НОУ ИНТУИТ | Основы математического моделирования. Лекция 3: Базовые идеи и методы теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 06.11.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 41 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Производящие функции

Пусть $\xi$ — целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода $\omega$ одно из значений 0, 1, 2, … с соответствующими вероятностями

$P_{\xi}(k)=P\{\xi=k\},k=0,1,..$ .

Функция $F_{\xi}(z)$ переменной $z,|z|\le 1$ , вида

$F_{\xi}(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}P_{\xi}(k)z^k$

( 3.13)

(3.13.)

называется производящей функцией случайной величины $\xi$ или соответствующего распределения вероятностей $P_{\xi}(k),k=0,1,..$ .

$F_{\xi}(z)$ является аналитической функцией от и (3.13.) дает ее разложение в степенной ряд. Ясно, что распределение вероятностей случайной величины $\xi$ однозначно определяется ее производящей функцией $F_{\xi}(z)$ ; в частности, по формуле Тейлора

$P_{\xi}(k)=\frac{1}{k!}F_{\xi}^k (0),k=0,1,..$ .

Производящая функция $F_{\xi}(z)$ при фиксированном представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины $\varphi (\xi)=z^{\xi}$ :

$Z_{\xi}(z)=Mz^{\xi},|z|\le 1$ .

Цепи Маркова

Условно будем говорить о некоторой физической системе, шаг за шагом меняющей свое фазовое состояние. Будем считать, что имеется лишь конечное или счетное число различных фазовых состояний $\varepsilon_1,\varepsilon_2,...$ . Обозначим $\xi (n)$ состояние системы через шагов. Будем предполагать, что цепочка последовательных переходов

$\xi (0)\to\xi (1)\to..$ .

Зависит от вмешательства случая, причем соблюдается следующая закономерность: если на каком-либо шаге система находится в состоянии $\varepsilon_i$ , то, независимо от предшествующих обстоятельств, она на следующем шаге с вероятностью $p_{ij}$ переходит в состояние $\xi_j$ .

$p_{ij}=P\{\xi (n+1) = \varepsilon_j / \xi (n)=\varepsilon_i\},i,j=1,2,..$

( 3.14)

.

Описанная выше модель называется однородной цепью Маркова , а вероятности $p_{ij}$ называются переходными вероятностями этой цепи. Кроме них, еще задается начальное распределение вероятностей

$p_i^0=P\{\xi(0)=\varepsilon_i\},i=1,2,..$

( 3.15)

.

Какова вероятность того, что система через шагов будет находиться в состоянии $\varepsilon_j$ ?

Обозначим эту вероятность p_j(n) :

$p_j(n)=P\{\xi (n) = \varepsilon_j\}$

( 3.16)

.

Через n-1 шагов система обязательно будет находиться в одном из состояний $\varepsilon_k k=1,2,...$ , причем в $\varepsilon_k$ она будет с вероятностью, обозначенной p_k(n-1) . При условии, что через (n-1) шагов система будет находиться в состоянии $\varepsilon_k$ , вероятность оказаться через шагов в состоянии $\varepsilon_j$ равна вероятности $p_{kj}$ перехода из $\varepsilon_k$ в $\varepsilon_j$ . Используя формулу полной вероятности, получим, что

$P\{\xi (n) = \varepsilon_j \}=\sum\limits_k P\{\xi (n)=\varepsilon_j / \xi (n-1)=\varepsilon_k\}P\{\xi (n-1) =\varepsilon_k\}$

( 3.17)

.

Это дает следующие рекуррентные соотношения для вероятностей p_j(n),j=1,2,.. .

$p_j(0)=p_j^0,p_j(n)=\sum\limits_k p_k(n-1) p_{kj}(n=1,2,...)$

( 3.18)

.

Если в начальный момент система находится в определенном состоянии $\varepsilon_i$ , то начальное распределение вероятностей таково, что p_i^0=1,p_k^0=0 для $k\ne i$ , а вероятность p_j(n) совпадает с вероятностью $p_{ij}(n)$ того, что система из состояния $\varepsilon_i$ за шагов перейдет в состояние $\varepsilon_j$ .

$p_{ij}(n)=P\{\xi (n) =\varepsilon_j / \xi (0) = \varepsilon_i\},i,j=1,2,..$

( 3.19)

.

При начальном распределении вида p_i^0=1,p_k^0=0 для $k\ne i$ формула 3.18. дает следующие соотношения между переходными вероятностями $p_{ij}(n);i,j=1,2,..$ .:

$p_{ij}(0)=\left\langle \begin{array}{ccc} 1,j=i;\\ p_{ij}(n)=\sum\limits_k p_{ik}(n-1)p_{kj}(n=1,2,...).\\ 0,j\ne i \end{array} \right$

( 3.20)

.

