и т.д. Следовательно, центральной частью прикладной статистики является статистика в пространствах произвольной природы. Эта область прикладной статистики сама по себе не используется при анализе конкретных данных. Это очевидно, поскольку конкретные данные всегда имеют вполне определенную природу. Однако общие подходы, методы, результаты статистики в пространствах произвольной природы представляют собой научный инструментарий, готовый для использования в каждой конкретной области.

Статистика в пространствах произвольной природы. Много ли общего у статистических методов анализа данных различной природы? На этот естественный вопрос можно сразу же однозначно ответить - да, очень много. Такой ответ будет постоянно подтверждаться и конкретизироваться на протяжении всего учебника. Несколько примеров приведем сразу же.

Прежде всего отметим, что понятия случайного события, вероятности, независимости событий и случайных величин являются общими для любых конечных вероятностных пространств и любых конечных областей значений случайных величин (см. лекции 2 и 5). Поскольку все реальные явления и процессы описываются с помощью математических объектов из конечных множеств, сказанное выше означает, что конечных вероятностных пространств и дискретных случайных величин (точнее, величин, принимающих значения в конечном множестве) достаточно для всех практических применений. Переход к непрерывным моделям реальных явлений и процессов оправдан только тогда, когда этот переход облегчает проведение рассуждений и выкладок. Например, находить определенные интегралы зачастую проще, чем вычислять значения сумм. Не могу не отметить, что приведенные соображения о взаимосоотнесении дискретных и непрерывных математических моделей автор услышал более 30 лет назад от академика А.Н. Колмогорова (ясно, что за конкретную формулировку несет ответственность автор настоящего учебника).

Основные проблемы прикладной статистики - описание данных, оценивание, проверка гипотез - также в своей существенной части могут быть рассмотрены в рамках статистики в пространствах произвольной природы. Например, для описания данных могут быть использованы эмпирические и теоретические средние, плотности вероятностей и их непараметрические оценки, регрессионные зависимости. Правда, для этого пространства произвольной природы должны быть снабжены соответствующим математическим инструментарием - расстояниями (показателями близости, мерами различия) между элементами рассматриваемых пространств.

Популярный в настоящее время метод оценивания параметров распределений - метод максимального правдоподобия - не накладывает каких-либо ограничений на конкретный вид элементов выборки. Они могут лежать в пространстве произвольной природы. Математические условия касаются только свойств плотностей вероятности и их производных по параметрам. Аналогично положение с методом одношаговых оценок, идущим на смену методу максимального правдоподобия (см. ], когда задачу прикладной статистики удается представить в оптимизационном виде. Общая теория проверки статистических гипотез также не требует конкретизации математической природы рассматриваемых элементов выборок. Это относится, например, к лемме Неймана-Пирсона или теории статистических решений. Более того, естественная область построения теории статистик интегрального типа - это пространства произвольной природы (см. лекцию 7).

Совершенно ясно, что в конкретных областях прикладной статистики накоплено большое число результатов, относящихся именно к этим областям. Особенно это касается областей, исследования в которых ведутся сотни лет, в частности, статистики случайных величин (одномерной статистики). Однако принципиально важно указать на "ядро" прикладной статистики - статистику в пространствах произвольной природы. Если постоянно "держать в уме" это ядро, то становится ясно, что, например, многие методы непараметрической оценки плотности вероятности или кластер-анализа, использующие только расстояния между объектами и элементами выборки, относятся именно к статистике объектов произвольной природы, а не к статистике случайных величин или многомерному статистическому анализу. Следовательно, и применяться они могут во всех областях прикладной статистики, а не только в тех, в которых "родились".

Расстояния (метрики). В пространствах произвольной природы нет операции сложения, следовательно, статистические процедуры не могут быть основаны на использовании сумм. Поэтому используется другой математический инструментарий, использующий понятия типа расстояния.

Как известно, расстоянием в пространстве $$Х$$ называется числовая функция двух переменных $$d(x,y), x\in X, y\in X$$, определенная на этом пространстве, т.е. в стандартных обозначениях $$d: X^2 \\rightarrow R^1$$, где $$R^1$$ - прямая, т.е. множество всех действительных чисел. Эта функция должна удовлетворять трем условиям (иногда их называют аксиомами):

неотрицательности: $$d(x,y) \geq 0$$, причем $$d(x,x) = 0$$, для любых значений $$x\in X, y\in X$$ ;

симметричности: $$d(x,y) = d(y,x)$$ для любых $$x\in X, y\in X$$ ;

неравенства треугольника: $$d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$$ для любых значений $$x\in X, y\in X, z\in X$$.

Для термина "расстояние" часто используется синоним - "метрика".

