НОУ ИНТУИТ | Основы дискретной математики. Лекция 5: Полные системы функций и теорема Поста

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Тверской государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 37 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Критерий полноты (теорема Поста)

Оказывается, что всякая система, не содержащаяся внутри одного из указанных пяти классов полна.

Теорема 5.2. (Теорема Поста о полноте) Система булевых функций F является полной тогда и только тогда, когда она не содержится ни в одном из классов $\mathbf{S}_0, \mathbf{S}_1, \mathbf{S}, \mathbf{M}$ и $\mathbf{L}$ , т.е. когда в ней имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая 0, хотя бы одна функция, не сохраняющая 1, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

Доказательство. Необходимость условия теоремы непосредственно следует из установленного выше следствия 5.1.1.

Для доказательства достаточности предположим, что F Содержит не сохраняющую 0 функцию $f_0^{(i)}$ , не сохраняющую 1 функцию $f_1^{(j)}$ , несамодвойственную функцию $f_s^{(k)}$ , немонотонную функцию $f_m^{(r)}$ и нелинейную функцию $f_l^{(p)}$ . Покажем, что с помощью этих функций всегда можно выразить функции одной из двух уже известных нам полных систем: $\{ \neg ,\wedge \}$ или $\{ \neg , \vee \}$ . Для этого установим, что:

используя f₀, f₁ и f_s, можно выразить константы 0 и 1;
с помощью констант из f_m можно получить отрицание $\neg$ ;
с помощью констант и отрицания из f_l можно получить конъюнкцию $\wedge$ или дизъюнкцию $\vee.$

Лемма 5.1. Формулами, построенными из функций f₀, f₁ и f_s,можно задать константы 0 и 1.

Доказательство.. Рассмотрим два возможных значения f_0 на наборе аргументов, состоящем из одних единиц.

Случай 1. f₀(1, ... , 1)= 0. Рассмотрим функцию g(X), заданную формулой f₀(X,... , X). Тогда, очевидно, g(0) =f₀(0, ... , 0) =1, а g(1) = f₀(1, ... , 1)= 0. Таким образом, получили отрицание: $g(X) = \neg X$ . Так как $f_s^{(k)} \notin \mathbf{S}$ , то для некоторого набора значений аргументов $(\sigma _{1}, \dots , \sigma _{k})$ имеет место равенство $f_{s}(\sigma _{1}, \dots , \sigma _{k}) = f_{s}(\neg \sigma _{1}, \dots ,\neg \sigma _{k})= const \in \{ 0, 1\}$ . Положим тогда $h(X) = f_{s}(X^{\sigma 1}, \dots , X^{\sigma k})$ (такая подстановка переменной X¹ и ее отрицания X⁰ возможна, так как мы уже получили отрицание). Тогда h - это константа const. Действительно, $h(1) =f_{s}(1^{\sigma 1}, \dots , 1^{\sigma k})=f_{s}(\sigma _{1}, \dots , \sigma _{k}) = f_{s}(\neg \sigma _{1}, \dots ,\neg \sigma _{k})= f_{s}(0^{\sigma 1}, \dots , 0^{\sigma k})=h(0)= const$ . Другая константа тогда задается формулой $\neg h(X)$ .

Случай 2. f₀(1, ... , 1)= 1. В этом случае формула f₀(X,... , X) задает функцию g(X), тождественно равную 1, а формула f₁(g(X), ... , g(X)) задает функцию h(X), тождественно равную 0. Действительно, $h(\sigma )=f_{1}(g(\sigma ), \dots , (\sigma ))= f_{1}(1, \dots , 1) = 0$ для любого $\sigma \in \{ 0,1\}$ .

