Пусть K - поле, $$A\in M_{n}(K)$$, $$0\neq \hat X\in\hat K^n=\mM_{n,1}(K)$$, $$\lambda\in K$$. Если $$A\cdot \hat X=\lambda\cdot \hat X$$, то $$\lambda $$ называется собственным числом матрицы A, а $$\hat X $$ - собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу $$\lambda$$.
Условие $$A\cdot\hat X=\lambda\cdot \hat X $$ эквивалентно условию$$(A-\lambda E)\hat X =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix} \in \hat K^n,$$
где $$E\in M_{n}(K) $$ - единичная матрица. При фиксированном $$\lambda $$ это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1,...,xn,$$\hat X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}.$$
Матрица $$A-\lambda E $$ этой системы - квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что $$|A-\lambda E|=0$$. Пусть t - переменная,$$p(t)=|A-tE|=p_nt^n+p_{n-1}t^{n-1}+...+p_0\in K[t]\text{ -}$$
многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A ), при этом:$$\begin{gathe}
p_n=(-1)^n,\\
p_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=(-1)^{n-1}\tr A,\quad
p_0=|A|.
\end{gathe}$$
Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K.
Если $$\lambda\in K $$ и $$p(\lambda)=0$$, то все A относительно собственного числа $$\lambda $$ - это все ненулевые решения системы$$(A-\lambda E)\hat X=(0)\in\hat K^n.$$
Отметим, что множество всех A относительно собственного числа $$\lambda $$ не образует линейного подпространства в $$\hat K^n$$, так как все эти векторы ненулевые. Но если к этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы$$(A-\lambda E)\hat X=(0).$$
Таким образом, если $$p(\lambda)=|A-\lambda E|=0$$, $$r=r(A-\lambda E)$$, то $$0 \leq r < n$$, то размерность пространства решений этой системы равна s=n-r, поэтому $$1 \leq s \leq n$$. Если {X1,...,Xs} - какая\df либо фундаментальная система решений системы $$(A-\lambda E)\hat X=(0)$$, то все A, отвечающие собственному числу $$\lambda$$, - это все нетривиальные линейные комбинации элементов $$\hat X_1,...,\hat X_s $$ с коэффициентами из поля K.
Пример 9.19.1.$$\begin{gathe}
A =
\begin{pmatrix}
\phm 10 3\\
-5 2
\end{pmatrix},\quad K= R,\\
|A-\lambda E| =
\begin{vmatrix}
10-\lambda 3\\
-5 2-\lambda
\end{vmatrix} = \lambda^2-12\lambda+35.
\end{gathe}$$
Корни: $$\lambda_1=7$$, $$\lambda_2=5$$, $$\lambda_1,\lambda_2\in R $$ (собственные числа матрицы A ).
Пример 9.19.2.$$\begin{gathe}
K= C,\quad
A=\begin{pmatrix}
0 1 0\\
0 0 2\\
0 0 0
\end{pmatrix},\\
p(\lambda)=|A-\lambda E|=
\begin{vmatrix}
-\lambda \phm 1 \phm 0\\
\phm 0 -\lambda \phm 2\\
\phm 0 \phm 0 -\lambda
\end{vmatrix} = -\lambda^3.
\end{gathe}$$
Имеется лишь одно собственное число: $$\lambda=0$$. x2, x3 - главные неизвестные, x1 - свободная переменная, множество
Пример 9.19.3.
Если$$A=
\begin{pmatrix}
\alpha_1
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
\alpha_n
\end{pmatrix} \text{ -}$$
диагональная матрица, то $$\alpha_1,...,\alpha_n $$ - все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).
Пример 9.19.4.$$\begin{gathe} A = \begin{pmatrix} \phm 0 1\\ -1 0 \end{pmatrix},\\ p(\lambda)=|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} -\lambda \phm 1\\ -1 -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2+1. \end{gathe}$$
а) K= R : нет действительных корней многочлена $$p(\lambda)=\lambda^2+1$$, поэтому для матрицы A нет действительных собственных чисел (и
б) K= C : многочлен $$p(\lambda) $$ имеет корни $$\lambda_1=i\in C$$, $$\lambda_2=-i\in C $$ (собственные числа матрицы A ).