Пример 1. Если $$d(x,x) = 0$$ и $$d(x,y) = 1$$ при $$x\ne y$$ для любых значений $$x\in X, y\in X$$, то, как легко проверить, функция $$d(x,y)$$ - расстояние (метрика). Такое расстояние естественно использовать в пространстве $$Х$$ значений номинального признака: если два значения (например, названные двумя экспертами) совпадают, то расстояние равно 0, а если различны - то 1.

Пример 2. Расстояние, используемое в геометрии, очевидно, удовлетворяет трем приведенным выше аксиомам. Если $$Х$$ - это плоскость, а $$х(1)$$ и $$х(2)$$ - координаты точки $$x\in X$$ в некоторой прямоугольной системе координат, то эту точку естественно отождествить с двумерным вектором $$(х(1), х(2))$$. Тогда расстояние между точками $$х = (х(1), х(2))$$ и $$у = (у(1), у(2))$$ согласно известной формуле аналитической геометрии равно

$$d(x,y)=\sqrt{(x(1)-y(1))^2+(x(2)-y(2))^2}.$$

Пример 3. Евклидовым расстоянием в пространстве $$R^k$$ векторов вида $$x = (x(1), x(2), ..., x(k))$$ и $$y = (y(1), y(2), ..., y(k))$$ размерности $$k$$ называется

$$d(x,y)= \left( \sum_{j=1}^k (x(j)-y(j))^2 \right)^{1/2}.$$

В примере 2 рассмотрен частный случай примера 3 с $$k = 2$$.

Пример 4. В пространстве $$R^k$$ векторов размерности $$k$$ используют также так называемое "блочное расстояние", имеющее вид

$$d(x,y)=\sum_{j=1}^k|x(j)-y(j)|.$$

Блочное расстояние соответствует передвижению по городу, разбитому на кварталы горизонтальными и вертикальными улицами. В результате можно передвигаться только параллельно одной из осей координат.

Пример 5. В пространстве функций, элементами которого являются функции $$х = x(t), у = y(t), 0\leq t\leq 1$$, часто используют расстояние Колмогорова

$$d(x,y)=\sup_{0\leq k\leq 0}|x(t)-y(t)|.$$

Пример 6. Пространство функций, элементами которого являются функции $$х = x(t), у = y(t), 0\leq t\leq 1$$, превращают в метрическое пространство (т.е. в пространство с метрикой), вводя расстояние

$$d_p(x,y)= \left( \int\limits_0^1(x(t)-y(t))^p dt \right)^{1/p}.$$

Это пространство обычно обозначают $$L^p$$, где параметр $$p\geq 1$$ (при $$p < 1$$ не выполняются аксиомы метрического пространства, в частности, аксиома треугольника).

Пример 7. Рассмотрим пространство квадратных матриц порядка $$k$$. Как ввести расстояние между матрицами $$А = ||a(i,j)||$$ и $$B = ||b(i,j)||$$? Можно сложить расстояния между соответствующими элементами матриц:

$$d(A,B)=\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k|a(i,j)-b(i,j)|.$$

Пример 8. Предыдущий пример наводит на мысль о следующем полезном свойстве расстояний. Если на некотором пространстве определены два или больше расстояний, то их сумма - также расстояние.

Пример 9. Пусть $$А$$ и $$В$$ - множества. Расстояние между множествами можно определить формулой

$$a(A,B)=\mu(A\Delta B).$$

Здесь $$\mu$$ - мера на рассматриваемом пространстве множеств, $$\Delta$$ - символ симметрической разности множеств.

$$A\Delta B=(A\setminus B)\bigcup(B\setminus A).$$

Если мера - так называемая считающая, т.е. приписывающая единичный вес каждому элементу множества, то введенное расстояние есть число несовпадающих элементов в множествах $$А$$ и $$В$$.

Пример 10. Между множествами можно ввести и другое расстояние:

$$d_1(A,B)=\frac{\mu(A\Delta B)}{\mu(A\cup B)}.$$

В ряде задач прикладной статистики используются функции двух переменных, для которых выполнены не все три аксиомы расстояния, а только некоторые. Их обычно называют показателями различия, поскольку чем больше различаются объекты, тем больше значение функции. Иногда в том же смысле используют термин "мера близости". Он менее удачен, поскольку большее значение функции соответствует меньшей близости.

Чаще всего отказываются от аксиомы, требующей выполнения неравенства треугольника, поскольку это требование не всегда находит обоснование в конкретной прикладной ситуации.

Пример 11. В конечномерном векторном пространстве показателем различия является

$$d(x,y)=\sum_{j=1}^k(x(j)-y(j))^2$$

(сравните с примером 3).

Показателями различия, но не расстояниями являются такие популярные в прикладной статистике показатели, как дисперсия или средний квадрат ошибки при оценивании.

Иногда отказываются также и от аксиомы симметричности.

