НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 7: Нечеткие числа и операции над ними

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Нечеткие треугольные числа

На практике часто используется альтернативное определение нечеткого треугольного числа.

Определение. Треугольным нечетким числом называется тройка $\left\langle a ,b ,c\right\rangle$ $(a\le b\le c)$ действительных чисел, через которые его функция принадлежности $\mu_{S}$ определяется следующим образом:

$\mu _A (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{x - a}} {{b - a}},} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \in [a,b],} & {} \\ {\frac{{x - c}} {{b - c}},} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \in [b,c],} & {} \\ {0,} & {\t{\char226}{\kern 1pt} \;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} & {} \\ \end{array} } \right.$

Второе число тройки $\left\langle a, b, c\right\rangle$ обычно называют модой или четким значением нечеткого треугольного числа. Числа и характеризуют степень размытости четкого числа.

Например, на рис. 7.3 изображено нечеткое треугольное число $A=\left\langle 1, 5, 7\right\rangle$ , которое лингвистически можно проинтерпретировать как "около 5" или "приблизительно 5".

Рис. 7.3.

В общем случае при определении нечеткого треугольного числа не обязательно использовать линейные функции. Часто в различных приложениях используются две функции, из которых одна монотонно возрастает на интервале [a, b] , а другая монотонно убывает на интервале [b, c] . Однако Купер предложил так называемый landmark-based метод для систем управления, в соответствие с которым монотонности и дифференцируемости данных функций на соответствующих отрезках достаточно для того, чтобы система сходилась и имела единственное решение. Таким образом, без потери общности, каждое нечеткое треугольное число может быть представлено упорядоченной тройкой действительных чисел.

Если $A=\langle a_{A}, b_{A}, c_{a}\rangle$ и $B=\langle a_{B},b_{B},c_{b}\rangle$ — треугольные нечеткие числа, то, согласно принципу обобщения Заде, нечеткое треугольное число C=A*B также является треугольным и характеризуется тройкой $\langle a_{C},b_{C},c_{c}\rangle$ , где

$\begin{gathered} a_C = \min \left\{ {a_A * a_B ,\;a_A * c_B ,\;c_A * a_B ,\;c_A * c_B } \right\}, \hfill \\ c_C = \max \left\{ {a_A * a_B ,\;a_A * c_B ,\;c_A * a_B ,\;c_A * c_B } \right\}, \hfill \\ b_C = b_A * b_B . \hfill \\ \end{gathered}$

К сожалению, даже при ограничении нашего виденья нечетких чисел до понятия треугольных чисел, проблемы противоположного, обратного элементов и дистрибутивности остаются нерешенными.

Было предложено ввести некоторые ограничения на вычисление частных случаев вида A*A . Ограничения эти позволяют получить противоположный и обратный элементы. Однако проблема дистрибутивности таким способом не решается. Более того, ограничения кажутся довольно искусственными: чем, к примеру, можно объяснить различие в алгоритмах вычисления A-A и A-B ?

Есть еще один существенный недостаток такого подхода. Размытость произведения зависит не только от размытости сомножителей, но и от того, какое место данные нечеткие числа занимают на числовой оси. Например, пусть

$A_{1}=\langle 1,2,3\rangle,\ B_{1}=\langle 2,3,4\rangle\quad \tи\quad A_{2}=\langle 99,100,101\rangle,\ B_{2}=\langle 100,101,102\rangle.$

Тогда $A_{1}\cdot B_{1}=\langle2,6,12\rangle$ и $A_{2}\cdot B_{2}=\langle9\,900, 10\,100,10\,302\rangle$ . Число $A_{2}\cdot B_{2}$ получается гораздо более размытое, чем $A_{1}\cdot B_{1}$ .

Позднее было предложено другое определение нечеткого числа.

Определение. Нечетким числом называется пара $(\underline u , \overline u )$ функций $\underline u ,\overline u :[0,1] \to R$ , удовлетворяющих следующим условиям:

$\underline u (r)$ — монотонно возрастающая непрерывная функция;
$\overline u (r)$ — монотонно убывающая непрерывная функция;
$\forall r\;\underline u (r) \leqslant \overline u (r).$

Это позволило авторам ввести понятие меры и превратить множество нечетких чисел в топологическое пространство.

Далее была предложена следующая модификация определения нечеткого числа.

Определение. Для любого нечеткого числа $u = (\underline u ,\overline u )$ число $u_0 = \tfrac{1}{2}(\underline u (1) + \overline u (1))$ называется локальным $u_* = u_0 - \underline u$ индексом числа , две неубывающие непрерывные функции $u_* = u_0 - \underline u$ и $u^* = \overline u - u_0$ называются левым и правым индексами нечеткости, соответственно.

Согласно данному определению, каждое нечеткое число может быть представлено следующим образом: $(u_0 ,\;u_* ,u^* )$ .

Далее вводится понятие арифметических операций над нечеткими числами такого вида. Для любых нечетких чисел $u = (u_0 ,\;u_* ,u^* )$ и $v = (v_0 ,\;v_* ,\;v^* )$ они определяются следующим образом:

$u * v = (u_0 * v_0 ,\;\;u_* \vee v_* ,\;\;u^* \vee v^* ).$

Этот подход позволяет решить проблему дистрибутивности, так как размытость числа u*v для всех четырех операций вычисляется при помощи единственногооператора, который дистрибутивен относительно самого себя (т.е. коммутативен, ассоциативен и идемпотентен).

Несмотря на это преимущество, проблемы противоположного и обратного элементов и при таком подходе остаются нерешенными.

Дальше >>

Основы теории нечетких множеств

Основы теории нечетких множеств

Нечеткие числа и операции над ними

Нечеткие треугольные числа

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы теории нечетких множеств

Основы теории нечетких множеств

Нечеткие числа и операции над ними

Нечеткие треугольные числа

Вопросы и ответы

Студенты