Лемма 5.2. Формулами, построенными из констант 0 и 1 и немонотонной функции $f_m^{(r)},$ можно задать отрицание $\neg.$

Доказательство. Так как $f_m^{(r)}$ немонотонна, то имеются два разных набора аргументов $\tilde{\sigma}=(\sigma_1, \ldots , \sigma_r)$ и $\tilde{\rho}=(\rho_1, \ldots , \rho_r)$ таких, что для всех $j \in [1,r] \sigma _{j} \ge \rho _{j}$ и при этом $f_{m}(\sigma _{1}, \sigma _{2}, \dots , \sigma _{n}) =0$ , а $f_{m}(\rho _{1}, \rho _{2}, \dots , \rho _{n})=1$ . Пусть i₁, ... , i_l - это все индексы, для которых $\sigma_{i_j} =1 > \rho_{i_j}=0$ . Так как $\tilde{\sigma} \neq \tilde{\rho}$ , то l >= 1. Определим последовательность из (l+1) -го набора аргументов $\tilde{\rho}_0, \tilde{\rho}_1, \ldots, \tilde{\rho}_l$ следующим образом: $\tilde{\rho}_0 = \tilde{\rho}$ , а далее каждый набор $\tilde{\rho}_j$ получется из предыдущего $\tilde{\rho}_{j-1}$ заменой i_j -ой координаты с 0 на 1. Таким образом, последний из этих наборов $\tilde{\rho_l}$ совпадает с $\tilde{\sigma}$ . Рассмотрим значения функции f_m на этих наборах: $f_m(\tilde{\rho_0}), f_m(\tilde{\rho_1}), \ldots, f_m(\tilde{\rho_l})$ . Так как первое из них $f_m(\tilde{\rho_0})=f_m(\tilde{\rho})=1$ , а последнее $f_m(\tilde{\rho_l})=f_m(\tilde{\sigma})=0$ , то найдутся два соседних набора $\tilde{\rho}_{j-1}$ и $\tilde{\rho_{j}}$ таких, что $f_m(\tilde{\rho}_{j-1})= 1$ , а $f_m(\tilde{\rho_{j}})= 0$ . Они отличаются только i_j -ой координатой. Пусть $\tilde{\rho}_{j-1}= (\alpha_1,\ldots, \alpha_{i_j-1},0,\alpha_{i_j+1}, \ldots , \alpha_r)$ , a $\tilde{\rho}_{j}= (\alpha_1,\ldots, \alpha_{i_j-1},1,\alpha_{i_j+1}, \ldots , \alpha_r)$ . Положим тогда $g(X)= f_m(\alpha_1,\ldots, \alpha_{i_j-1}, X,\alpha_{i_j+1}, \ldots, \alpha_r)$ . Тогда $g(0) = f_m(\alpha_1,\ldots, \alpha_{i_j-1}, 0,\alpha_{i_j+1}, \ldots , \alpha_r)=1$ , a $g(1) = f_m(\alpha_1,\ldots, \alpha_{i_j-1}, 1,\alpha_{i_j+1}, \ldots , \alpha_r)=0$ . Следовательно, $g(X) = \neg X$ .

Лемма 5.3. Формулами, построенными из констант 0 и 1, отрицания $\neg$ и нелинейной функции $f_l^{(p)},$ можно задать дизъюнкцию $\vee$ или конъюнкцию $\wedge.$

Доказательство. Так как $f_l^{(p)}\notin \mathbf{L}$ , то в представляющий ее многочлен Жегалкина обязательно входит слагаемое вида $X_{i_1}*X_{i_2}*\ldots *X_{i_k}\ (k \geq 2)$ . Выберем самое короткое из таких слагаемых и рассмотрим функцию $g_1(X_{i_1},X_{i_2}) = f_l(\sigma_1, \ldots, \sigma_{i_1 -1}, X_{i_1},\sigma_{i_1 +1},\ldots, \sigma_{i_2 -1}, X_{i_2},\sigma_{i_2 +1}, \ldots, \sigma_p)$ , где $\sigma _{j}=1$ при $j \in \{ i_{3},\dots , i_{k}\}$ и $\sigma _{j}=0$ в остальных случаях. При такой подстановке констант многочлен Жегалкина для g(X₁,X₂) = g₁(X₁,X₂) имеет вид: $\alpha _{0} +\alpha _{1} X_{1} + \alpha _{2} X_{2} + X_{1}*X_{2}$ , где $\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2} \in \{ 0, 1\}$ . Таким образом, всего возможно 8 вариантов. Рассмотрим 4 из них в случае, когда $\alpha _{0}=0$ . Тогда

