НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 8: Алгоритмы с открытыми ключами

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Атака методом цепных дробей

См. [1]

В целях ускорения зашифрования и расшифрования в системе RSA часто открытый или секретный показатель выбирают малыми. Поскольку размеры чисел составляют сотни бит, сокращение длины показателей первоначально могло выглядеть обоснованным. Однако такой способ увеличения скорости шифрования часто приводит к снижению стойкости.

Теорема 8.1 (Винер) Пусть в системе RSA выполняются неравенства и $d<\dfrac{1}{3}\sqrt[{4}]{n}$ . Тогда по открытому ключу можно вычислить секретный показатель .

При некотором целом выполняется неравенство:

$\left|\frac{e}{n}-\frac{k}{d}\right|\leq \frac{1}{d\sqrt[4]{n}} < \frac{1}{2d^2}.$

Число дробей $\dfrac{k}{d}$ , для которых d<n , удовлетворяющих полученому соотношению, не превосходит log n , и все они являются подходящими дробями $\dfrac{P_i}{Q_i}$ к рациональному чилу $\dfrac{e}{n}$ . Для некоторого будет выполняться равенство $\dfrac{P_i}{Q_i}=\dfrac{k}{d}$ . Из равенства $ed-k\varphi(n)=1$ следует, что числа и взаимно просты, значит, k=P_i , d=Q_i .

Пример 8.7 Пусть - открытый ключ. Найдём .

Раскладываем число $\dfrac{e}{n}$ в цепную дробь и находим последовательно подходящие дроби:

$\begin{align*}\frac{2693216516134636609}{4617790059809965777}=[0;1,1,2,1,1,64,3,1,1,61,2,9,\ldots],\\ \frac{P_1}{Q_1} =\frac{1}{1};\quad \frac{P_2}{Q_2} =\frac{1}{2};\quad \frac{P_3}{Q_3} =\frac{3}{5};\quad \frac{P_4}{Q_4} =\frac{4}{7};\quad \frac{P_5}{Q_5} =\frac{7}{12};\\ \frac{P_6}{Q_6} =\frac{452}{775};\quad \frac{P_7}{Q_7} =\frac{1363}{2337};\quad \frac{P_8}{Q_8} =\frac{1815}{3112};\quad \frac{P_9}{Q_9} =\frac{3178}{5449}.\end{align*}$

Для девятой подходящей дроби получаем, что разность $e\cdot Q_9 - 1$ делится нацело на P_9 :

$2693216516134636609\cdot 5449-1=3178\cdot 4617790055512156980.$

Полагаем d=Q_9=5449 . Секретный ключ найден.

Атака повторным шифрованием

Строим последовательность: y_1=y , $y_i=y_{i-1}^e ~(\mod N)$ , i>1 . Итак, $y_m=y^{(e^m)} ~(\mod N)$ , а так как $\GCD(e,\varphi(n))=1$ , то существует такое натуральное число , что $e^m=1 ~(\mod \varphi(N))$ . Но тогда $y^{(e^m-1)}=1 ~(\mod N)$ , отсюда следует, что $y^{(e^m)} =y ~(\mod N)$ , значит, $y_{m-1}$ - решение сравнения $y=x^e ~(\mod N)$ .

Пример 8.8 Пусть у нас имеется открытый ключ , и зашифрованное им сообщение . Найдём открытый текст .

Возводя в степень , строим последовательность:

$\begin{align*}y_1 = y = 8646,\quad y_2 = 37043,\quad y_3 = 5569,\quad y_4 = 61833,\\ y_5 = 83891,\quad y_6 = 16137,\quad y_7 = 8646 = y.\end{align*}$

Следовательно, y_6 является решением сравнения $y=x^e ~(\mod N)$ , а, следовательно, искомым сообщением .

Замечание. Анализ метода повторного шифрования хорошо показывает необходимость соблюдения требований на выбор и для обеспечения стойкости. В данном примере d = 82 225 . Неудачный выбор криптосистемы привел к тому, что атака методом повторного шифрования дала результат почти сразу, тогда как нахождение потребовало бы на порядок больших вычислений.

Атака на основе Китайской теоремы об остатках

Как отмечалось ранее, системы шифрования с открытыми ключами работают сравнительно медленно. Для повышения скорости шифрования RSA на практике используют малую экспоненту зашифрования.

Если выбрать число небольшим или таким, чтобы в его двоичной записи было мало единиц, то процедуру шифрования можно значительно ускорить. Например, выбрав e = 3 (при этом ни p - 1 , ни q - 1 не должны делиться на 3), мы сможем реализовать шифрование с помощью одного возведения в квадрат по модулю и одного перемножения. Выбрав $e=2^{16}-1=65537$ - число, двоичная запись которого содержит только две единицы, мы сможем реализовать шифрование с помощью 16 возведений в квадрат по модулю и одного перемножения. Если экспонента выбирается случайно, то реализация шифрования по алгоритму RSA потребует возведений в квадрат по модулю и в среднем s/2 умножений по тому же модулю, где - длина двоичной записи числа . Вместе с тем, выбор небольшой экспоненты может привести к негативным последствиям. Дело в том, что у нескольких корреспондентов могут оказаться одинаковые экспоненты .