Пример 9.19.5.$$\begin{gathe} K= R,\quad A= \begin{pmatrix} 1 -3 3\\ 3 -5 3\\ 6 -6 4 \end{pmatrix},\\ p(\lambda)=|A-\lambda E|=-\lambda^3+12\lambda+16. \end{gathe}$$ Корни многочлена $$p(\lambda) :$$ $$\lambda_1=-2$$, $$\lambda_2=-2$$, $$\lambda_3=4 $$ (собственные числа).
Задача 9.19.6 (уравнение Сильвестера). Пусть $$A\in M_{n}( C)$$, $$B\in M_{m}( C)$$, $$C\in M_{n,m}( C) $$ и матрицы A и B не имеют общих собственных чисел. Тогда матричное уравнение Сильвестера AX-XB=C имеет единственное решение $$X\in M_{n,m}( C)$$.
Задача 9.19.7. Пусть $$A,B\in M_{n}( C)$$, AB=BA. Покажите, что для матриц A и B существует общий собственный вектор.
Трудная задача 9.19.8. Пусть $$A,B\in M_{n}( C) $$ и r(AB-BA)=1. Тогда для матриц A и B существует общий собственный вектор.
Теорема 9.19.9. Пусть $$A\in M_{n}(K)$$, $$0\neq\hat X_1,...,\hat X_l\in\hat K_n$$, $$\lambda_1,...,\lambda_l\in K$$, $$\lambda_i\neq\lambda_j $$ при $$1 \leq i\neq j \leq l$$, $$A\cdot \hat X_i=\lambda_i\cdot \hat X_i$$, i=1,...,l. Тогда столбцы $$\hat X_1,...,\hat X_l $$ линейно независимы, т. е.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по l. Основание индукции: l=1, $$A\cdot\hat X_1=\lambda_1\cdot\hat X_1$$, $$0\neq\hat X_1$$, $$\{\hat X_1\} $$ - линейно независимая система векторов.
Пусть теперь $$l \geq 2 $$ и наше утверждение доказано для всех l', $$1 \leq l'<l$$.Допустим, что$$\begin{equation}\label{triestelo}
\alpha_1\hat X_1+...+\alpha_l \hat X_l=0\in\hat K^n,\quad
\alpha_i\in K,\quad i=1,...,l.
\end{equation}$$
Умножая слева на матрицу A обе части равенства, получаем, что$$\alpha_1\cdot A\cdot \hat X_1+...+\alpha_l\cdot A\cdot \hat X_l= A\cdot 0=0\in\hat K^n,$$
и поэтому$$\begin{equation}\label{triedusteloj}
\alpha_1\lambda_1 \hat X_1+...+\alpha_l\lambda_l \hat X_l=0.
\end{equation}$$
Умножая (9.6) на $$\lambda_l$$, имеем$$\begin{equation}\label{tristeloj}
\alpha_1\lambda_l\hat X_1+...+\alpha_l\lambda_l \hat X_l=0.
\end{equation}$$
Вычитаем (9.8) из (9.7):$$\begin{equation*}
\alpha_1(\lambda_1-\lambda_l)\hat X_1+...+
\alpha_{l-1}(\lambda_{l-1}-\lambda_l) \hat X_{l-1}=0\in \hat K^n.
\end{equation*}$$
Применяя предположение индукции, получаем, что$$\alpha_1(\lambda_1-\lambda_l)=...= \alpha_{l-1}(\lambda_{l-1}-\lambda_l) =0.$$
Поскольку $$\lambda_1\neq\lambda_l$$,..., $$\lambda_{l-1}\neq\lambda_l$$, отсюда следует, что $$\alpha_1=...=\alpha_{l-1}=0$$. Следовательно, из (9.6) следует, что $$\alpha_l\hat X_l=0\in \hat K^n$$. Так как $$\hat X_l\neq 0$$, то $$\alpha_l=0$$. Таким образом, $$\alpha_1=...=\alpha_l=0$$, и поэтому
Следствие 9.19.10. Если $$A\in M_n(K)$$, характеристический многочлен p(t)=|A- имеет n различных корней $$\lambda_1,...,\lambda_n $$ в поле K, то матрица A подобна диагональной матрице:$$C^{-1}AC=d(\lambda_1,...,\lambda_n),\ \ \text{где}\ \ C\in\GL_n(K).$$
Теорема 9.19.11. Матрица $$A\in M_n( C) $$ нильпотентна (т. е. $$A^m=0\in M_n(K) $$ для некоторого $$m\in N$$ ) тогда и только тогда, когда собственные числа $$\lambda_1,...,\lambda_n $$ равны нулю.