Пример 12. Показателем различия чисел $$х$$ и $$у$$ является

$$d(x,y)= \left| \frac{x}{y}-1 \right|.$$

Такой показатель различия используют в ряде процедур экспертного оценивания.

Что же касается первой аксиомы расстояния, то в различных постановках прикладной статистики ее обычно принимают. Вполне естественно, что наименьший показатель различия должен достигаться, причем именно на совпадающих объектах. Имеет ли смысл это наименьшее значение делать отличным от 0? Вряд ли, поскольку всегда можно добавить одну и ту же константу ко всем значениям показателя различия и тем самым добиться выполнения первой аксиомы.

В прикладной статистике используются самые разные расстояния и показатели различия. О них пойдет речь в соответствующих разделах учебника.

1.6. Аксиоматическое введение расстояний

В прикладной статистике используют большое количество метрик и показателей различия (см. примеры в предыдущем пункте). Как обоснованно выбрать то или иное расстояние для использования в конкретной задаче? В 1959 г. американский статистик Джон Кемени предложил использовать аксиоматический подход, согласно которому следует сформулировать естественные для конкретной задачи аксиомы и вывести из них вид метрики. Этот подход получил большую популярность в нашей стране после выхода в 1972 г. переведенной на русский язык книги Дж. Кемени и Дж. Снелла [], в которой дана система аксиом для расстояния Кемени между упорядочениями. (Упорядочения, как и иные бинарные отношения, естественно представить в виде квадратных матриц из 0 и 1; тогда расстояние Кемени - это расстояние из примера 7 предыдущего пункта.) Последовала большая серия работ, в которых из тех или иных систем аксиом выводился вид метрики или показателя различия для различных видов данных, прежде всего для объектов нечисловой природы. Многие полученные результаты описаны в обзоре [], содержащем 161 ссылку, в том числе 69 на русском языке. Рассмотрим некоторые из наших результатов.

Аксиоматическое введение расстояния между толерантностями. Толерантность - это бинарное отношение, являющееся рефлексивным и симметричным. Его обычно используют для описания отношения сходства между реальными объектами, отношений знакомства или дружбы между людьми. От отношения эквивалентности отличается тем, что свойство транзитивности не предполагается обязательно выполненным. Действительно, Иванов может быть знаком с Петровым, Петров - с Сидоровым, но при этом ничего необычного нет в том, что Иванов и Сидоров не знакомы между собой.

Пусть множество $$Х$$, на котором определено отношение толерантности, состоит из конечного числа элементов: $$X = \{x_1, x_2, ..., x_k\}$$. Тогда толерантность описывается квадратной матрицей $$A = ||a(i,j)||, i,j = 1, 2,..., k$$, такой, что $$a(i,j) = 1$$, если $$x_i$$ и $$x_j$$ связаны отношением толерантности, и $$a(i,j) = 0$$ в противном случае. Матрица $$A$$ симметрична: $$a(i,j) = a(j,i)$$, на главной диагонали стоят единицы: $$a(i,i) = 1$$. Любая матрица, удовлетворяющая приведенным в предыдущей фразе условиям, является матрицей, соответствующей некоторому отношению толерантности. Матрице $$А$$ можно сопоставить неориентированный граф с вершинами в точках $$Х$$: вершины $$x_i$$ и $$x_j$$ соединены ребром тогда и только тогда, когда $$a(i,j) = 1$$. Толерантности используются, в частности, при проведении экспертных исследований (см. 11.6).

Будем говорить, что толерантность $$А_3$$ лежит между толерантностями $$А_1$$ и $$А_2$$, если при всех $$i, j$$ число $$a_3(i,j)$$ лежит между числами $$a1(i,j)$$ и $$a_2(i,j)$$, т.е. выполнены либо неравенства $$a_1(i,j)\leq a_3(i,j) \leq a_2(i,j)$$, либо неравенства $$a_1(i,j) \geq a_3(i,j) \geq a2(i,j)$$.

]. Пусть

(I) $$d(A_1, A_2)$$ - метрика в пространстве толерантностей, определенных на конечном множестве $$X = \{x_1, x_2, ..., x_k\}$$ ;

(II) $$d(A_1, A_3) + d(A_3, A_2) = d(A_1, A_2)$$ тогда и только тогда, когда $$A_3$$ лежит между $$A_1$$ и $$A_2$$ ;

(III) если отношения толерантности $$A_1$$ и $$A_2$$ отличаются только на одной паре элементов, т.е. $$a_1(i,j) = a_2(i,j)$$ при $$(i,j) \ne (i_0,j_0), i<j, i_0 < j_0$$, и $$a_1(i_0, j_0) \ne a_2(i_0, j_0)$$, то $$d(A_1, A_2) = 1$$.

