НОУ ИНТУИТ | Алгоритмические основы современной компьютерной графики. Лекция 8: Растровое преобразование графических примитивов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Алгоритмы Брезенхема растровой дискретизации окружности и эллипса

Алгоритм изображения окружности несколько сложнее, чем построение отрезка. Мы рассмотрим его для случая окружности радиуса с центром в начале координат. Перенесение его на случай произвольного центра не составляет труда. При построении растровой развертки окружности можно воспользоваться ее симметрией относительно координатных осей и прямых $y=\pm x$ . Необходимо сгенерировать лишь одну восьмую часть окружности, а остальные ее части можно получить путем отображений симметрии. За основу можно взять часть окружности от 0 до 45 $\deg$ в направлении по часовой стрелке с исходной точкой построения (r,0) . В этом случае координата окружности является монотонно убывающей функцией координаты .

Рис. 8.7. Ближайший пиксель при движении по окружности

При выбранном направлении движения по окружности имеется только три возможности для расположения ближайшего пикселя: на единицу вправо, на единицу вниз и по диагонали вниз (рис. 8.7). Выбор варианта можно осуществить, вычислив расстояния до этих точек и выбрав минимальное из них:

$\begin{gathered} d_h=|s_h|, \quad d_v=|s_v|, \quad d_d=|s_d|, \\ s_h=(x+1)^2+y^2-r^2, \quad s_v=x^2+(y-1)^2-r^2, \quad\\ s_d=(x+1)^2+(y-1)^2-r^2. \end{gathered}$

Алгоритм можно упростить, перейдя к анализу знаков величин s_h, s_v, s_d . При s_d<0 диагональная точка лежит внутри окружности, поэтому ближайшими точками могут быть только диагональная и правая. Теперь достаточно проанализировать знак выражения $\Delta=d_v-d_d$ . Если $\Delta\le 0$ , выбираем горизонтальный шаг, в противном случае - диагональный. Если же s_d>0 , то определяем знак $\Delta^1=d_d-d_v$ , и если $\Delta^1\le 0$ , выбираем диагональный шаг, в противном случае - вертикальный. Затем вычисляется новое значение s_d , причем желательно минимизировать вычисления не только этой величины, но и величин $\Delta,\Delta^1$ на каждом шаге алгоритма. Путем несложных преобразований можно получить для первого шага алгоритма, что $\Delta=2(s_d+y)-1, \quad \Delta^1=2(s_d+x)-1$ .

После перехода в точку $(x',y'),\:x'=x+1,\:y'=y+1$ по диагонали новое значение s_d вычисляется по формуле s'_d=s_d+2x'-2y'+2 , при горизонтальном переходе $(x'=x+1,y'=y)\quad s'_d=s_d+2x'+1$ , при вертикальном (x'=x,y'=y-1) - s'_d=s_d-2y'+1 .

Таким образом, алгоритм рисования этой части окружности можно считать полностью описанным (блок-схема его приведена на рис. 8.8). Все оставшиеся ее части строятся параллельно: после получения очередной точки (x',y') можно инициализировать еще семь точек с координатами $(-x',y'),\;(-x',-y'),\;(x',-y'),\;(y',x'),\;(y',-x'),\;(-y',-x'),\;(-y',x')$ .

Для построения растровой развертки эллипса с осями, параллельными осям координат, и радиусами a,b воспользуемся каноническим уравнением

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$

которое перепишем в виде

$f(x,y)\equiv b^2 x^2+a^2 y^2 -a^2 b^2 =0.$

В отличие от окружности, для которой было достаточно построить одну восьмую ее часть, а затем воспользоваться свойствами симметрии, эллипс имеет только две оси симметрии, поэтому придется строить одну четверть всей фигуры. За основу возьмем дугу, лежащую между точками (0,b) и (a,0) в первом квадранте координатной плоскости.

