НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 6: Методы построения функции принадлежности. Обзор основных методов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Косвенные методы для группы экспертов

А.П.Шер предлагает способ определения функции принадлежности на основе интервальных оценок. Пусть интервал $[x_{ji} ,x_{ji}^\prime ]$ отражает мнение -го эксперта, i>1 ( $i=1,\ldots,m$ ), о значении -го ( $j=1,\ldots,n$ ) признака оцениваемого понятия . Тогда полным описанием этого понятия -м экспертом является гиперпараллелепипед $\theta _i = [x_{1i} ,x_{1i}^\prime ] \times \ldots \times [x_{ni} ,x_{ni}^\prime ]$ . Приводится процедура, позволяющая вычислять коэффициенты компетентности экспертов, а также сводить исходную "размытую" функцию (усредненные экспертные оценки) к характеристической функции неразмытого, четкого множества. Алгоритм следующий:

Рассматривая для каждого признака все интервалы, предложенные экспертами, находим связанное покрытие их объединения, состоящее из непересекающихся интервалов, концами которых являются только концы исходных интервалов:
$[x_{jk} ,x_{jk}^\prime ],\quad \quad j = 1,\ldots ,n,\quad k = 1,\ldots ,m_j - 1.$
Образуем на основе полученных покрытий непересекающиеся гиперпараллелепипеды:
$T_k = [x_{ik} ,x_{ik}^\prime ] \times \ldots \times [x_{nk} ,x_{nk}^\prime ],\quad \quad k = 1,\ldots ,m'.$
Вычисляем для $x \in T_k$ .
$\varphi _i (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;T_k \cap \theta _i \ne \varnothing ,} \\ {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;T_k \cap \theta _i = \varnothing .} \\ \end{array} } \right.$
Полагаем номер итерации .
Вводим коэффициенты компетентности
$\{ \lambda _i^l \} _{i = 1}^m = \{ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 m}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} m}\} _{i = 1}^m .$
Вычисляем приближение функции принадлежности при нормированных $\lambda _i$ , т.е. $\sum {\lambda _i^l = 1}$ :
$f^l (x) = \sum\limits_{i = 1}^m {\varphi _i (x)\lambda _i^l } ,\quad \quad x \in T_k ,\quad k = 1,\ldots ,m'.$
Вычисляем функционал рассогласования мнения -го эксперта с мнением экспертного совета на -й итерации:
$\delta _i^l = \sum\limits_{\begin{subarray}{c} {x \in T_k } \\ {k = 1,\ldots ,m'} \\ \end{subarray} } {[f^l (x) - \varphi _i (x)]^2 } ,\quad \quad i = 1,\ldots ,m.$
Вычисляем $\Delta = \sum\limits_{i = 1}^m {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\delta _i^l .}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\delta _i^l .}}}$
Присваиваем .
Вычисляем $\lambda _i^l = {\Delta \mathord{\left/ {\vphantom {\Delta {\delta _i^{l - 1} .}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\delta _i^{l - 1} .}}$
Если величина $\max |\lambda _i^{l - 1} - \lambda _i^l |$ близка к нулю, то вычисления прекращаем и приближением функции принадлежности считаем $f(x) = \mu _S (x)$ , в противном случае возвращаемся к шагу 6.

Опишем кратко косвенный метод, предложенный З.А.Киквидзе. Пусть — универсальное множество, — понятие, общее название элементов. Задача определения нечеткого подмножества , описывающего понятие , решается путем опроса экспертов. Каждый эксперт $A_{i}$ ( $i=1,\ldots,m$ ) выделяет из множество элементов $Q_{i}$ , по его мнению, соответствующих понятию . Ранжируя все элементы множества $Q = \mathop \cup \limits_{i = 1}^m Q_i$ по предпочтению в смысле соответствия понятию , каждый эксперт упорядочивает , используя отношение порядка $\succ$ или $\approx$ . Отношение $\approx$ указывает на одинаковую степень предпочтения между любыми элементами $q_\alpha ,q_\beta \in Q$ . Предполагается, что эксперты могут поставить коэффициенты степени предпочтения $\gamma$ перед элементами в упорядоченной последовательности, усиливая или ослабляя отношение предпочтения. Вводится расстояние между элементами указанной последовательности $q_\alpha ^i ,q_\beta ^i \in Q$ :

$\rho (q_\alpha ^i ,q_\beta ^i ) = \frac{1} {\gamma }.$

Здесь $\alpha$ , $\beta$ — порядковые номера элементов в упорядочении. Расстояние вычисляется через первый в упорядочении элемент:

$\rho (q_\alpha ^i ,q_\beta ^i ) = \rho (q_1^i ,q_\beta ^i ) - \rho (q_1^i ,q_\alpha ^i ) = \rho _\beta ^i - \rho _\alpha ^i .$

Эта разность показывает, насколько предпочтительнее $q_\alpha ^i$ по сравнению с $q_\beta ^i$ . При решении задачи взвешивания предпочтительности элементов множества предполагается, что разность между весами $\varphi (q_\alpha ^i ) - \varphi (q_\beta ^i )$ пропорциональна разности $\rho _\beta ^i - \rho _\alpha ^i$ : $\varphi (q_{\beta + \nu }^i ) - \varphi (q_\beta ^i ) = c(\rho _{\beta + \nu }^i - \rho _\beta ^i )$ . Когда $\nu=1$ , формула превращается в рекуррентную формулу, и задача сводится к определению веса первого элемента. При использовании рекуррентных формул вес последнего элемента должен отличаться от нуля. Например, в качестве $\varphi (q_1^i )$ можно выбрать $\mathop {\max }\limits_\alpha \rho _\alpha ^i + \rho _0$ . На основании всех $\varphi (q_\alpha ^i )\quad (i = 1,\ldots ,m)$ для $q_\alpha$ определяется значение $\varphi (q_\alpha ) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\varphi (q_\alpha ^i )}$ ; это и есть степень принадлежности элемента $u \in U$ некоторому нечеткому множеству с общим названием .

Зиммерман предлагает метод, сочетающий преимущества косвенных методов в их простоте и стойкости к искажениям ответов экспертов и преимущества прямых методов, позволяющих получить непосредственно значения степени принадлежности. Выборку объектов необходимо проводить так, чтобы достаточно равномерно представить степень принадлежности от до по отношению к рассматриваемому нечеткому множеству. Эта выборка должна удовлетворять условию безоговорочного экстремума, т.е. должна содержать, по крайней мере, два объекта, значения функции принадлежности на которых имеют определенность и (все эксперты приписывают эти числа экстремумам). Далее, когда множество подходящих объектов отобрано, эксперты опрашиваются о степенях принадлежности в процентной шкале. Оценка позиции по шкале каждого объекта определяется посредством медианы из распределений значений принадлежности. В качестве процедуры шкалирования используется метод, основанный на законе Терстона об измерении категорий. Процедура, требующая отсортировки объектов в (k+1) категории на некотором континууме свойств экспертами, дает распределение частоты для каждого объекта по категориям. Средние значения границ категорий, полученные методом наименьших квадратов, позволяют определить значения оценок объектов на шкале.