Тогда

$$d(A_1,A_2)=\sum_{1\leq i<j\leq k}|a_1(i,j)-a_2(i,j)|=\frac12\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k|a_1(i,j)-a_2(i,j)|.$$

Таким образом, расстояние $$d(A_1, A_2)$$ только постоянным множителем 1/2 отличается от расстояния Кемени, введенного в пространстве всех бинарных отношений как расстояние Хемминга между описывающими отношения матрицами из 0 и 1 (см. пример 7 предыдущего пункта). Теорема 1 дает аксиоматическое введение расстояния в пространстве толерантностей. Оказалось, что оно является сужением расстояния Кемени на это пространство. Сам Дж. Кемени дал аналогичную систему аксиом для сужения на пространство упорядочений. Доказательство теоремы 1 вытекает из рассмотрений, связанных с аксиоматическим введением расстояний между множествами, и приводится ниже.

Мера симметрической разности как расстояние между множествами. Как известно, бинарное отношение можно рассматривать как подмножество декартова квадрата $$Х_2$$ того множества $$Х$$, на котором оно определено. Поэтому теорему 1 можно рассматривать как аксиоматическое введение расстояния между множествами специального вида. Укажем систему аксиом для расстояния между множествами общего вида, описанного в примере 9 предыдущего пункта.

Определение 1. Множество $$В$$ находится между множествами $$А$$ и $$С$$, если

$$(A\bigcap C)\subseteq B\subseteq(A\bigcup C)$$

С помощью определения 1 в совокупности множеств вводятся геометрические соотношения, использование которых полезно для восприятия рассматриваемых ситуаций.

Расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве не изменится, если обе точки сдвинуть на один и тот же вектор. Аналогичное свойство расстояния между множествами сформулируем в виде аксиомы 1. Оно соответствует аксиоме 3 Кемени и Снелла [, с.22] для расстояний между упорядочениями.

Аксиома 1. Если $$A\bigcap C=B\bigcap C= \varnothing$$, то $$d(A,B)=d(A\cup C,B\cup C)$$.

, с.38].

Теорема 2. Пусть $$W$$ - алгебра множеств, $$d: W^2 \rightarrow R^1$$. Тогда аксиома 1 эквивалентна следующему условию: $$d(A,B) = d(A\setminus B, B\setminus A)$$ для любых $$A, B \in W$$.

Доказательство. Поскольку

$$(A\setminus B)\bigcap(A\bigcap B)= \varnothing, (B\setminus A)\bigcap(A\bigcap B)=\varnothing,$$

то равенство $$d(A,B) = d(A\setminus B, B\setminus A)$$ следует из аксиомы 1. Обратное утверждение вытекает из того, что в условиях аксиомы 1

$$(A\bigcup C)\setminus(B\bigcup C)=A\setminus B,(B\bigcup C)\setminus(A\bigcup C)=B\setminus A.$$

Теорема 2 доказана.

С целью внести в алгебру множеств W отношение "находиться между", аналогичное используемому при аксиоматическом введении расстояний в пространствах бинарных отношений (см. условие (II) в теореме 1), примем следующую аксиому.

Аксиома 2. Если $$В$$ лежит между $$А$$ и $$С$$, то $$d(A,B)+d(B,C)= d(A,C)$$.

Определение 3. Неотрицательная функция $$\mu$$, определенная на алгебре множеств $$W$$, называется мерой, если для любых двух непересекающихся множеств $$А$$ и $$В$$ из $$W$$ справедливо соотношение

$$\mu(A\bigcup B)=\mu(A)+\mu(B).$$

Понятие меры - это обобщение понятий длины линии, площади фигуры, объема тела.

Теорема 3. Пусть $$W$$ - алгебра множеств, аксиомы 1 и 2 выполнены для функции $$d: W^2 \rightarrow [0;+\infty]$$. Функция $$d$$ симметрична: $$d(A,B) = d(B,A)$$ для любых $$А$$ и $$В$$ из $$W$$. Тогда существует, и притом единственная, мера $$\mu$$ на $$W$$ такая, что

$$d(A,B)=\mu(A\Delta B)$$

при всех $$А$$ и $$В$$ из $$W$$, где $$А\Delta В$$ - симметрическая разность множеств $$А$$ и $$В$$, т.е. $$A\Delta B=(A\setminus B)\bigcup(B\setminus A)$$.

Доказательство. Положим

$$\mu(B)=d(\varnothing,B),B\in W.$$

Покажем, что определенная формулой (2) функция множества $$\mu$$ является мерой. Неотрицательность $$\mu$$ следует из неотрицательности $$d$$. Остается доказать аддитивность, т.е. что из $$A\bigcap B=\varnothing$$ следует, что

$$\mu(A\bigcup B)=\mu(A)+\mu(B), A\in W, B\in W.$$

Поскольку $$А$$ всегда лежит между $$\varnothing$$ и $$A\bigcup B$$, то по аксиоме 2

$$\mu(A\bigcup B)=d(\varnothing, A\bigcup B)=d(\varnothing,A)+d(A,A\bigcup B)=\mu(A)+d(A,A\bigcup B).$$

Если $$А\cap В=\varnothing$$, то по аксиоме 1 $$d(\varnothing,B)=d(A,A\bigcup B)$$, откуда с учетом (4) и следует (3).