Доказательство.
а) Если $$\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0$$, то $$|A-\lambda E|=(-1)^n\lambda^n$$. По теореме Гамильтона Кэли $$A^n=(0)\in M_n( C)$$.
б) Если $$A^m=(0)\in M_n( C) $$ и $$A\hat X=\lambda\hat X$$, где $$\lambda\in C$$, $$0\neq\hat X\in\hat{ C}^n$$, то $$\hat{ C}^n\ni 0=A^m\hat X=\lambda^n\hat X$$, следовательно, $$\lambda^n=0 $$ и $$\lambda=0$$.
Замечание 9.19.12. Одним из фундаментальных результатов об алгебре матриц Mn( C) над полем комплексных чисел C (и о строении отдельно взятого линейного оператора конечномерного линейного пространства CV ) является теорема о жордановой нормальной форме:
J1,...,Jk - жордановы клетки, см. упражнение 8.6.8);JA матрицы A определена однозначно (с точностью до порядка жордановых клеток).Эта теорема обычно является одним из центральных результатов курса линейной алгебры. Она также доказывается в более общем виде в разделе о строении конечнопорожденных модулей над кольцами главных идеалов.
Конечно, теорема Гамильтона Кэли над полем C$ является следствием теоремы о жордановой нормальной форме. В то же время имеются элегантные доказательства теоремы о жордановой нормальной форме, использующие теорему Гамильтона Кэли.
Мы оставляем этот сюжет для следующих частей наших "начал алгебры" (или его можно рассматривать как достаточно трудную задачу).
Пусть K - поле, $$A\in M_{n}(K)$$, $$0\neq \hat X\in\hat K^n=\mM_{n,1}(K)$$, $$\lambda\in K$$. Если $$A\cdot \hat X=\lambda\cdot \hat X$$, то $$\lambda $$ называется собственным числом матрицы A, а $$\hat X $$ - собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному числу $$\lambda$$.
Условие $$A\cdot\hat X=\lambda\cdot \hat X $$ эквивалентно условию$$(A-\lambda E)\hat X =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix} \in \hat K^n,$$
где $$E\in M_{n}(K) $$ - единичная матрица. При фиксированном $$\lambda $$ это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1,...,xn,$$\hat X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}.$$
Матрица $$A-\lambda E $$ этой системы - квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что $$|A-\lambda E|=0$$. Пусть t - переменная,$$p(t)=|A-tE|=p_nt^n+p_{n-1}t^{n-1}+...+p_0\in K[t]\text{ -}$$
многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A ), при этом:$$\begin{gathe}
p_n=(-1)^n,\\
p_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=(-1)^{n-1}\tr A,\quad
p_0=|A|.
\end{gathe}$$
Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K.
Если $$\lambda\in K $$ и $$p(\lambda)=0$$, то все A относительно собственного числа $$\lambda $$ - это все ненулевые решения системы$$(A-\lambda E)\hat X=(0)\in\hat K^n.$$
Отметим, что множество всех A относительно собственного числа $$\lambda $$ не образует линейного подпространства в $$\hat K^n$$, так как все эти векторы ненулевые. Но если к этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы$$(A-\lambda E)\hat X=(0).$$
Таким образом, если $$p(\lambda)=|A-\lambda E|=0$$, $$r=r(A-\lambda E)$$, то $$0 \leq r < n$$, то размерность пространства решений этой системы равна s=n-r, поэтому $$1 \leq s \leq n$$. Если {X1,...,Xs} - какая\df либо фундаментальная система решений системы $$(A-\lambda E)\hat X=(0)$$, то все A, отвечающие собственному числу $$\lambda$$, - это все нетривиальные линейные комбинации элементов $$\hat X_1,...,\hat X_s $$ с коэффициентами из поля K.
