Опубликован: 13.08.2013 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Поволжский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Самостоятельная работа 2:

Статистическая обработка в Mathcad

< Лекция 2 || Самостоятельная работа 2 || Лекция 3 >
Аннотация: Цель работы: знакомство с использованием функций в система Mathcad.
Ключевые слова: ПО, форматирование, вывод

Подготовка к работе

По указанной литературе изучить приёмы работы с формулами, функциями, форматирование и редактирование данных.

Контрольные вопросы

  1. Что такое ранжированная переменная и для решения, каких задач она используется?
  2. Какие категории функций имеются в системе MathCAD?
  3. Дать понятие функции пользователя?
  4. Назовите виды операторов системы MathCAD и поясните их назначение.
  5. Как вывести результаты вычислений в виде таблиц?
  6. Организация вложенных циклов.
  7. Правила задания многомерных функций.

Задания на выполнение

Научиться использовать математические и статистические функции в системе MathCAD.

  1. Линейная и сплайновая интерполяции.

    Исходные данные для выполнения задания 1 в таблице 2.1.

    Таблица 4.1.
    варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    Исходные данные \begin{bmatrix}
 1 & 0 \\
 2 & 3 \\
 4 & 6 \\
 8 & 5
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 2 & 4 \\
 5 & 8 \\
 9 & 3 \\
 1 & 4
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 1 & 5 \\
 6 & 3 \\
 2 & 4 \\
 7 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 2 & 0 \\
 3 & 5 \\
 4 & 9 \\
 8 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 1 & 0 \\
 3 & 5 \\
 5 & 7 \\
 7 & 9
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 2 & 3 \\
 4 & 6 \\
 6 & 8 \\
 9 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 1 & 2 \\
 3 & 4 \\
 5 & 6 \\
 8 & 9
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 3 & 5 \\
 4 & 7 \\
 5 & 8 \\
 6 & 9
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 3 & 5 \\
 4 & 7 \\
 5 & 8 \\
 6 & 9
\end{bmatrix}
    Рассмотрим линейную интерполяцию

    Линейная интерполяция

    A:= \begin{pmatrix}
 1 & 0 \\
 2 & 3 \\
 3 & 5 \\
 4 & 1\\
5 & 2\\
6 & 4
\end{pmatrix} \text {   Векторы исходных данных X и Y} \\
\\
A:=csort(A,0) \qquad X:=A^{\langle 0 \rangle}\qquad Y:=A^{\langle 1 \rangle} \\
\\
f(x):=linterp(X,Y,x) \qquad f(2)=3 \qquad f(7)=6

    Сплайновая интерполяция

    S:=cspline (X,Y) \qquad fs(x):=interp (S,X,Y,x)\\
fs(2)=3 \qquad fs(7)=-2.067
    Как мы видим значения точек при линейной и сплайновой интерполяции различны.

    Построим графики линейной и сплайновой интерполяций. Для этого задается количество точек и шаг.

    i:=0..length(X)-1 \qquad scale:=100 \qquad j:=0..scale \\
x_j=min(X)+j \cdot \frac {max(X)-min(X)} {scale}
    Линейная и сплайновая интерполяции

    Рис. 4.1. Линейная и сплайновая интерполяции

  2. Линейная регрессия.

    Исходные данные для выполнения задания 2 в таблице 4.2.

    Таблица 4.2.
    Заданные вектора Заданные вектора
    1 VX=[3, 2, 4, 5] 4 VX=[7, 18, 3, 11]
    VY=[7, 8, 9, 5] VY=[1, 5, 3, 9]
    2 VX=[12, 14, 7, 11] 5 VX=[24, 9, 12, 27]
    VY=[6, 8, 10, 15] VY=[9, 3, 17, 11]
    3 VX=[3, 9, 12, 14] 6 VX=[4, 15, 2, 19]
    VY=[7, 9, 11, 13] VY=[11, 17, 1, 13]
    VX:= \begin{pmatrix}
 1  \\
 2  \\
 3  \\
 4 \\
5 
\end{pmatrix} \qquad  
VY:= \begin{pmatrix}
 4  \\
 11  \\
 15\\
 21\\
 28
 \end{pmatrix} \qquad \text {Исходные данные}\\
 ORIGN:=1

    Вычислим коэффициенты a и b линейной регрессии

    a:=intercept (VX,VY) \qquad b:=slope(VX,VY) \\
\\
i:=1..6 \qquad f(x):=a+b \cdot x \\
\\
1=-1.6 \qquad b=5.8 \qquad corr(VX,VY)=0,996 \\
\\
f(3)=15,8 \qquad linterp (VX,VY,3)=15
    По этим данным строим график линейной регрессии
    Линейная регрессия

    Рис. 4.2. Линейная регрессия

  3. Линейная регрессия общего вида.

