НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 2: Алгоритмы тестирования на простоту и факторизации

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2.1 Парадокс дней рождения

Теорема 2.3 Пусть $\lambda>0$ . Для случайной выборки объёма из элементов, где $l =\sqrt{2\lambda n}$ , вероятность того, что все элементы выборки будут попарно различны, допускает следующую оценку сверху:

$p<e^{-\lambda}.$

Следствие 2.1 (Парадокс дней рождения) Чтобы с вероятностью обнаружить двух людей, празднующих день рождения в один день, достаточно рассмотреть всего 23 человека.

Этот парадокс допускает следующие применения в криптографии.

2.2.1 Алгоритм Полларда для факторизации натурального числа

Пусть нам требуется факторизовать натуральное число , то есть найти любой его нетривиальный делитель. Один из простейших алгоритмов приведён ниже [1]. Алгоритм будет вычислять псевдослучайную последовательность $x_0, x_1,\ldots, x_l$ . Вероятность того, что НОД (|x_i - x_j|, n) > d можно оценить по теореме 2.4. Если - минимальный делитель числа , то множество $\mathbb{Z}$ разбивается на классов, причем если x_i , x_j лежат в одном классе, то НОД(x_i-x_j,n) делится на . Итак, в теореме 2.4 находим $\lambda = \dfrac{l^2}{2q}$ , и $p<e^{-\lambda}$ .

Если $x_i-x_j=0 ~(\mod q)$, $i<j$ , а 2^r - наименьшая степень двойки, большая , то $x_{2^r}-x_{j+(2^r-i)}=0~(\mod q)$ . Поэтому вместо того, чтобы сравнивать все пары x_i , x_j с произвольными i,j , имеет смысл сравнивать пары:

$\begin{array}{ccc} x_2 \text{ и } x_3 & x_4 \text{ и } x_7 & ... \\ x_4 \text{ и } x_5 & x_8 \text{ и } x_9 & x_{2^k} \text{ и } x_{m}\\ x_4 \text{ и } x_6 & x_8 \text{ и } x_{10} & 2^k<m<2^{k+1}. \end{array}$

Для сравнения среди таких пар достаточно хранить $x_{2^k}$ и x_m , тогда как для поиска среди всех пар нужно хранить все пары.

Правда, такая хитрость требует увеличить длину последовательности. Допустим, наименьшие и , для которых НОД(x_j-x_i,n)>1 , равны, соответственно, и . Тогда

$\begin{array}{l} НОД(x_{l}-x_0,n)>1,\\ НОД(x_{l+1}-x_1,n)>1,\\ \ldots\\ НОД(x_{l+2^k}-x_{2^k})>1 \end{array}$

Поскольку мы сравниваем $x_{2^k}$ и $x_{m}$ , где $m<2^{k+1}$ , то у нас $2^{k+1}>l+2^k$ , то есть $2^{k} > l$ . Итак, нужно выбрать наименьшее такое, что 2^k > l и вычислить не l+1 , а m=2^k + l членов последовательности.

Взять многочлен с целыми коэффициентами и случайное число . Положить .
Вычислить $x_i=f(x_{i-1}) ~(\mod n)$ .
Если - степень двойки, положить , , перейти к предыдущему шагу.
(Теперь - не степень двойки). Если , то - нетривиальный делитель числа .
Положить . Если $i\leq m$ , перейти к шагу 2.

Отметим, что при фиксированном длина вычисляемой последовательности пропорциональна $\sqrt{n}$ - верхней оценке наименьшего простого делителя . Таким образом, данный алгоритм имеет сложность, экспоненциальную по числу бит числа .

Пример 2.2 С помощью $\rho$ -алгоритма Полларда найти нетривиальный простой делитель числа .