Пример 9.19.1.$$\begin{gathe}
A =
\begin{pmatrix}
\phm 10 3\\
-5 2
\end{pmatrix},\quad K= R,\\
|A-\lambda E| =
\begin{vmatrix}
10-\lambda 3\\
-5 2-\lambda
\end{vmatrix} = \lambda^2-12\lambda+35.
\end{gathe}$$
Корни: $$\lambda_1=7$$, $$\lambda_2=5$$, $$\lambda_1,\lambda_2\in R $$ (собственные числа матрицы A ).
Пример 9.19.2.$$\begin{gathe}
K= C,\quad
A=\begin{pmatrix}
0 1 0\\
0 0 2\\
0 0 0
\end{pmatrix},\\
p(\lambda)=|A-\lambda E|=
\begin{vmatrix}
-\lambda \phm 1 \phm 0\\
\phm 0 -\lambda \phm 2\\
\phm 0 \phm 0 -\lambda
\end{vmatrix} = -\lambda^3.
\end{gathe}$$
Имеется лишь одно собственное число: $$\lambda=0$$. x2, x3 - главные неизвестные, x1 - свободная переменная, множество
Пример 9.19.3.
Если$$A=
\begin{pmatrix}
\alpha_1
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
\alpha_n
\end{pmatrix} \text{ -}$$
диагональная матрица, то $$\alpha_1,...,\alpha_n $$ - все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).
Пример 9.19.4.$$\begin{gathe} A = \begin{pmatrix} \phm 0 1\\ -1 0 \end{pmatrix},\\ p(\lambda)=|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} -\lambda \phm 1\\ -1 -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2+1. \end{gathe}$$
а) K= R : нет действительных корней многочлена $$p(\lambda)=\lambda^2+1$$, поэтому для матрицы A нет действительных собственных чисел (и
б) K= C : многочлен $$p(\lambda) $$ имеет корни $$\lambda_1=i\in C$$, $$\lambda_2=-i\in C $$ (собственные числа матрицы A ).
Пример 9.19.5.$$\begin{gathe} K= R,\quad A= \begin{pmatrix} 1 -3 3\\ 3 -5 3\\ 6 -6 4 \end{pmatrix},\\ p(\lambda)=|A-\lambda E|=-\lambda^3+12\lambda+16. \end{gathe}$$ Корни многочлена $$p(\lambda) :$$ $$\lambda_1=-2$$, $$\lambda_2=-2$$, $$\lambda_3=4 $$ (собственные числа).
Задача 9.19.6 (уравнение Сильвестера). Пусть $$A\in M_{n}( C)$$, $$B\in M_{m}( C)$$, $$C\in M_{n,m}( C) $$ и матрицы A и B не имеют общих собственных чисел. Тогда матричное уравнение Сильвестера AX-XB=C имеет единственное решение $$X\in M_{n,m}( C)$$.
Задача 9.19.7. Пусть $$A,B\in M_{n}( C)$$, AB=BA. Покажите, что для матриц A и B существует общий собственный вектор.
Трудная задача 9.19.8. Пусть $$A,B\in M_{n}( C) $$ и r(AB-BA)=1. Тогда для матриц A и B существует общий собственный вектор.
Теорема 9.19.9. Пусть $$A\in M_{n}(K)$$, $$0\neq\hat X_1,...,\hat X_l\in\hat K_n$$, $$\lambda_1,...,\lambda_l\in K$$, $$\lambda_i\neq\lambda_j $$ при $$1 \leq i\neq j \leq l$$, $$A\cdot \hat X_i=\lambda_i\cdot \hat X_i$$, i=1,...,l. Тогда столбцы $$\hat X_1,...,\hat X_l $$ линейно независимы, т. е.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по l. Основание индукции: l=1, $$A\cdot\hat X_1=\lambda_1\cdot\hat X_1$$, $$0\neq\hat X_1$$, $$\{\hat X_1\} $$ - линейно независимая система векторов.
