Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное распределение. Говорят, что \[ \xi \] имеет равномерное распределение на отрезке \[ [a,\,b] \] , и пишут: \[ \xi \sim U_{a,b} \] , если плотность распределения \[ \xi \] постоянна на отрезке \[ [a,\,b] \] и равна нулю вне него: \[ f_\xi(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \textrm{\, если\, } x\in[a,\,b], \cr \,0, & \textrm{\, если\, } x\not\in[a,\,b]. \end{cases} \] Площадь под графиком этой функции равна единице, \[ f_\xi(x)\ge 0 \] . Поэтому \[ f_\xi(x) \] является плотностью распределения.

Случайная величина \[ \xi \sim U_{a,b} \] имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке \[ [a,\,b] \] . Вычислим функцию распределения случайной величины \[ \xi \] : \[ F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^x \!\!f_\xi(t) dt= \begin{cases} \int\limits_{-\infty}^x 0\ dt, & x < a, \cr \int\limits_{-\infty}^a 0\ dt +\int\limits_{a}^x \frac{1}{b-a} dt, & a\le x\le b, \cr \int\limits_{-\infty}^a 0\ dt+ \int\limits_{a}^b \frac{1}{b-a} dt+\int\limits_{b}^x 0\ dt, & x>b. \end{cases} \] Графики плотности и функции распределения равномерного распределения на отрезке \[ [a, b] \] изображены на рис. 7.1

Рис. 7.1. Плотность и функция распределения Ua, b

Заметьте, что в точках \[ a \] и \[ b \] функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

Показательное распределение. Говорят, что \[ \xi \] имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром \[ \alpha>0 \] , и пишут: \[ \xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha \] , если \[ \xi \] имеет следующую плотность распределения: \[ f_\xi(x)=\begin{cases} 0, & \text{ если }\, x < 0, \cr \alpha e^{-\alpha x}, & \text{ если }\, x\ge 0. \end{cases} \] Функция распределения случайной величины \[ \xi \] непрерывна: \[ F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, & \text{ если }\, x < 0, \cr 1-e^{-\alpha x}, & \text{ если }\, x\ge 0. \end{cases} \]

Графики плотности и функции распределения показательного распределения с параметром \[ \alpha \] приведены на рис. 7.2

Рис. 7.2. Плотность и функция распределения

Плотность показательного распределения равна нулю на отрицательной полуоси, поэтому вероятность события \[ \{\xi < 0\} \] нулевая - случайная величина с показательным распределением не может быть отрицательна. К тому же плотность отлична от нуля на всей положительной полуоси, поэтому случайная величина с показательным распределением может принимать сколь угодно большие положительные значения: для всякого \[ x \] вероятность события \[ \{\xi>x\} \] не равна нулю.

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство "нестарения" (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 23. Пусть \[ \xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha \] . Тогда для любых \[ x,\,y>0 \] \[ \begin{equation} \Prob(\xi>x+y | \xi>x)=\Prob(\xi>y). \end{equation} \]

Нормальное распределение. Говорят, что \[ \xi \] имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами \[ a \] и \[ \sigma^2 \] , где \[ a\in\mathbb R \] , \[ \sigma>0 \] , и пишут: \[ \xi{\,\sim\,}{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2} \] , если \[ \xi \] имеет следующую плотность распределения: \[ f_\xi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, \quad x\in\mathbb R. \]

На рис. 7.3 приведены графики плотностей нормальных распределений с одним и тем же параметром \[ a \] и разными значениями параметра \[ \sigma \] .

Рис. 7.3. Плотности нормальных распределений

Убедимся, что \[ f_\xi(x) \] является плотностью распределения. Так как \[ f_\xi(x)>0 \] для всех \[ x\in\mathbb R \] , то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2): \[ \begin{multiple} \int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx&=& \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}\,dx= \left[\begin{array}{c}\text{ замена переменных } \cr t=\frac{x-a}{\sigma}, \, dx=\sigma\,dt \end{array}\right]\, =\\\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-t^2/2}\sigma\,dt= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}~ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt\,=\frac{I}{\sqrt{2\pi}}\,=1, \end{multiple} \] где через \[ I \] обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона) \[ I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}. \]

Нормальное распределение \[ {\mathrm N}_{0,\,1} \] с параметрами \[ a=0 \] и \[ \sigma^2=1 \] называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна \[ f_\xi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2} \] .

Мы будем использовать специальное обозначение \[ \Phi_{a,\,\sigma^2}(x) \] для функции распределения нормального закона \[ {\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}\vphantom{a^{a^a}} \] ( рис. 7.3). Первообразная функции \[ e^{-x^{\smash{2}}} \] не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию \[ \Phi_{a,\,\sigma^2}(x) \] можно записать лишь в виде интеграла \[ \Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{(t-a)^2}{2\sigma^2}} dt, \qquad \Phi_{0,\,1}(x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{t^2}{2}} dt. \] Функция \[ \Phi_{0,\,1}(x) \] табулирована, т.е. ее значения при различных вещественных \[ x \] вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.