Математическая логика событий и логические нейронные сети

Система принятия решений на основе достоверности высказываний о событиях

Изменения, внесённые в дерево логических возможностей и представленные на рис 1.5, отобразим в электронной схеме системы принятия решений, представленной на рис. 1.4. Теперь исходными данными для конъюнкторов и дизъюнкторов становятся не булевы, а действительные значения, для которых логические операции не определены (рис. 1.6). Так перейдём к понятию нечёткой логики.

увеличить изображение
Рис. 1.6. Система принятия решений на основе достоверности событий

Следуя далее по пути приблизительных оценок (ибо практически достоверность, как категория теории вероятностей, принадлежит области весьма приблизительных оценок), разработаем некоторый суррогат операций конъюнкции N₁ и дизъюнкции N₂ на основе передаточной функции или функции активации некоторого порогового элемента. Этот элемент преобразует сумму входных величин в выходные значения, которые приближённо "напоминают" результаты упомянутых логических операций. Данный путь – путь ухода от точного выбора в сторону выбора решения на основе степени похожести ситуаций на уже известные. Это путь ассоциативного мышления. Так мы перейдём к рассмотрению тех нейроподобных элементов, что реализованы в природе!

Существует множество вариантов подбора пороговой передаточной функции, или функции активации, лежащей в основе такого элемента.

Введём сквозную нумерацию всех узлов схемы, реализующих дизъюнкцию и конъюнкцию. Пусть i - номер такого узла, j - номер входа этого узла при количестве m_i активных входов (в данном примере каждый узел имеет два входа), - вес входа. Тогда простейшая функция активация (обратите внимание: наши помыслы сосредоточены на нейроне!) f_i, реализуемая i-м узлом для замены логических операций конъюнкции и дизъюнкции, имеет вид

( 1.7)

Здесь f_j — величина сигнала, поступающая на j-й вход.

Тогда элемент N₁, подобный конъюнктору, может быть реализован при , с помощью существенно высокого порога (рис. 1.7), где значение обусловлено некоторой поправкой, достаточной, чтобы для преодоления порога сигналы возбуждения с большой степенью уверенности поступали обязательно по всем входам.

Рис. 1.7. Элемент N1

На этапе настройки и верификации СПР предполагается, что входные сигналы — булевы переменные, принимающие значения 0, 1. Тогда целесообразно выбрать значение . Очевидно, что для того, чтобы преодолеть порог, на всех входах должны быть "1"; недостаток хотя бы одной "1" приведет к тому, что сумма поступивших сигналов будет более чем на 1/m_i меньше указанной суммы весов.

При переходе к действительным переменным, когда вместо событий рассматриваются, например, лишь предполагаемые вероятности их наступления, экспериментальное уточнение значения может обусловить ту границу, когда считаться с возможностью данной комбинации событий нецелесообразно.

Элемент N₂, подобный дизъюнктору, реализуется, наоборот, при низком значении порога и при (рис. 1.8, единичные веса не обозначаются). Порог выбирается так, чтобы уже при возбуждении на одном входе возникал сигнал возбуждения на выходе. При этом если дизъюнкция задана на исчерпывающем множестве событий, как это чаще всего бывает, сигнал на выходе не превышает "1", а значение выбирается экспериментально достаточно малым.

Рис. 1.8. Элемент N2

Задав на входе СПР значения достоверности переменных-высказываний и рассчитав значения на выходах пороговых элементов, на выходах схемы получим некоторые значения. Максимальное из этих значений "голосует" в пользу соответствующего решения.

Предложения, касающиеся создания пороговых элементов N₁ и N₂, носят лишь рекомендательный характер. Здесь неограниченный простор для творчества.

Напомним, что корректность задания исходной информации (соблюдение условия нормировки на исчерпывающих множествах событий, оценки достоверности с помощью вероятностного дерева логических возможностей) гарантируют практически приемлемый результат. Если же на входах задавать что угодно, то СПР преобразует это в какую угодно рекомендацию по принципу: "каков вопрос — таков и ответ".

На рассмотренном жизненном примере проанализируем принимаемые бабушкой решения на основе двух вариантов СПР: с помощью электронной схемы (рис. 1.4), использующей определённость знания о ситуации, и с помощью схемы, основанной на неопределённости, на предполагаемой достоверности этих знаний (рис. 1.6). Положим (на основе интуиции) для всех i. Данные сведены в таблицу 1.1.

Более точный выбор значения производится на этапе верификации СПР по известным вариантам нахождения решения. В данном случае представляется, что этот выбор произведён успешно.