На первом шаге алгоритма требуется выбрать многочлен f(x) для генерации последовательности x_i . Возьмём f(x) = x^2 + 1 . Выберем длину последовательности так, чтобы найти в ней повтор с вероятностью $p\geq 0,5$ . $q\leq\sqrt{2449}<50=q_0$ - оценка сверху для наименьшего простого делителя числа . Итак, $0.5< p < e^{-\lambda}$ , откуда $-\lambda > ln 0,5 = 0,693147$ . Тогда

$l \leq \sqrt{2\lambda\cdot p_0} \approx \sqrt{70}\approx 8,36.$

Допустим, в последовательности $x_0,\ldots,x_9$ есть повтор. Чтобы гарантированно его найти с помощью приведённого алгоритма, нужно вычислить не меньше её членов. В самом деле, так как 2^3<9<2^4=16 , то k=4 , и необходимое число членов: 25=16+9 .

Выберем x_0=10 .

Вычисляем $x_1=f(x_0) ~(\mod n)=101$ ;
Вычисляем $x_2=f(x_1) ~(\mod n)=406$ ; 2 - степень двойки; запоминаем .
Вычисляем $x_3=f(x_2) ~(\mod n)=754$ , .
Вычисляем $x_4=f(x_3) ~(\mod n)=349$ , 4 - степень двойки; запоминаем .
Вычисляем $x_5=f(x_4) ~(\mod n)=1801$ , .
Вычисляем $x_6=f(x_5) ~(\mod n)=1126$ , .
Вычисляем $x_7=f(x_6) ~(\mod n)=1744$ , .

Итак, нам повезло найти нетривиальный делитель 31 числа 2449. Если бы мы досчитали до $x_{25}$ и не нашли повтор, то нам лучше было бы выбрать новый x_0 (в качестве него можно взять $x_{25}$ ) и начать алгоритм сначала.

2.2.2 Алгоритм Полларда для дискретного логарифмирования

Изменим алгоритм предыдущего параграфа так, чтобы с его помощью решать задачу дискретного логарифмирования. Его идея остаётся прежней: мы будем вычислять последовательность $x_0, x_1, \ldots$ и будем находить среди них пары x_i=x_j чисел. Зададим последовательность так, чтобы это равенство давало нам дискретный логарифм.

Найдём из условия $a^y = b ~(\mod p)$ , где - простое число.

Определим последовательности u_i , v_i , x_i следующим образом:

$u_0 = v_0 = 0,\qquad x_0 = 1;$

$u_{i+1}=\left\{ \begin{array}{ll} u_{i}+1 ~(\mod p-1),&\text{если}~0\leq x_i<p/3; \\ 2u_{i} ~(\mod p-1),&\text{если}~p/3 \leq x_i<2p/3; \\ u_i ~(\mod p-1)&\text{иначе}. \end{array}\right.$

$v_{i+1}=\left\{ \begin{array}{ll} v_{i} ~(\mod p-1),&\text{если}~0\leq x_i<p/3; \\ 2v_{i} ~(\mod p-1),&\text{если}~p/3 \leq x_i<2p/3; \\ v_i+1 ~(\mod p-1)&\text{иначе}. \end{array}\right.$

$x_{i+1}=b^{u_{i+1}}\cdot a^{v_{i+1}}.$

Тогда если x_i=x_j , то $b^{u_{i}-u_{j}} = a^{v_{i}-v_{j}}$ , откуда

$\log_a b = (u_i -u_j)^{-1} (v_i-v_j)~(\mod p-1) .$

Коллизия x_i=x_j ищется тем же способом, что и в предыдущем параграфе.

Отметим, что данный алгоритм может быть также обобщен для дискретного логарифмирования в произвольной циклической группе, и даже для поиска коллизий хэш-функций.

Дальше >>

Криптографические методы защиты информации

Криптографические методы защиты информации

Алгоритмы тестирования на простоту и факторизации

2.1 Парадокс дней рождения

2.2.1 Алгоритм Полларда для факторизации натурального числа

2.2.2 Алгоритм Полларда для дискретного логарифмирования

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Криптографические методы защиты информации

Криптографические методы защиты информации

Алгоритмы тестирования на простоту и факторизации

2.1 Парадокс дней рождения

2.2.1 Алгоритм Полларда для факторизации натурального числа

2.2.2 Алгоритм Полларда для дискретного логарифмирования

Вопросы и ответы

Студенты