Введение в лямбда исчисление

Карринг

В качестве примера функции высшего порядка, которую можно описать лямбда-выражением, рассмотрим карринг.

Карринг назван в честь американского математика Карри Брукса Хаскелла — одного из основателей теории, известной как комбинаторная логика, частью которой является лямбда-исчисление. Карринг, без потери общности, позволяет рассматривать функции, имеющие только один аргумент. Вначале соглашение, связанное с нотацией:

Почувствуй нотацию

[f ; g](a * [b + с])

Часто приходится иметь дело с бинарными функциями, имеющими два аргумента, такими как композиция ";" " или сложение "+". Рассмотрим такую функцию:

f : [ X х Y ] → Z

для заданных X, Y, Z. Зная f, определим функцию f' с сигнатурой:

f' : X → [ Y → Z]

как

( 6.5)

Что это означает? В отличие от f функция f' принимает только один аргумент типа X, а также в отличие от f не возвращает результат типа Z. Вместо этого она для любого x в качестве результата возвращает функцию, заданную в [2.22]. Давайте назовем эту функцию g. Эта функция от одного аргумента y типа Y возвращает результат типа Z. Результат g(x) — тот же, что и f(x, y), как если бы сразу применили пару аргументов к функции f.

Функцию f' называют карризованной версией функции f. Карринг двухаргументной функции означает преобразование ее в одноаргументную функцию, связанную с оригиналом соотношением [6.5]. Говорят также, что карринг означает специализацию функции по первому аргументу. Специализация, связывая первый аргумент, оставляет свободным только второй аргумент, что и преобразует функцию в одноаргументную.

Если функция add — сложение целых, определение которой можно задать лямбда-выражением , то curry(add) является функцией:

Так что add' (1) - λy: INTEGER | 1 + y — это функция " плюс 1", добавляющая 1 к заданному числу.

Соответствие между двухаргументной функцией f и ее карризованной версией f' взаимно однозначно. Неформально при проведении карринга никакая информация не теряется, так как эффект второго аргумента остается встроенным в аргумент результирующей функции f'.

Будет интересно — и послужит примером выразительной силы лямбда-нотации — явно установить соответствие между f и f ', рассматривая карринг как функцию curry, определяемую лямбда-выражением. Для заданных X, Y, Z ее сигнатура:

curry: [[X х Y ] → Z ] → [X → [Y → Z ]]

Ее значение

Аналогично определите обратное соответствие, создающее f по функции f'.

Обобщение карринга

Во всех примерах карринг применялся к двухаргументной функции по первому аргументу. Достаточно просто обобщить концепцию: карринг можно применять к любой функции из n (n ≥ 1) аргументов для любого выбора m аргументов (1 ≤ m ≤ n), задав значения для выбранного набора аргументов. Это превращает исходную функцию в функцию с n - m аргументами, представляя специализированную версию исходной функции, также известной как частичное вычисление. Если m = n, то получаем константную функцию.

Карринг на практике

Как пример того, что карринг представляет на практике, рассмотрим разницу между компиляцией и интерпретацией.

Рис. 6.1. Интерпритация и компиляция

Интерпретатор с абстрактной точки зрения можно рассматривать как функцию с сигнатурой:

interpreter : Program х Input → Output

Здесь Program — множество всех корректных программ, Input и Output — множества возможных входов и выходов (это упрощенная, но достаточно корректная точка зрения на программы). Компилятор создает из исходной программы машинный код, который на компьютере уже без дополнительных усилий может быть выполнен на некотором входе:

Абстрактно работу компилятора можно рассматривать как функцию с сигнатурой:

compiler : Program → [Input → Output]

Когда у нас есть два механизма выполнения для одного и того же языка программирования, важно, чтобы они реализовали одну и ту же семантику.

Это основа работы в EiffelStudio, где постоянно приходится переключаться от полностью скомпилированной, полностью оптимизированной — финальной формы компиляции к быстрой возрастающей перекомпиляции — "технологии тающего льда", где главным образом применяется интерпретация. Конечно, при поставке конечного продукта выполняется финальная компиляция, но результаты работы совпадают с версией "тающего льда".

Требование согласованной работы компилятора и интерпретатора точно и элегантно выразимо с использованием карринга:

compiler = curry (interpreter)

ОО-стиль программирования отвечает духу карринга. ОО-вычисления инициируются вызовом:

x.  f ( args)

Фиксирован объект — цель вызова, который и вызывает операцию. Для неквалифицированных вызовов — f(args) неявно заданной целью является объект Current и вызов можно записать в виде Current. f(args).

В ОО-программировании никогда не говорят "Примени эту операцию к тем объектам", что характерно для стиля, отличного от ОО, применяющего вызовы в форме f(x, argl, arg2, ...) со всеми операндами на равной ноге. ОО-программисты говорят "Этот объект применяет операцию, и, если нужны некоторые аргументы, то вот они".

Конечно, все, что выразимо в одном стиле, можно выразить и в другом. Но привычки ОО-стиля, влияющие на структуру программы, глубоки. Напомним только о двух важных понятиях — классе, играющем роль модуля и типа данных, и о наследовании.

Все это прячется в концепциях этого раздела. ОО-программирование является карринг-программированием.