Докажем соотношение (1). Поскольку $$А\setminus B$$ и $$B\setminus A$$ имеют пустое пересечение, то согласно определению 1 пустое множество $$\varnothing$$ лежит между $$А\setminus B$$ и $$B\setminus A$$. Поэтому по аксиоме 2

$$d(A\setminus B,B\setminus A)=d(A\setminus B,\varnothing)+d(\varnothing, B\setminus A).$$

Из симметричности и соотношения (2) следует, что

$$d(A\setminus B,\varnothing)=d(\varnothing, A\setminus B)=\mu(A\setminus B),$$

откуда $$d(A\setminus B, B\setminus A)= \mu(A\setminus B) + \mu(B\setminus A)$$. Из соотношения (3) следует, что $$\mu(A\setminus B)+\mu(B\setminus A)=\mu(A\Delta B)$$. С другой стороны, по аксиоме 1 $$d(A\setminus B,B\setminus A)=d((A\setminus B)\bigcup(A\bigcap B),(B\setminus A)\bigcup(A\bigcap B))=d(A,B)$$. Из трех последних равенств вытекает справедливость равенства (1). Остается доказать единственность меры $$\mu$$ в соотношении (1). Поскольку $$А\Delta В = В$$ при $$А = \varnothing,$$ то из (1) следует (2), т.е. однозначность определения меры $$\mu = \mu(d)$$ по расстоянию $$d$$. Теорема 3 доказана.

Теорема 4 (обратная). Пусть $$\mu$$ - мера, определенная на алгебре множеств $$W$$. Тогда функция $$d(A,B) = \mu(A\Delta B)$$ является псевдометрикой, для нее выполнены аксиомы 1 и 2.

, с.79]). Доказательство аксиомы 2 содержится в [, c.181-183]. Аксиома 1 следует из того, что условия $$A\bigcap C=B\bigcap C=\varnothing$$ обеспечивают справедливость соотношений

$$(A\bigcup C)\Delta(B\bigcup C)=((A\bigcup C)\setminus(B\bigcup C))\bigcup((B\bigcup C)\setminus(A\bigcup C))=(A\setminus B)\bigcup(B\setminus A)=A\Delta B.$$

Замечание. Полагая в аксиоме 2 $$А = В = С$$, получаем, что $$d(A,А) + d(A,А) = d(A,А)$$, т.е. $$d(A,А) = 0$$. Согласно теоремам 3 и 4, из условий теоремы 3 следует неравенство треугольника. Таким образом, в теореме 3 действительно приведена система аксиом, определяющая семейство псевдометрик в пространстве множеств.

Обсудим независимость (друг от друга) условий теоремы 3. Отбрасывание неотрицательности функции $$d$$ приводит к тому, что слово "мера" в теоремах 3 и 4 необходимо заменить на "заряд" [, с.328]. Этот термин обозначает аддитивную функцию множеств, не обладающую свойством неотрицательности. Заряд можно представить как разность двух мер.

Функция $$d_1(A,B)=\sqrt{\mu(A\Delta B)}$$ является псевдометрикой, для нее выполнена аксиома 1, но не выполнена аксиома 2, следовательно, ее нельзя представить в виде (1).

Приведем пример системы множеств $$W$$ и метрики в ней, для которых верна аксиома 2, но не верна аксиома 1, а потому эту метрику нельзя представить в виде (1). Пусть $$W$$ состоит из множеств $$\varnothing,A,B,A\bigcup B$$, причем $$А\cap В = \varnothing$$, а расстояния таковы:

$$d(\varnothing,A)=d(\varnothing,B)=1, d(A,A\bigcup B)=d(B,A\bigcup B)=d(A,B)=2, d(\varnothing,A\bigcup B)=3.$$

Если единица $$Х$$ алгебры множеств $$W$$ конечна, т.е. $$X = \{x_1, x_2,..., x_k\}$$, то расстояние (1) принимает вид

$$d(A,B)=\sum_{i=1}^k\mu_i|\chi_A(x_i)-\chi_B(x_i)|,$$

где $$\chi_С$$ - индикатор (индикаторная функция) множества $$С$$, т.е. $$\chi_С(х) = 1$$, если $$х\in С$$, и $$\chi_С(х) = 0$$ в противном случае. Как следует из теоремы 3, неотрицательный коэффициент $$\mu_i$$ - это мера одноэлементного множества $$\{x_i\}$$, а также расстояние этого множества от пустого множества, т.е.

$$\mu_i=\mu(\{x_i\})=d(\varnothing,\{x_i\}).$$

Если все коэффициенты $$\mu_i$$ положительны, то формула (5) определяет метрику, если хотя бы один равен 0, то - псевдометрику, поскольку в таком случае найдутся два различающиеся между собой множества $$А$$ и $$В$$, такие, что $$d(A,B) = 0$$.