Пусть, например, три корреспондента имеют попарно взаимно простые модули N_1 , N_2 , N_3 и общую экспоненту e = 3 . Если еще один пользователь посылает им некое циркулярное сообщение , то криптоаналитик противника может получить в свое распоряжение три шифрованных текста $y_i=x^3 ~(\mod N_i)$ , i=1,2,3 . Далее, он может найти решение системы сравнений, лежащее в интервале $(0,N_1\cdot N_2 \cdot N_3)$ и удовлетворяющее уравнениям:

$\left\{\begin{array}{l} y\equiv y_1 ~(mod\; N_1),\\ y\equiv y_2 ~(mod\; N_2),\\ y\equiv y_3 ~(mod\; N_3) \end{array}\right.$

По китайской теореме об остатках такое решение единственно, а так как $x^3<N_1\cdot N_2 \cdot N_3$ , то y=x^3 . Значение можно найти, вычислив кубический корень $x=\sqrt[3]{y}$ . Отметим, 8.1 что выбор малой экспоненты расшифрования также нежелателен в связи с возможностью определения простым перебором. Известно также что если $d<\sqrt[4]{N}$ , то экспоненту легко найти, используя непрерывные дроби.

Пример 8.9 Три пользователя имеют модули , , . Все пользователи используют экспоненту . Всем пользователям было послано некое сообщение , причем пользователи получили сообщения , , . Найдём .

С помощью китайской теоремы об остатках решим систему:

$\left\{\begin{array}{l} y=5366 ~(mod\; 26549),\\ y=814 ~(mod\; 45901), \\ y=4454 ~(mod\; 25351). \end{array}\right.$

Для этого вычислим $M_0 = N_1\cdot N_2\cdot N_3= 30893378827799$ . Далее находим

$m_1 = N_2\cdot N_3 = 1163636251,$

$m_2 = N_1\cdot N_3 = 673043699,$

$m_3 = N_1\cdot N2 = 1218625649,$

$n_1 = m_1^{-1} ~(mod\; N_1) = 13533,$

$n_2 = m_2^{-1} ~(mod\; N_2) = 27930,$

$n_3 = m_3^{-1} ~(mod\; N_3) = 22354.$

$y = y_1\cdot n_1\cdot m_1 + y_2\cdot n_2\cdot m_2 + y_3\cdot n_3\cdot m_3=$

= 84501028038745578 + 15301661957638980 + 121332116653000684 =

$=221134806649385242 \equiv 1000000000 ~(mod\; M_0).$

Отсюда $x=\sqrt[3]{1000000000} = 1000$ - исходное сообщение, отправленное пользователям.

Бесключевое чтение

Пусть два пользователя выбрали одинаковый модуль и взаимно простые экспоненты e_1 и e_2 . Если один пользователь посылает им некое циркулярное сообщение , то криптоаналитик противника может получить в свое распоряжение два шифрованных текста $y_1=x^{e_1} ~(mod\; N)$ и $y_2=x^{e_2}~(mod\; N)$ . В таком случае криптоаналитик может получить исходное сообщение, найдя с помощью алгоритма Евклида числа и такие, что re_1+se_2=1 . Отсюда получаем:

$y_1^r y_2^s = x^{re_1 + se_2} = x ~(mod\; N).$

Пример 8.10 Два пользователя применяют общий модуль , но разные взаимно простые экспоненты и . Пользователи получили шифртексты и , которые содержат одно и то же сообщение. Найдем исходное сообщение методом бесключевого чтения.

Так как e_1 и e_2 взаимно просты, то найдем такие и , что re_1+se_2=1 . С помощью расширенного алгоритма Евклида находим r = 61 , s = -50 . Искомое сообщение:

$x=y_1^r\cdot y_2^s = 60197^{61} \cdot 63656^{-50}=1234.$

Выводы

Как видно из приведенных выше примеров, выбор параметров криптосистемы является ответственной задачей. Параметры необходимо выбирать в строгом соответствии с требованиями. Существующими в настоящими время методами (и при использовании существующих в настоящее время вычислительных мощностей) атака на алгоритм и/или криптосистему возможна лишь при неудачном выборе параметров. В частности, необходимо обеспечить каждому пользователю уникальные значения , и уникальное значение , удовлетворяющие требованиям, приведенным выше.

Дальше >>

Криптографические методы защиты информации

Криптографические методы защиты информации