Функция распределения

Описание распределения набором вероятностей \[ \Prob(\xi\in B) \] не очень удобно: слишком много существует борелевских множеств. Мы описали дискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные - плотностью распределения. Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.

Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностей попадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя ли обойтись знанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Борелевская \[ \sigma \] -алгебра \[ \mathfrak{B}(\mathbb R) \] порождается интервалами (равно как и лучами \[ (-\infty,\,x) \] ), поэтому можно ограничиться только вероятностями попадания в такие лучи для всех \[ x\in\mathbb R \] . А уже с их помощью можно будет определить и вероятность попасть в любое борелевское множество.

Замечание. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы \[ (-\infty,\,x] \] , или в \[ (x,\,\infty) \] , или в \[ [x,\,\infty) \] .

Определение 27. Функцией распределения случайной величины \[ \xi \] называется функция \[ F_\xi: \mathbb R\to [0,\,1] \] , при каждом \[ x\in\mathbb R \] равная вероятности случайной величине \[ \xi \] принимать значения, меньшие \[ x \] : \[ F_\xi(x)=\Prob(\xi< x)=\Prob\{\omega\,:\,\xi(\omega)<x\}. \]

Общие свойства функций распределения.

Теорема 21. Любая функция распределения обладает свойствами:

(F1) она не убывает: если \[ x_1<x_2 \] , то \[ F_\xi(x_1)\le F_\xi(x_2); \]

(F2) cуществуют пределы \[ \smash{\lim\limits_{x\to-\infty}}F_\xi(x)=0 \] и \[ \smash{\lim\limits_{x\to+\infty}}F_\xi(x)=1; \]

(F3) она в любой точке непрерывна слева \[ F_\xi(x_0-0)=\lim_{x\to x_0-0}F_\xi(x)=F_\xi(x_0). \]

Доказательство свойства (F1) Для любых чисел \[ x_1<x_2 \] событие \[ {\{\xi<x_1\}} \] влечет событие \[ \{\xi<x_2\} \] , т.е. \[ \{\xi<x_1\} \subseteq \{\xi<x_2\} \] . Но вероятность - монотонная функция событий, поэтому \[ \qquad F_\xi(x_1)=\Prob\{\xi<x_1\}\,\le \,\Prob\{\xi<x_2\}=F_\xi(x_2).\qquad \]

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры (теорема 7).

Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции \[ F_\xi(x) \] . Остается лишь доказать равенства \[ \lim\limits_{x\to-\infty}F_\xi(x)=0 \] , \[ \lim\limits_{x\to+\infty}F_\xi(x)=1 \] и \[ \lim\limits_{x\to x_0-0}F_\xi(x)=F_\xi(x_0) \] . Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности \[ \{x_n\} \] , так как существование предела влечет совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что \[ F_\xi(-n)\to 0 \] при \[ {n\to\infty} \] . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий \[ B_n=\{\xi<-n\} \] : \[ B_{n+1}=\bigl\{\xi<-(n{+}1)\bigr\} \subseteq B_n=\bigl\{\xi<-n\bigr\} \ \textrm{ для любых } n\geq 1. \] Пересечение \[ B \] всех этих событий состоит из тех и только тех \[ \omega \] , для которых \[ \xi(\omega) \] меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода \[ \omega \] значение \[ \xi(\omega) \] вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий \[ B_n \] не содержит элементарных исходов, т.е. \[ B=\bigcap B_n=\emptyset \] . По свойству непрерывности меры, \[ F_\xi(-n)=\Prob(B_n)\to \Prob(B)=0 \] при \[ n\to\infty \] .

Точно так же докажем остальные свойства.