Удобно ввести матрицу $P(n)= \{p_{ij} (n)\}$ . Согласно формуле 3.20.

$P(0)=I,P(1)=P,P(2)=P(1)\text{ }P=P^2,...,$ ,

где — единичная матрица, $P= \{p_{ij}\}$ — матрица переходных вероятностей. Видно, что имеет место следующее равенство:

( 3.21)

Случайные блуждания. Рассмотрим случайное блуждание, связанное с неограниченными испытаниями Бернулли, когда частица блуждает по целочисленным точкам действительной прямой таким образом, что, находясь в точке , она с вероятностью p переходит на следующем шаге в соседнюю точку i+1 , а с вероятностью q=1-p — в соседнюю точку i-1 . Если обозначить $\xi (n)$ положение частицы после шагов, то последовательность $\xi (0)\to\xi (1)\to\xi (2)..$ . будет цепью Маркова с переходными вероятностями вида

$p_{ij}=\left\langle \begin{array}{ccc} p\text{ при }j=i+1,\\ q\text{ при }j=i-1,\\ 0\text{ при }j\ne i-1,i+1 \end{array} \right$ .

Рассмотрим случайное блуждание другого типа. Частица блуждает лишь по целым неотрицательным точкам, причем из точки она с вероятностью p_i переходит на следующем шаге в соседнюю точку i+1 , а с вероятностью q_i=1-p_i возвращается в нулевое положение. Соответствующие переходные вероятности суть

$p_{ij}=\left\langle \begin{array}{ccc} p_i\text{ при }j=i+1,\\ q_i\text{ при }j=0,\\ 0\text{ при }j\ne 0,i+1 \end{array} \right$ .

Рассмотрим цепь Маркова с состояниями $\varepsilon_1,\varepsilon_2,..$ . и переходными вероятностями $p_{ij},i,j=1,2,..$ . Пусть в начальный момент система находится в состоянии $\varepsilon_i$ . Временно положим $u_n=p_{ij}(n)$ и обозначим $\nu_n$ вероятность того, что через n шагов система впервые вернется в исходное состояние $\varepsilon_i$ . Имеет место следующее равенство:

$u_n=u_0\nu_n+u_1\nu_{n-1}+...+n_{n-1}\nu_1+u_n\nu_0,n=1,...$

( 3.22)

,

где дополнительно введены u_1=1 и $\nu_0=0$ .

Оно является следствием общей формулы полной вероятности. Именно, если ввести события B_k — "система через шагов впервые возвращается в исходное состояние $\varepsilon_i"$ , где k=1,...,n , и событие $B_{n+1}$ — "система ни разу не побывает в состоянии $\varepsilon_i$ в течение первых шагов", то $B_1,...,B_{n+1}$ будет полной системой событий, и вероятность события — "система через шагов будет находиться в исходном состоянии $\varepsilon_i"$ — по формуле полной вероятности есть

$P(A)=\sum\limits_{i-1}^{n+1}P(A/B_k)P(B_k)$ ,

где

$P(B_k)=\nu_k;P(A|B_k)=u_{n-k},k=1,...,n; P(A|B_{n+1})=0$ .

Если обратиться к производящим функциям

$U(z)=\sum\limits_{k-0}^{\infty}u_kz^k,V(z)=\sum\limits_{k-0}^{\infty}\nu_kz^k,|z|\le 1$

то отношение 3.22. , справедливое при всех n=1,2,... , можно написать в виде

U(z)-u_0=U(z)V(z),u_0=1

откуда

$U(z)=\frac{1}{1-V(z)}$

( 3.23)

. (3.23.)

Значение

$\nu=\sum\limits_{k-0}^{\infty}\nu_k$

( 3.24)

(3.24.)

есть вероятность того, что система рано или поздно попадает в исходное состояние $\varepsilon_i$ , иначе $\nu$ есть вероятность возвращения в $\varepsilon_i$ . Состояние $\varepsilon_i$ называется возвратным, если вероятность возвращения в него равна 1 , и невозвратным, если вероятность эта меньше 1.

Дальше >>

Основы математического моделирования

Основы математического моделирования

Базовые идеи и методы теории вероятностей

Производящие функции

Цепи Маркова

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы математического моделирования

Основы математического моделирования

Базовые идеи и методы теории вероятностей

Производящие функции

Цепи Маркова

Вопросы и ответы

Студенты