Расстояние определяется однозначно, если априори известны коэффициенты $$\mu_i$$. В частности, равноправность объектов (элементов единицы алгебры множеств $$Х$$ ) приводит к $$\mu_i\equiv 1$$. Требование равноправности содержится в аксиомах 2 и 4 Кемени [, с.21–22].

Применим полученные результаты к толерантностям и докажем теорему 1. Совокупность всех толерантностей, определенных на конечном множестве $$Y$$, естественным образом ассоциируется с совокупностью всех подмножеств множества $$Х = \{(y_i, y_j), 1\leq i < j\leq k\}$$. А именно, пара $$(y_i, y_j)$$ входит в подмножество тогда и только тогда, когда $$y_i$$ и $$y_j$$ связаны отношением толерантности. Указанная совокупность подмножеств является алгеброй множеств с единицей $$Х$$. Определение 1 понятия "находиться между" для множеств полностью соответствует ранее данному определению понятия "находиться между" для толерантностей.

$$Теорема 5$$. Пусть выполнены условия (I) и (II) теоремы 1 и аксиома 1. Тогда существуют числа $$\mu_{ij} > 0$$ такие, что

$$d(A,B)=\sum_{1\leq i<j\leq k}\mu_{ij}|a(i,j)-b(i,j)|.$$

Для доказательства достаточно сослаться на теорему 3. Поскольку в условии (I) требуется, чтобы функция $$d(A,B)$$ являлась метрикой, то необходимо $$\mu_ij > 0$$.

$$Теорема 6$$. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, аксиома 1. Тогда верно заключение теоремы 1.

Доказательство. Рассмотрим толерантность $$А$$, для которой $$a(i,j) = 1$$ при $$(i,j) = (i_0,j_0) и a(i,j) = 0$$ в противном случае. Согласно условию (III) теоремы 1 $$d(\varnothing,A)=1$$, а согласно (6) имеем $$d(\varnothing,A)=\mu_{i_0 j_0}$$. Следовательно, коэффициент $$\mu_{i_0 j_0} = 1$$, что и требовалось доказать.

Для окончательного доказательства теоремы 1 осталось избавиться от требования справедливости аксиомы 1.

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим две толерантности $$А$$ и $$В$$ такие, что при представлении их в виде множеств $$A\subseteq B$$. Это означает, что $$a(i,j)\leq b(i,j)$$ при всех $$i,j$$. Поскольку $$Х$$ - конечное множество, то существует конечная последовательность толерантностей $$A_1, A_2, ..., A_m, ..., A_t$$ такая, что $$А_1 = А, A_t = B, A_1 \subseteq A_2\subseteq ... \subseteq A_m \subseteq ... \subseteq A_t$$, причем $$A_m+1$$ получается из $$A_m$$ заменой ровно одного значения $$a_m(i_m, j_m) = 0$$ на $$a_{m+1}(i_m, j_m) = 1$$, для $$(i, j) \ne (i_m, j_m)$$, при этом $$a_m(i,j)= a_{m+1}(i,j)$$. Тогда $$A_m$$ находится между $$A_{m-1}$$ и $$A_{m+1}$$, следовательно, по условию (II)

$$d(A,B)=d(A_1,A_2)+d(A_2,A_3)+...+d(A_m,A_{m+1})+...+d(A_{t-1},A_t).$$

По условию (III) $$d(A_m,A_{m+1}) = 1$$ при всех $$m$$, а потому заключение теоремы 1 верно для любых $$А$$ и $$В$$ таких, что $$A\subseteq B$$.

Поскольку $$А\cap В$$ лежит между $$А$$ и $$В$$, то по условию (II)

$$d(A,B)=d(A\cap B,A)+d(A\cap B,B)$$

При этом $$А\cap В\subseteq А$$ и $$А\cap В\subseteq В$$. Применяя результат предыдущего абзаца, получаем – заключение теоремы 1 верно всегда.

Замечание 1. Таким образом, условие (III) не только дает нормировку, но и заменяет аксиому 1.

], чтобы подчеркнуть цель рассуждения. По той же причине оно сохранено в формулировке теоремы 1, хотя в доказательстве удалось без него обойтись. Понадобилась только симметричность функции $$d$$.

