Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина \[ \xi \] имеет вырожденное распределение в точке \[ c\in\mathbb R \] , и пишут: \[ \xi{\,\sim\,} \mathrm I_c \] , если \[ \xi \] принимает единственное значение \[ c \] с вероятностью 1, т.е. \[ \Prob(\xi=c)=1 \] . Функция распределения \[ \xi \] имеет вид \[ F_\xi(x)=\Prob(\xi&<x)=\Prob(c&<x)=\begin{cases} 0, & \text{если } x\le c, \cr 1, & \text{если } x>c. \end{cases} \]

Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина \[ \xi \] имеет распределение Бернулли с параметром \[ p \] , и пишут: \[ \xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_p \] , если \[ \xi \] принимает значения \[ 1 \] и \[ 0 \] с вероятностями \[ p \] и \[ 1-p \] соответственно. Случайная величина \[ \xi \] с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха \[ p \] : ни одного успеха или один успех. Таблица распределения \[ \xi \] имеет вид: \[ \begin{tabular}{l|c|c} $\xi$ & 0 & 1 \cr \hline $\Prob\vphantom{b^b}$ & $1-p$ &$p$ \end{tabular}\,. \]

Функция распределения случайной величины \[ \xi \] такова: \[ F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, & \text{если } x\le 0, \cr 1-p, & \text{если } 0<x\le 1, \cr 1, & \text{если } x>1. \end{cases} \]

Биномиальное распределение. Говорят, что случайная величина \[ \xi \] имеет биномиальное распределение с параметрами \[ n\in \mathbb N \] и \[ p\in(0,\,1) \] , и пишут: \[ \xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_{n,p} \] , если \[ \xi \] принимает значения \[ k=0,\,1,\,\dots,\,n \] с вероятностями \[ \Prob(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \] . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в \[ n \] испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха \[ p \] . Таблица распределения \[ \xi \] имеет вид \[ \begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c} $\xi$ & 0 & 1 & \ldots & $k$ & \ldots & $n$ \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ & $(1-p)^n$ & $np(1-p)^{n-1}$ & \ldots & $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ & \ldots & $p^n$ \end{tabular}\,. \] Например, количество выпавших шестерок при двадцати подбрасываниях правильной игральной кости имеет биномиальное распределение \[ {\mathrm B}_{20, \frac16} \] . Распределение Бернулли совпадает с распределением \[ {\mathrm B}_{1, p} \] .

Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина \[ \tau \] имеет геометрическое распределение с параметром \[ p\in(0,\,1) \] , и пишут \[ \tau \sim {\mathrm G}_p \] , если \[ \tau \] принимает значения \[ k=1,\,2,\,3,\,\dots \] с вероятностями \[ {\Prob(\tau=k)}=p (1-p)^{k-1} \] . Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха \[ p \] . Таблица распределения \[ \tau \] имеет вид \[ \begin{tabular}{l|c|c|c|c|c} $\tau$ & 1 & 2 & \ldots & $k$ & \ldots \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ & $p$ & $p(1-p)$ & \ldots & $p(1-p)^{k-1}$ & \ldots \end{tabular}\,. \]

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина \[ \xi \] имеет распределение Пуассона с параметром \[ \lambda>0 \] , и пишут: \[ \xi{\,\sim\,} \mathrm \Pi_{\lambda} \] , если \[ \xi \] принимает значения \[ k=0,\,1,\,2,\,\dots \] с вероятностями \[ \Prob(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \] . Таблицу распределения \[ \xi \] читатель может нарисовать самостоятельно.

Распределение Пуассона возникло в теореме Пуассона как предельное распределение для числа успехов в \[ n \] испытаниях схемы Бернулли, когда число испытаний \[ n \] увеличивается, а вероятность успеха уменьшается обратно пропорционально \[ n \] . Поэтому распределение Пуассона называют иначе распределением числа редких событий.

Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина \[ \xi \] имеет гипергеометрическое распределение с параметрами \[ n \] , \[ N \] и \[ K \] , где \[ K \le N \] , \[ n \le N \] , если \[ \xi \] принимает целые значения \[ k \] такие, что \[ {0\le k\le K} \] , \[ 0\le n-k\le N-K \] , с вероятностями \[ \Prob(\xi=k)={C_K^k C_{N-K}^{n-k}}\,/\,{C_N^n} \] . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди \[ n \] шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей \[ K \] белых шаров и \[ N-K \] не белых.

Упражнение. Построить графики функций распределения для вырожденного распределения, распределений Бернулли и Пуассона, биномиального и геометрического распределений.