Покажем, что \[ F_\xi(n)\to 1 \] при \[ n\to\infty \] , т.е. \[ 1{-}F_\xi(n)=\Prob(\xi\ge n)\to 0 \] . Обозначим через \[ B_n \] событие \[ B_n=\{\xi\geq n\} \] . События \[ B_n \] вложены: \[ B_{n+1}=\bigl\{\xi \geq (n+1)\bigr\} \subseteq B_n=\bigl\{\xi \geq n\bigr\} \ \textrm{ для любых } n\geq 1, \] а пересечение \[ B \] этих событий снова пусто: оно означает, что \[ \xi \] больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, \[ \qquad 1-F_\xi(n)=\Prob(B_n)\to \Prob(B)=0 \text{ при } n\to\infty. \qquad \]

Доказательство свойства (F3). Достаточно доказать, что \[ F_\xi(x_0-1/n)\to F_\xi(x_0) \] при \[ n\to\infty \] . Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности: \[ F_\xi(x_0) - F_\xi\Bigl(x_0-\frac{1}{n}\Bigr)= \Prob(\xi<x_0)-\Prob\Bigl(\xi<x_0-\frac{1}{n}\Bigr)= \Prob\Bigl(x_0-\frac{1}{n}\le\xi<x_0\Bigr). \]

Осталось обозначить событие \[ \{x_0-{1}/{n}\le\xi<x_0\} \] через \[ B_n \] и снова воспользоваться свойством непрерывности меры.

Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения. То, что любая функция распределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.

Теорема 22. Если функция \[ F:\mathbb R\to[0,1] \] удовлетворяет свойствам (F1)-(F3) , то \[ F \] есть функция распределения некоторой случайной величины \[ \xi \] , т.е. найдется вероятностное пространство \[ \langle\Omega,\mathcal F,\Prob\rangle \] и случайная величина \[ \xi \] на нем такая, что \[ F(x)\equiv F_\xi(x) \] .

Помимо отмеченных в теореме 21, функции распределения обладают следующими свойствами:

Свойство 8. В любой точке \[ x_0 \] разница \[ F_\xi(x_0+0)-F_\xi(x_0) \] равна \[ \Prob(\xi=x_0) \] . Иначе говоря, \[ F_\xi(x_0+0)=F_\xi(x_0)+ \Prob(\xi=x_0)=\Prob(\xi\le x_0) \] .

Это свойство получается аналогично свойствам (F2) и (F3)).

Разница \[ F_\xi(x_0+0)-F_\xi(x_0) \] между пределом при стремлении к \[ x_0 \] справа и значением в точке \[ x_0 \] есть величина скачка функции распределения. Эта величина равна нулю, если функция распределения непрерывна (справа) в точке \[ x_0 \] . Слева функция распределения непрерывна всегда.

Замечание Очень часто функцией распределения называют \[ \Prob(\xi \le x) \] . Эта функция отличается от определенной выше лишь тем, что она непрерывна справа, а не слева. И вероятность \[ \Prob(\xi=x_0) \] для нее равна величине скачка слева, а не справа.

Свойство 9. Для любой случайной величины \[ \xi \] \[ \Prob(a\le\xi<b)=F_\xi(b)-F_\xi(a). \] Если \[ F_\xi(x) \] непрерывна в точках \[ a \] и \[ b \] , то \[ \Prob(a<\xi<b)=\Prob(a\le\xi\le b)= \Prob(a<\xi\le b)=F_\xi(b)-F_\xi(a). \]

Доказательство. Разобьем событие \[ \{\xi<b\} \] в объединение несовместных событий: \[ \{\xi<a\}\cup\{a\le\xi<b\}=\{\xi<b\} \] . По свойству аддитивности вероятности, \[ \Prob\{\xi<a\}+\Prob\{a\le\xi<b\}=\Prob\{\xi<b\}, \] или \[ F_\xi(a)+\Prob\{a\le\xi<b\}=F_\xi(b) \] , что и требовалось доказать.

Функция распределения дискретного распределения.

Согласно определению дискретного распределения, его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так: \[ F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\sum_{k\,:\, a_k<x} \Prob(\xi=a_k). \]

Из свойств 8 и 9 вытекает следующее свойство.

Свойство 10. Случайная величина \[ \xi \] имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения \[ F_\xi(x) \] имеет в точках \[ a_i \] скачки с величиной \[ p_i=\Prob(\xi=a_i)=F_\xi(a_i+0)-F_\xi(a_i) \] , и растет только за счет скачков.