НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 1: Нечеткие множества как способы формализации нечеткости

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 35 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Для определения пересечения и объединения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций:

Максиминные:
$\mu _{A \cup B} (x) = \max \left\{ {\mu _A (x),\mu _B (x)} \right\} , \quad \mu _{A \cap B} (x) = \min \left\{ {\mu _A (x),\mu _B (x)} \right\}.$
Алгебраические:
$\mu _{A \cup B} (x) = \mu _A (x) + \mu _B (x) - \mu _A (x)\mu _B (x) , \quad \mu _{A \cap B} = \mu _A (x)\mu _B (x) .$
Ограниченные:
$\begin{gathered} \mu _{A \cup B} (x) = \min \left\{ {1,\mu _A (x) + \mu _B (x)} \right\} , \\ \mu _{A \cap B} (x) = \max \left\{ {0,\mu _A (x) + \mu _B^{} (x) - 1} \right\} . \end{gathered}$

Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях определяется одинаково: $\mu _{\bar A} (x) = 1 - \mu _A (x)$ .

Пример. Пусть — нечеткое множество "от 5 до 8" (рис.1.3а) и — нечеткое множество "около 4" (рис.1.3б), заданные своими функциями принадлежности:

Рис. 1.3.

Тогда, используя максиминные операции, мы получим множества, изображенные на рис.1.4.

увеличить изображение
Рис. 1.4.

Заметим, что при максиминном и алгебраическом определении операций не будут выполняться законы противоречия и исключения третьего $A \cap \bar A \ne \varnothing ,\;A \cup \bar A \ne U$ , а в случае ограниченных операций не будут выполняться свойства идемпотентности $A \cup A \ne A,\;A \cap A \ne A$ и дистрибутивности:

$A \cup (B \cap C) \ne (A \cap B) \cup (A \cap C) , \quad A \cap (B \cup C) \ne (A \cup B) \cap (A \cup C).$

Можно показать, что при любом построении операций объединения и пересечения в теории нечетких множеств приходится отбрасывать либо законы противоречия и исключения третьего, либо законы идемпотентности и дистрибутивности.

Носителем нечеткого множества называется четкое множество $\tilde A$ таких точек в , для которых величина $\mu _A (x)$ положительна, т.е. $\tilde A = \left\{ {x|\mu _A (x) > 0} \right\}$ .

Высотой нечеткого множества называется величина $\mathop {\sup }\limits_U \;\mu _A (x)$ .

Нечеткое множество называется нормальным, если $\mathop {\sup }\limits_U \;\mu _A (x) = 1$ . В противном случае оно называется субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым, если $\forall x \in U\quad \left( {\mu _A (x) = 0} \right)$ . Очевидно, что в данном универсуме существует единственное пустое нечеткое множество. Непустое субнормальное нечеткое множество можно привести к нормальному (нормализовать) по формуле

$\mu '_A (x) = \frac{{\mu _A (x)}} {{\mathop {\sup }\limits_U \mu _A (x)}} .$

Множеством уровня $\alpha$ ( $\alpha$ - срезом ) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , определяемое по формуле

$A_\alpha = \left\{ {x|\mu _A (x) \geqslant \alpha } \right\} , \quad\t{где}\quad \alpha \in \left[ {0,1} \right] .$

Множество строгого уровня определяется в виде $A_\alpha = \left\{ {x|\mu _A (x) > \alpha } \right\}$ . В частности, носителем нечеткого множества является множество элементов, для которых $\mu _A (x) > 0$ . Понятие множества уровня является расширением понятия интервала. Оно представляет собой объединение не более чем счетного числа интервалов. Соответственно, алгебра интервалов есть частный случай алгебры множеств уровня.

Точка перехода нечеткого множества — это такой элемент $x \in U$ , для которого $\mu _A (x) = 0,5$ .

Четкое множество A^* , ближайшее к нечеткому множеству , определяется следующим образом:

$\mu _{A^* } (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,\quad \t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _A (x) < 0,5;} \\ {1,\quad \t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _A (x) > 0,5;} \\ {0\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;1,\quad \t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right$

Нечеткое множество в пространстве U = R^n называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, если его функция принадлежности выпукла, т.е. для каждой пары точек и из функция принадлежности удовлетворяет неравенству $\mu _A (\lambda x + (1 - \lambda )y) \geqslant \min \left\{ {\mu _A (x),\mu _A^{} (y)} \right\},$ для любого $\lambda \in \left[ {0,1} \right]$ .