Спонсор: Школа анализа данных (Яндекс)
Вы можете этот курс.
Автор: Максим Бабенко | Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Вам нравится? Нравится 40 студентам
Уровень:
Для всех
Длительность:
5:03:00
Студентов:
1235
Выпускников:
48
В курсе рассматриваются базовые алгоритмы и структуры данных, включая хеширование, сложность и модели вычислений, деревья поиска, B-деревья, задачи геометрического поиска, динамическую связность в графах и другое.
План занятий
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Сложность и модели вычислений. Анализ учетных стоимостей
Основные ресурсы: память и время. О-символика. Примеры моделей вычисления: машина Тьюринга, RAM-машина. Сложность в среднем и худшем случаях. Пример: задача сортировки. Сортировка выбором. Теоретико-информационная нижняя оценка сложности. Разрешающие деревья. Нижняя оценка сложности в модели разрешающих деревьев. Массивы переменного размера: аддитивная и мультипликативная схемы реаллокации. Анализ мультипликативной схемы для массива переменного размера с помощью банковского метода.
Оглавление
-
Анализ учетных стоимостей (окончание)
Анализ учетных стоимостей операций: функция потенциала, истинные и учетные стоимости. Стеки и очереди. Реализация на основе массива переменного размера и на основе связанного списка. Моделирование очереди с помощью двух стеков. Задача о поддержании динамического максимума в стеке и очереди. Изменяемые (mutable) и неизменяемые (immutable) структуры данных. Структуры данных с хранением истории (persistent). Immutable-стек и immutable-очередь. Проблема множественного будущего при анализе учетных стоимостей в persistent-структурах.
Оглавление
-
Функции быстрой сортировки и сортировки слиянием
Понятие о методе "разделяй и властвуй". Алгоритм Merge-Sort. Слияние двух упорядоченных списков. Оценка сложности. K-way Merge-Sort для работы во внешней памяти. Сортировка слиянием без использования дополнительной памяти. Общая схема алгоритма Quick-Sort. Два варианта реализации Partition. Примеры неудачного выбора опорных элементов. Рандомизированный выбор опорного элемента. Сложность Quick-Sort в худшем и среднем случаях. Глубина рекурсии в худшем и среднем случаях. Элиминация хвостовой рекурсии. Задача об оптимальном дереве слияний. Коды Хаффмана. Слияние двух упорядоченных последовательностей различной длины. Теоретико-информационная нижняя оценка. Бинарный поиск "от края" (galloping).
Оглавление
-
Порядковые статистики. Кучи
Нахождение порядковых статистик с помощью рандомизированной модификации алгоритма Quick-Sort. Линейность матожидания времени работы. Приближенные медианы. Выбор k-й порядковой статистики за линейное в худшем случае. Деревья со свойствами кучи. Почти полные бинарные деревья: нумерация вершин, навигация. Двоичная куча. Операция просеивания вниз и вверх. Реализация операций вставки, удаления и поиска минимума. Преобразование произвольного массива ключей в кучу (операция Make-Heap), линейность времени работы. Алгоритм сортировки Heap-Sort.
Оглавление
-
Кучи и хэширование
k-ичные кучи, зависимость сложности операций от выбора k. Биномиальные (binomial), левацкие (leftlist) и косые (skew) кучи.
Оглавление
-
Хэширование
Хеш-функции. Коллизии. Разрешение коллизий методом цепочек, методом последовательных проб и методом двойного хеширования. Гипотеза простого равномерного хеширования, оценка средней длины цепочки. Универсальные семейства хеш-функций, оценка средней длины цепочки. Построение универсального семейства для целочисленных ключей. Совершенные хеш-функции. Построение совершенной хеш-функции с помощью универсального семейства. Интерфейс множества с ошибками. Фильтр Блюма (Bloom filter). Оценка вероятности ложноположительного срабатывания. Интерфейс словаря с ошибками. Модификация фильтра Блюма (bloomier filter).
Оглавление
-
Деревья поиска
Определение дерева поиска. Вставка и удаление элементов. Inorder-обход дерева. Красно черные деревья: определение и основные свойства. Реализация операций вставки для красно-черного дерева. Splay-деревья. Операция splay: zig, zig-zig и zig-zag шаги. Реализация операций вставки, удаления, слияния и разделения для splay-деревьев.
Оглавление
-
Деревья поиска и декартовы деревья
Декартовы деревья (дучи). Единственность декартова дерева для заданного набора различных ключей и приоритетов. Логарифмическая оценка матожидания высоты дучи.Операции слияния и разделения для дуч. Операции вставки и удаления элементов для дуч. Построение декартового дерева за линейное время при условии предварительной сортировки ключей.
Оглавление
-
B-деревья. Система непересекающихся множеств
B+ деревья: определения и основные свойства. Операции поиска, вставки и удаления для B+ деревьев. Системы непересекающихся множеств. Реализация с использованием леса. Ранги вершин, эвристика ранга. Логарифмическая оценка ранга через количество элементов. Рандомизированная ранговая эвристика. Эвристика сжатия путей. Оценка учетной стоимости операций (без доказательства).
Оглавление
-
Задачи RMQ и LCA
Задачи RMQ (range minimum query) и LCA (least common ancestor). Сведение от задачи RMQ к задаче LCA, декартово дерево. Алгоритм Таржана для offline-версии задачи LCA. Простейшие алгоритмы для online-версии задачи LCA: полная и разреженная таблицы ответов. Алгоритм Фарах-Колтона-Бендера для к задаче ±1-RMQ. Сведение задачи LCA к задаче ±1-RMQ: эйлеров обход дерева.
Оглавление
-
Задачи геометрического поиска
Location problem, stabbing problem. Деревья интервалов. Сведение системы интервалов к двумерной задаче. Задача поиска точек в коридоре. Priority search tree. Задача поиска точек в прямоугольнике. Дерево отрезков по координате X, упорядоченные по Y списки точек в каждой вершине. Сложность O(n log n) для построения и O(log^2 n) для запроса. Уменьшение времени поиска до O(log n). Задача одновременного поиска в наборе упорядоченных списков. Fractional cascading.
Оглавление
-
Динамическая связность в графах
Задача о динамической связности: вставки и удаления ребер, запросы о связности. Частный случай задачи для случая лесов. Деревья эйлеровых обходов: слияние и разделение. Использование амортизации и набора остовных лесов для решения со сложностью O(log^2 n).
Оглавление
-