Аксиоматическое введение метрики в пространстве неотрицательных суммируемых функций. Рассмотрим пространство $$L(E, \mu)$$ неотрицательных суммируемых функций на множестве $$E$$ с мерой $$\mu$$. Далее в настоящем пункте будем рассматривать только функции из $$L(E, \mu)$$. Интегрирование всюду проводится по пространству $$Е$$ и по мере $$\mu$$. Будем писать $$g = h$$ или $$g \leq h$$, если указанные соотношения справедливы почти всюду по $$\mu$$ на $$Е$$ (т.е. могут нарушаться лишь на множестве нулевой меры).

Аксиоматически введем расстояние в пространстве $$L(E, \mu)$$ (изложение следует работе []). Обозначим $$M(g,h)=\max(g,h)$$ и $$m(g,h)=\min(g,h)$$. Пусть $$D: L(E,\mu) \times L(E,\mu) \rightarrow R^1$$ - тот основной объект изучения, аксиомы для которого будут сейчас сформулированы.

Аксиома 1. Если $$gh=0,g+h\ne 0$$, то $$D(g,h)=1$$.

Аксиома 2. Если $$h\leq g$$, то $$D(g,h)=C\int(g-h)d\mu$$, где множитель $$С$$ не зависит от $$h$$, т.е. $$C=C(g)$$.

$$Лемма$$. Из аксиом 1 и 2 следует, что для $$h\leq g\ne 0$$ имеем

$$D(g,h)=\frac{\int(g-h)d\mu}{\int gd\mu}.$$

Для доказательства заметим, что по аксиоме 1 $$D(g,0)=1$$, а по аксиоме 2 $$D(g,0)=C\int gd\mu$$, откуда $$C=\left( \int gd\mu\right)^{-1}$$. Подставляя это соотношение в аксиому 2, получаем заключение леммы.

Требование согласованности расстояния в пространстве $$L(E,\mu)$$ с отношением "находиться между" приводит, как и ранее для расстояния $$d(A,B)$$, к следующей аксиоме.

Аксиома 3. Для любых $$g$$ и $$h$$ справедливо равенство $$D(g,h)=D(M(g,h),g)+D(M(g,h),h)$$.

] так называемая D-метрика (от dissimilarity (англ.) - несходство), для которого это условие выполнено. Она имеет вид:

$$D(A,B)= \left\{ \begin{gathered} \frac{\mu(A\Delta B)}{\mu(A\bigcup B)}, \mu(A\bigcup B) >0,\\ 0,\mu(A)=\mu(B)=0. \end{gathered} \right.$$

Приведенные выше аксиомы являются обобщениями соответствующих аксиом для $$D$$ -метрики в пространстве множеств.

Теорема 7. Из аксиом 1–3 следует, что

$$D(g,h)= \left\{ \begin{gathered} \frac{\int|g-h|d\mu}{\int M(g,h)d\mu}, g+h\ne 0, \\ 0,g=h=0. \end{gathered} \right.$$

Доказательство. Поскольку

$$(M(g,h)-g)+(M(g,h)-h)=|g-h|,$$

то заключение теоремы 7 при $$g+h\ne 0$$ вытекает из леммы и аксиомы 3. Из аксиомы 2 при $$g=0$$ следует, что $$D(0,0)=0$$. Легко видеть, что функция $$D$$, заданная формулой (8), удовлетворяет аксиомам 1–3 и, кроме того, $$D(g,h)\leq 1$$ при любых $$g$$ и $$h$$.

].

Теорема 8. Функция $$D(g,h)$$, определенная формулой (8), является метрикой в $$L(E,\mu)$$ (при отождествлении функций, отличающихся лишь на множестве нулевой меры), причем $$D(g, f)+D(f,h)=D(g,h)$$ тогда и только тогда, когда $$f=g,f=h$$ или $$f=M(g,h)$$.

Доказательство. Обратимся к определению метрики. Для рассматриваемой функции непосредственно очевидна справедливость условий неотрицательности и симметричности. Очевидна и эквивалентность условия $$D(g,h)=0$$ равенству $$g=h$$. Остается доказать неравенство треугольника и установить, когда оно обращается в равенство.

Без ограничения общности можно считать, что рассматриваемые расстояния задаются верхней строкой формулы (8) и кроме того,

$$R=\int M(g,f)d\mu-\int M(f,h)d\mu\geq 0$$

(частные случаи с использованием нижней строки формулы (8) рассматриваются элементарно, а справедливости последнего неравенства можно добиться заменой обозначений функций - элементов пространства $$L(E,\mu)$$ ). Тогда

$$D(g,f)+D(f,h)\geq \frac{\int(|g-f|+|f-h|)d\mu}{\int M(g,f)d\mu},$$

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда $$R=0$$ или $$f=h$$. Положим

$$P=\int(|g-f|+|f-h|-|g-h|)d\mu,Q=\int(M(g,f)-M(g,h))d\mu.$$

Ясно, что $$P\geq 0$$ и

$$\frac{\int(|g-f|+|f-h|)d\mu}{\int M(g,f)d\mu}=\frac{\int|g-h|d\mu+P}{\int M(g,h)d\mu+Q}.$$

Если $$Q < 0$$, то очевидно, что неравенство треугольника выполнено, причем неравенство является строгим. Рассмотрим случай $$Q > 0$$.