Рис. 8.8. Блок-схема построения восьмой части окружности

В каждой точке (x,y) эллипса существует вектор нормали, задаваемый градиентом функции . Дугу разобьем на две части: первая - с углом между нормалью и горизонтальной осью больше 45 $\deg$ (тангенс больше 1) и вторая - с углом, меньшим 45 $\deg$ (рис. 8.9). Движение вдоль дуги будем осуществлять в направлении по часовой стрелке, начиная с точки (0,b) . Вдоль всей дуги координата является монотонно убывающей функцией от , но в первой части она убывает медленнее, чем растет аргумент, а во второй - быстрее. Поэтому при построении растрового образа в первой части будем увеличивать на единицу и искать соответствующее значение , а во второй - сначала уменьшать значение на единицу и определять соответствующее значение .

Направление нормали соответствует вектору

$grad(x,y)= \left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right) =(2b^2 x, 2a^2 y).$

Отсюда находим тангенс угла наклона вектора нормали: t=a^2 y/b^2 x

. Приравнивая его единице, получаем, что координаты точки деления дуги на вышеуказанные части удовлетворяют равенству b^2 x=a^2 y

. Поэтому критерием того, что мы переходим ко второй области в целочисленных координатах, будет соотношение $a^2(y-1/2)\le b^2(x+1)$ , или, переходя к целочисленным операциям, $a^2(2y-1)\le 2b^2(x+1)$ .

Рис. 8.9. Две области на участке эллипса

Рис. 8.10. Схема перехода в первой и второй областях дуги эллипса

При перемещении вдоль первого участка дуги мы из каждой точки переходим либо по горизонтали, либо по диагонали, и критерий такого перехода напоминает тот, который использовался при построении растрового образа окружности. Находясь в точке (x,y) , мы будем вычислять значение $\Delta=f(x+1,y-\frac12)$ . Если это значение меньше нуля, то дополнительная точка $(x+1,y-\frac12)$ лежит внутри эллипса, следовательно, ближайшая точка растра есть (x+1,y) , в противном случае это точка (x+1,y-1) (рис. 8.10а).

На втором участке дуги возможен переход либо по диагонали, либо по вертикали, поэтому здесь сначала значение координаты y уменьшается на единицу, затем вычисляется $\Delta=f(x+\frac12,y-1)$ и направление перехода выбирается аналогично предыдущему случаю (рис. 8.10б).

Остается оптимизировать вычисление параметра $\Delta$ , умножив его на 4 и представив в виде функции координат точки. Тогда для первой половины дуги имеем

$\begin{gathered} \widetilde{\Delta}(x,y)\equiv 4\Delta(x,y)=4b^2(x+1)^2+a^2(2y-1)^2-4a^2 b^2, \\ \widetilde{\Delta}(x+1,y)=\widetilde{\Delta}(x,y)+4b^2(2x+3), \\ \widetilde{\Delta}(x+1,y-1)=\widetilde{\Delta}(x,y)+4b^2(2x+3)-8a^2(y-1). \end{gathered}$

Для второй половины дуги получим

$\begin{gathered} \widetilde{\Delta}(x,y)\equiv 4\Delta(x,y)=b^2(2x+1)^2+4a^2(y-1)^2-4a^2 b^2, \\ \widetilde{\Delta}(x+1,y)=\widetilde{\Delta}(x,y)+8b^2(x+1), \\ \widetilde{\Delta}(x+1,y-1)=\widetilde{\Delta}(x,y)+8b^2(x+1)-4a^2(2y+3). \end{gathered}$

Все оставшиеся дуги эллипса строятся параллельно: после получения очередной точки (x',y') , можно инициализировать еще три точки с координатами $(-x',y'),\;(-x',-y'),\;(x',-y')$ . Блок-схему не приводим ввиду прозрачности алгоритма.

Дальше >>

Авторизоваться

Алгоритмические основы современной компьютерной графики

Растровое преобразование графических примитивов

Алгоритмы Брезенхема растровой дискретизации окружности и эллипса

Вопросы и ответы