Пусть теперь $$l \geq 2 $$ и наше утверждение доказано для всех l', $$1 \leq l'<l$$.Допустим, что$$\begin{equation}\label{triestelo}
\alpha_1\hat X_1+...+\alpha_l \hat X_l=0\in\hat K^n,\quad
\alpha_i\in K,\quad i=1,...,l.
\end{equation}$$
Умножая слева на матрицу A обе части равенства, получаем, что$$\alpha_1\cdot A\cdot \hat X_1+...+\alpha_l\cdot A\cdot \hat X_l= A\cdot 0=0\in\hat K^n,$$
и поэтому$$\begin{equation}\label{triedusteloj}
\alpha_1\lambda_1 \hat X_1+...+\alpha_l\lambda_l \hat X_l=0.
\end{equation}$$
Умножая (9.6) на $$\lambda_l$$, имеем$$\begin{equation}\label{tristeloj}
\alpha_1\lambda_l\hat X_1+...+\alpha_l\lambda_l \hat X_l=0.
\end{equation}$$
Вычитаем (9.8) из (9.7):$$\begin{equation*}
\alpha_1(\lambda_1-\lambda_l)\hat X_1+...+
\alpha_{l-1}(\lambda_{l-1}-\lambda_l) \hat X_{l-1}=0\in \hat K^n.
\end{equation*}$$
Применяя предположение индукции, получаем, что$$\alpha_1(\lambda_1-\lambda_l)=...= \alpha_{l-1}(\lambda_{l-1}-\lambda_l) =0.$$
Поскольку $$\lambda_1\neq\lambda_l$$,..., $$\lambda_{l-1}\neq\lambda_l$$, отсюда следует, что $$\alpha_1=...=\alpha_{l-1}=0$$. Следовательно, из (9.6) следует, что $$\alpha_l\hat X_l=0\in \hat K^n$$. Так как $$\hat X_l\neq 0$$, то $$\alpha_l=0$$. Таким образом, $$\alpha_1=...=\alpha_l=0$$, и поэтому
Следствие 9.19.10. Если $$A\in M_n(K)$$, характеристический многочлен p(t)=|A- имеет n различных корней $$\lambda_1,...,\lambda_n $$ в поле K, то матрица A подобна диагональной матрице:$$C^{-1}AC=d(\lambda_1,...,\lambda_n),\ \ \text{где}\ \ C\in\GL_n(K).$$
Теорема 9.19.11. Матрица $$A\in M_n( C) $$ нильпотентна (т. е. $$A^m=0\in M_n(K) $$ для некоторого $$m\in N$$ ) тогда и только тогда, когда собственные числа $$\lambda_1,...,\lambda_n $$ равны нулю.
Доказательство.
а) Если $$\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0$$, то $$|A-\lambda E|=(-1)^n\lambda^n$$. По теореме Гамильтона Кэли $$A^n=(0)\in M_n( C)$$.
б) Если $$A^m=(0)\in M_n( C) $$ и $$A\hat X=\lambda\hat X$$, где $$\lambda\in C$$, $$0\neq\hat X\in\hat{ C}^n$$, то $$\hat{ C}^n\ni 0=A^m\hat X=\lambda^n\hat X$$, следовательно, $$\lambda^n=0 $$ и $$\lambda=0$$.
Замечание 9.19.12. Одним из фундаментальных результатов об алгебре матриц Mn( C) над полем комплексных чисел C (и о строении отдельно взятого линейного оператора конечномерного линейного пространства CV ) является теорема о жордановой нормальной форме:
J1,...,Jk - жордановы клетки, см. упражнение 8.6.8);JA матрицы A определена однозначно (с точностью до порядка жордановых клеток).Эта теорема обычно является одним из центральных результатов курса линейной алгебры. Она также доказывается в более общем виде в разделе о строении конечнопорожденных модулей над кольцами главных идеалов.
Конечно, теорема Гамильтона Кэли над полем C$ является следствием теоремы о жордановой нормальной форме. В то же время имеются элегантные доказательства теоремы о жордановой нормальной форме, использующие теорему Гамильтона Кэли.
Мы оставляем этот сюжет для следующих частей наших "начал алгебры" (или его можно рассматривать как достаточно трудную задачу).
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.