Воспользуемся следующим элементарным фактом: если $$y \geq x, y > 0, P > Q > 0$$, то

$$\frac{x+P}{y+Q}>\frac{x}{y}.$$

Из соотношений (10) и (11) вытекает, что для доказательства неравенства треугольника достаточно показать, что $$P–Q>0$$.

Рассмотрим

$$k={|g–f|+|f–h|–|g–h|}–M(g,f)+M(g,h).$$

Применяя равенство $$(M(g,h)–g)+(M(g,h)–h)=|g–h|$$ к слагаемым, заключенным в фигурные скобки, получаем, что

$$k=M(f,h)+[M(g,f)+M(f,h)–M(g,h)–2f].$$

Применяя соотношение

$$M(g,h)=g+h–m(g,h)$$

к слагаемым, заключенным в квадратные скобки, получаем, что

$$k=M(f,h)–m(f,h)–m(g,f)+m(g,h).$$

Так как $$M(f,h)–m(f,h)=|f–h|$$, то

$$k=|f–h|–(m(g,f)–m(g,h))\geq (f–h)–(m(g,f)–m(g,h)).$$

В соответствии с (12) правая часть (13) есть $$M(g,f)–M(g,h)$$, а потому

$$P–Q=\int k d\mu\geq Q > 0,$$

что завершает доказательство для случая $$Q>0$$. При этом неравенство треугольника является строгим.

Осталось рассмотреть случай $$Q = 0$$. В силу соотношений (9) и (10) неравенство треугольника выполнено. Когда оно обращается в равенство? Тривиальные случаи: $$f=g$$ или $$f=h$$. Если же $$f$$ отлично от $$g$$ и $$h$$, то необходимо, чтобы $$R=0$$ и $$P=0$$. Как легко проверить, последнее условие эквивалентно неравенствам

$$m(g,h) \leq f \leq M(g,h).$$

Из правого неравенства в (14) следует, что $$M(g,f)\leq M(g,M(g,h))= M(g,h)$$. Так как $$Q=0$$, то $$M(g,f)=M(g,h)$$. Аналогичным образом из соотношений

$$M(h,f)\leq M(h,M(g,h))=M(g,h)=M(g,f)$$

и $$R=0$$ следует, что $$M(f,h)=M(g,h)$$.

Рассмотрим измеримое множество $$X=\{x\in E:h(x)<g(x)\}$$. Тогда $$M(g,h)(x)=M(f,h)(x)=g(x)>h(x)$$, т.е. $$h(x)<f(x)=M(g,h)(x)$$ для почти всех $$x\in X$$. Для почти всех $$y\in\{x\in E:h(x)>g(x)\}$$ точно так же получаем $$f(y)=M(g,h)(y)$$. Для почти всех $$z\in\{x\in E:h(x)=g(x)\}$$ в силу (14) $$f(z)=M(g,h)(z)$$, что и завершает доказательство теоремы.

].

Контрольные вопросы и задачи

Приведите примеры практического использования количественных и категоризованных данных.

Как соотносятся группы допустимых преобразований для различных шкал измерения?

Почему анализ нечисловых данных занимает одно из центральных мест в прикладной статистике?

В каких случаях целесообразно применение нечетких множеств?

Справедливо ли для нечетких множеств равенство $$(A+B)C=AC+BC$$? А равенство $$(AB)C=(AC)(BC)$$?

Докажите, что для блочного расстояния (пример 4 из п.1.5) справедливо неравенство треугольника.

Расскажите о многообразии расстояний в различных пространствах статистических данных.

Докажите, что если $$d(x,y)$$ - расстояние в некотором пространстве, то $$\sart{d(x,y)}$$ - также расстояние в этом пространстве.

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

Содержание первого сочинения по прикладной статистике - книги "Числа" в Библии.

Свойства основных шкал измерения.

Взаимосвязи различных классов объектов нечисловой природы между собой.

Опишите с помощью нечеткого подмножества временной шкалы понятие "молодой человек" (на основе опроса 10–20 экспертов).

Опишите с помощью теории нечеткости понятие "куча зерен" (на основе опроса 10–20 экспертов).

Центральная роль статистики объектов произвольной природы в прикладной статистике.

Расстояния в пространствах функций.

Докажите, что аксиоматически введенный в п.1.6 показатель различия между множествами $$d(A,B)=\mu(А\Delta В)$$ удовлетворяет неравенству треугольника.