Случайные величины

Мы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких "похожих" экспериментах вместо самых разных исходов использовать, например, числа. Иначе говоря, каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественное число, и работать только с числами.

Пусть задано вероятностное пространство \[ \langle\Omega, \mathcal F, \Prob\rangle \] .

Определение 20. Функция \[ \xi:\Omega\to\mathbb R \] называется случайной величиной если для любого борелевского множества \[ B\in\mathfrak{B}(\mathbb R) \] множество \[ \xi^{-1}(B) \] является событием, т.е. принадлежит \[ \sigma \] -алгебре \[ \mathcal F \] .

Множество \[ \xi^{-1}(B)=\{\omega\,|\,\xi(\omega)\in B\} \] , состоящее из тех элементарных исходов \[ \omega \] , для которых \[ \xi(\omega) \] принадлежит \[ B \] , называется полным прообразом множества \[ B \] .

Замечание. Вообще, пусть функция \[ f \] действует из множества \[ X \] в множество \[ Y \] , и заданы \[ \sigma \] -алгебры \[ \mathcal F \] и \[ \mathcal G \] подмножеств \[ X \] и \[ Y \] соответственно. Функция \[ f \] называется измеримой, если для любого множества \[ B\in\mathcal G \] его полный прообраз \[ f^{-1}(B) \] принадлежит \[ \mathcal F \] .

Попробуем понять, зачем случайной величине нужна измеримость. Если задана случайная величина \[ \xi \] , нам может потребоваться вычислить вероятности вида \[ \Prob(\xi=5)= \Prob\{\omega \,|\,\xi(\omega)=5\} \] , \[ \Prob(\xi\in[-3,\,7]) \] , \[ \Prob(\xi\ge 3{,}2) \] , \[ \Prob(\xi<0) \] и вообще самые разные вероятности попадания в борелевские множества на прямой. Это возможно лишь если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями - ведь вероятность есть функция, определенная только на \[ \sigma \] -алгебре событий. Требование измеримости равносильно тому, что для любого борелевского множества \[ B \] определена вероятность \[ \Prob(\xi\in B) \] .

Можно потребовать в определении 20 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: \[ {\{\omega | \xi(\omega)\in(a,b)\}\in\mathcal F} \] , или в любой полуинтервал: \[ \{\omega | \xi(\omega) < x\}\in\mathcal F \] .

Определение 21. Функция \[ \xi:\Omega\to\mathbb R \] называется случайной величиной, если для любых вещественных \[ a<b \] множество \[ \{\omega\,|\, \xi(\omega)\in (a,\,b)\} \] принадлежит \[ \sigma \] -алгебре \[ \mathcal F \] .

Доказательство. Докажем эквивалентность определений 20 и 21. Если \[ \xi \] - случайная величина в смысле определения 20, то она будет случайной величиной и в смысле определения 21, поскольку любой интервал \[ (a,\,b) \] является борелевским множеством.

Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервала \[ {B=(a,\,b)} \] выполнено \[ \xi^{-1}(B)\in\mathcal F \] . Мы должны доказать, что то же самое верно для любых борелевских множеств. Соберем в множестве \[ {\mathcal A=\{B\subseteq \mathbb R | \xi^{-1}(B)\in\mathcal F\}} \] все такие подмножества \[ B \] вещественной прямой, что их прообразы являются событиями. По определению, \[ B\in\mathcal A \] тогда и только тогда, когда множество \[ \xi^{-1}(B) \] принадлежит \[ \mathcal F \] .

Множество \[ \mathcal A \] уже содержит все интервалы \[ (a,\,b) \] . Покажем, что множество \[ \mathcal A \] является \[ \sigma \] -алгеброй.

1. Убедимся, что \[ \mathbb R\in\mathcal A \] . Но \[ \xi^{-1}(\mathbb R)=\Omega\in\mathcal F \] и, следовательно, \[ \mathbb R\in\mathcal A \] .
2. Убедимся, что \[ \overline B\in\mathcal A \] для любого \[ B\in\mathcal A \] . Пусть \[ \xi^{-1}(B)\in \mathcal F \] . Тогда \[ \xi^{-1}(\overline B)=\{\omega | \xi(\omega)\not\in B\}=\Omega\setminus{\xi^{-1}(B)} \in\mathcal F \] , так как \[ \mathcal F \] - \[ \sigma \] -алгебра.
3. Убедимся, что \[ B_1\,\cup\, B_2\,\cup\,\ldots\,\in\mathcal A \] для любых \[ B_1,\,B_2,\,\ldots\in\mathcal A \] . Пусть \[ \xi^{-1}(B_i)\in \mathcal F \] для всех \[ i\ge 1 \] . Но \[ \mathcal F \] - \[ \sigma \] -алгебра, поэтому \[ \xi^{-1}\Bigl(\,\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty B_i\Bigr)= \Bigl\{\omega \Big| \xi(\omega)\in \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty B_i\Bigr\}= \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty {\xi^{-1}(B_i)} \in\mathcal F. \]