при $\alpha _{1}=0$ и $\alpha _{2}=0$ получаем, что $g(X_{1}, X_{2}) \equiv X_{1} \wedge X_{2}$ ;
при $\alpha _{1}=0$ и $\alpha _{2}=1$ получаем, что $g(\neg X_{1}, X_{2}) \equiv X_{2} + \neg X_{1} * X_{2} \equiv (1 + \neg X_{1})*X_{2} \equiv X_{1} \wedge X_{2}$ ;
при $\alpha _{1}=1$ и $\alpha _{2}=0$ получаем, что $g( X_{1}, \neg X_{2}) \equiv X_{1} + X_{1} * \neg X_{2} \equiv X_{1} *(1 + \neg X_{2}) \equiv X_{1} \wedge X_{2}$ ;
при $\alpha _{1}=1$ и $\alpha _{2}=1$ имеем $g(X_{1}, X_{2}) \equiv X_{1} + X_{2} + X_{1}*X_{2} \equiv X_{1} \vee X_{2}$ .

Остальные 4 варианта в случае, когда $\alpha _{0}=1$ , получаются как отрицания соответствующих вариантов для $\alpha _{0}=0$ .

Из приведенных трех лемм, очевидно, следует достаточность условия теоремы Поста.

Пример 5.2. Рассмотрим набор функций f, g и h, представленный в следующей таблице:

Функции f, g и h
X₁	X₂	X₃	f	g	h
0	0	0	1	1	0
0	0	1	0	1	0
0	1	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	1
1	0	1	1	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0

Функция f, очевидно, не сохраняет 0 и 1, но является самодвойственной. Функция g(X₁,X₂,X₃)= 1+X₁+X₂ + X₁ * X₃ + X₁ * X₂ * X₃ является несамодвойственной, немонотонной и нелинейной. По лемме 5.1 получаем, что $f(X,X,X) = \neg X$ , функция $g_{1}(X)=g(X,X,X) \equiv 1$ , а функция $g_{0}(X) = \neg g_{1}(X) \equiv 0$ . Подставив X₂=0 в g получим g₃(X₁,X₃)= g(X₁,0,X₃)= 1 + X₁ + X₁ * X₃. Тогда $h(X_{1},X_{2}) = \neg g_{3}(X_{1}, \neg X_{2}) = \neg (1 + X_{1} + X_{1} * \neg X_{2}) \equiv \neg (1 + X_{1}*(1+ \neg X_{2})) \equiv X_{1}*X_{2}$ . Таким образом, мы с помощью f и g сумели выразить обе функции полной системы $\{ \neg , *(= \wedge )\}$ и, следовательно, система функций {f, g } полная.

Определение 5.5. Полная система функций называется минимальной полной системой или базисом, если после удаления из нее любой функции она перестает быть полной .

Например, система $\{ \neg , \wedge , \vee \}$ не является базисом, а каждая из систем $\{ \neg , \wedge \} , \{ \neg , \vee \}$ является. Мы уже знаем, что имеются полные системы, состоящие из одной функции (например, система { | } ). Они, конечно, являются базисами. Имеются и полные системы, включающие 3 функции, например, система { 1, *, +}, на которой основаны многочлены Жегалкина (отметим, что константу 0 можно выразить как 1+1). Из теоремы Поста следует, что никакая минимальная система не содержит более 5 функций. Оказывается, что для полноты всегда достаточно четырех функций.

Теорема 5.3. Во всяком базисе F содержится не более 4-х функций.

Доказательство. Действительно, по теореме Поста в базисе имеется функция $f_0^{(i)}\notin \mathbf{S}_0$ . Поэтому f₀(0,0, ..., 0) =1. Если она хотя бы на одном наборе значений аргументов принимает значение 0, то она немонотонна, т.е. $f_0^{(i)}\notin \mathbf{M}$ . В противном случае, f₀ на всех наборах значений аргументов равна 1. Но тогда она несамодвойственна , так как f₀(0, 0, ..., 0)=1 = f₀(1,1,..., 1). Во всех случаях $f_0\notin \textbf{M}$ или $f_0 \notin \textbf{S}$ и, следовательно, в системе F содержится не более 4-х функций.