    Исходные данные для выполнения задания 3 в таблице 4.2.

    VX:= \begin{pmatrix}
 1  \\
 2  \\
 3  \\
 4 \\
5 
\end{pmatrix} \qquad  
VY:= \begin{pmatrix}
 4  \\
 11  \\
 15\\
 21\\
 28
 \end{pmatrix} \qquad F(x):= \begin{pmatrix}
 \frac 1 x  \\
 x^2  \\
 x\\
 2 \cdot x\\
 exp(x)
 \end{pmatrix}
    Функции F(x) подбираются так, чтобы коэффициент детерминации стремился к единице.
    K:=linfit(VX,VY,F) \qquad g(t):=F(t) \cdot K \\
\\
R^2=\frac {\sum \overrightarrow {(g(VX)-mean(VY))^2}} {\sum \overrightarrow {(VY)-mean(VY))^2}} = 0.999 \qquad \text {коэффициент детерминации} \\ i:=0..4 \qquad r:=1,1.25..5 \qquad K:= \begin{pmatrix}
 -5.242  \\
 -0.918  \\
 1.613 \\
 3.226 \\
0.079
\end{pmatrix}\\

    g(t) – это функция регрессии

    К – коэффициент функции регрессии

    Линейная регрессия общего вида

    Рис. 4.3. Линейная регрессия общего вида

  4. Полиномиальная регрессия

    Исходные данные для выполнения задания 4 в таблице 4.2.

    VX:= \begin{pmatrix}
 1  \\
 2  \\
 3  \\
 4 \\
5 
\end{pmatrix} \qquad  
VY:= \begin{pmatrix}
 4  \\
 11  \\
 15\\
 21\\
 28
 \end{pmatrix} \qquad k:=3 \qquad \text {Исходные данные}

    k – степень полинома, от него зависит насколько точно будет построена функция.

    z:=regress (VX,VY,K)\\
\\
F(x):=interp(z,VX,VY,x)\\
\\
Coeffs:=submatrix(z,3,length(z) – 1,0,0)\\
\\
Coeffs^T=(-6.2 \qquad 12.81 \qquad -2.857 \qquad 0.333)

    F(x) - выдаёт интерполированное значение в x от коэффициентов вектора напротив, и оригинальных данных в VX и VY.

    Coeffs - выдаёт субматрицу массива состоящую из элементов в строках ir через jr и столбцах ic через jc из z.

    CoeffsT - преобразует коэффициент в горизонтальную запись

    R^2=\frac {\sum \overrightarrow {(F(VX)-mean(VY))^2}} {\sum \overrightarrow {(VY)-mean(VY))^2}} = 0.998 \qquad \text {коэффициент детерминации} \\
\\
i:=0..6 \qquad j:=0..4 \qquad tx_j:=min(VX)+j \frac {(max(VX)-min(VX))} {50}
    Полиноминальная регрессия

    Рис. 4.4. Полиноминальная регрессия

  5. Нелинейная регрессия общего вида.

    Исходные данные для выполнения задания 5 в таблице 4.2

    F(x,a,b):=a \cdot exp(-b \cdot x)+a \cdot b \\
ORIGIN:=1\\
VX:= \begin{pmatrix}
 1  \\
 2  \\
 3  \\
 4 \\
5 
\end{pmatrix} \qquad  
VY:= \begin{pmatrix}
 4  \\
 11  \\
 15\\
 21\\
 28
 \end{pmatrix} \qquad  VS:= \begin{pmatrix}
 2  \\
 2 
\end{pmatrix} \\ F1(x,k):= \begin{pmatrix}
 k_1exp(-k_2x+k_1k_2 \\
 exp(-k_2x)+k_2\\
-k_1x \cdot exp(-k_2x)+k_1
\end{pmatrix}\\
P:=genfit(VX,VY,VS,F1)\qquad G(x):=F1(x,P)_1 \qquad x:=0,0.1..4
    P = \begin{pmatrix}
 0.762  \\
 20.722
 \end{pmatrix} \qquad
    Вектор P возращает значения a=k1 и b=k2 для наилучшего среднеквадратического приближения F (x,a,b)
Нелинейная регрессия общего вида

Рис. 4.5. Нелинейная регрессия общего вида

В заключение работы, следует сделать вывод о целесообразности применения той или иной регрессии, чем они друг от друга отличаются.

< Лекция 2 || Самостоятельная работа 2 || Лекция 3 >
Елена Ерофеева
Елена Ерофеева
Россия, Тольятти, Тольяттинский филиал Самарского государственного педагогического университета, 1995
Алена Семенова
Алена Семенова
Россия, г. Новосибирск