Мы доказали, что \[ \mathcal A \] - \[ \sigma \] -алгебра и содержит все интервалы на прямой. Но \[ \mathfrak{B}(\mathbb R) \] - наименьшая из \[ \sigma \] -алгебр, содержащих все интервалы на прямой. Следовательно, \[ \mathfrak{B}(\mathbb R)\subseteq \mathcal A \] .

Приведем примеры измеримых и неизмеримых функций.

Пример 37.

Подбрасываем кубик. Пусть \[ \Omega=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\} \] и две функции из \[ \Omega \] в \[ \mathbb R \] заданы так: \[ \xi(\omega)=\omega \] , \[ \eta(\omega)=\omega^2 \] .

Пока не задана \[ \sigma \] -алгебра \[ \mathcal F \] , нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то \[ \sigma \] -алгебры \[ \mathcal F \] , может не быть таковой для другой \[ \mathcal F \] .

1. Если \[ \mathcal F \] есть множество всех подмножеств \[ \Omega \] , то \[ \xi \] и \[ \eta \] являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит \[ \mathcal F \] , в том числе и \[ \{\omega \,|\,\xi(\omega)\in B\} \] или \[ \{\omega\,|\, \eta(\omega)\in B\} \] . Можно записать соответствие между значениями случайных величин \[ \xi \] и \[ \eta \] и вероятностями принимать эти значения в виде таблицы распределения вероятностей или, короче, таблицы распределения: \[ \begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c} $\xi$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \cr \hline $\vphantom{\int^1}\Prob$ & $\tfrac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ \end{tabular} \quad \begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c} $\eta$ & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \cr \hline $\vphantom{\int^1}\Prob$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$ \end{tabular} \] Здесь \[ \Prob(\xi=1)=\ldots=\Prob(\xi=6)=\Prob(\eta=1)= \ldots=\Prob(\eta=36)=\frac16 \] .
2. Пусть \[ \sigma \] -алгебра событий \[ \mathcal F \] состоит из четырех множеств: \[ \begin{equation} \mathcal F=\bigl\{\Omega, \emptyset, \{1,\,3,\,5\}, \{2,\,4,\,6\}\bigr\}, \end{equation} \] т.е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного или нечетного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной \[ \sigma \] -алгебре ни \[ \xi \] , ни \[ \eta \] , не являются случайными величинами. Возьмем, скажем, \[ B=\{4\} \] . Видим, что \[ \{\omega\,|\,\xi(\omega)=4\}=\{4\}\not\in \mathcal F \] и \[ \{\omega\,|\, \eta(\omega)=4\}=\{2\}\not\in \mathcal F \] .

Пример 38. Пусть \[ \Omega=[0,\,2\pi] \] , \[ \mathcal F=\mathfrak{B}(\mathbb R)\cap[0,\,2\pi] \] - сигма-алгебра борелевских подмножеств отрезка \[ [0,\,2\pi] \] , \[ \Prob(B)=\lambda(B)/ 2\pi \] - геометрическая вероятность на \[ \mathcal F \] и \[ A \] - неизмеримое множество Витали, построенное нами в примере 21. Функция \[ \xi(\omega)=I_A(\omega)=\begin{cases} 1, & \text{ если }\, \omega\in A,\cr 0, & \text{ если }\, \omega\not\in A \end{cases} \] не является случайной величиной, поскольку, например, прообраз единицы \[ \{\omega\,|\,\xi(\omega)=1\}=A \] не принадлежит \[ \mathcal F \] . И вероятность для \[ \xi \] попасть в единицу \[ \Prob(\xi=1)=\lambda(A) / 2\pi \] просто не существует.

Познакомимся с важным понятием - "распределение" случайной величины и опишем различные типы распределений случайных величин.