Может быть, в минимальной системе можно обойтись тремя функциями? Это не так. Рассмотрим, например, систему $F^{(4)}=\{ 0, 1, X \wedge Y, X+Y+Z\}$ . В этой системе, $0 \notin \textbf{S}_1\cup \textbf{S}, 1 \notin \textbf{S}_0, X+Y+Z \notin \textbf{M}, X \wedge Y \notin \textbf{L}$ . Легко проверить, что при удалении любой из функций система F⁽⁴⁾ перестает быть полной. Таким образом, теорема 5.3 дает наилучшую верхнюю оценку числа функций в базисе.

Замечание. Е. Пост в работах, опубликованных в 1921 и 1941 гг. не только установил критерий полноты, но и описал структуру всех замкнутых классов функций в $\mathbf{P}$ . Он показал, что число таких классов счетно и что в каждом из них имеется собственный конечный базис.

Задачи

Задача 5.1. Докажите полноту системы $\{ \downarrow \}$ , включающей только стрелку Пирса, непосредственно выразив через нее отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию.

Задача 5.2. Определите принадлежность каждой из функций f₁, f₂, f₃, f₄ и f₅, представленных в таблице 5.1, каждому из классов $\mathbf{S}_0, \mathbf{S}_1, \mathbf{S}, \mathbf{L}$ и $\mathbf{M}$ .

Задача 5.3. Используя результаты задачи 5.2, определите, какие из троек функций, представленных в таблице 5.1, являются полными системами. Имеются ли среди них полные системы из двух функций? Из одной функции?

Задача 5.4. Проверьте полноту системы функций {g, h}, представленных в таблице 5.2. Если она полна, выразите с помощью этих функций обе константы, отрицание $\neg$ и импликацию $\to.$

Задача 5.5. Докажите, что система $\{ \vee , \wedge , \to \}$ не является полной. Можно ли ее сделать полной, добавив некоторую константу?

Задача 5.6. Выразите функции $\{ 0, 1, \vee , \wedge , ~\}$ с помощью формул, построенных из функций полной системы $\{ \neg , \to \}$ .

Задача 5.7. Определите количество функций из $\mathcal{P}_n$ , принадлежащих каждому из классов $\mathbf{S}_0, \mathbf{S}_1, \mathbf{S}$ и $\mathbf{L}$ .

Задача 5.8. Доказать, что для монотонных функций $f^{(n)} \in M$ справедливо представление $f(X_{1},\dots , X_{n})= (X_{i} \wedge f(X_{1},\dots , X_{i-1}, 1, X_{i+1},\dots , X_{n}) ) \vee f(X_{1},\dots , X_{i-1}, 0, X_{i+1},\dots , X_{n}), (1 \le i \le n)$ . Вывести отсюда (индукцией по n ), что для всякой монотонной функции, отличной от константы, существует задающая ее ДНФ, не содержащая отрицаний переменных.

Задача 5.9. Докажите, что число монотонных функций в $\mathcal{P}_n$ не меньше $2^{C_n^{[n/2]}}$ .

Задача 5.10. Найдите все базисы, которые можно получить, удаляя функции из системы $\{ 0, 1, \wedge , \vee , \to \}$ .

Задача 5.11. Найти число булевых функций от n переменных, являющихся одновременно самодвойственными и линейными.

Задача 5.12. Найти число булевых функций от n переменных, являющихся одновременно монотонными и линейными.

Задача 5.13. Доказать, что если f(X₁, ..., X_n) - линейная функция, отличная от константы, то $|N^+_f| = 2^{n-1}$ . Верно ли обратное?

Дальше >>

Основы дискретной математики

Основы дискретной математики

Полные системы функций и теорема Поста

Критерий полноты (теорема Поста)

Задачи

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы дискретной математики

Основы дискретной математики

Полные системы функций и теорема Поста

Критерий полноты (теорема Поста)

Задачи

Вопросы и ответы

Студенты