Описание неопределенностей в теории принятия решений

Нечеткие множества как проекции случайных множеств. С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на (при ), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого "примитивного сведения", поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств и . Как при этом преобразуются функции принадлежности ? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.

В работах по нечетким множествам довольно часто утверждалось, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей. Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Напомним, что итог рассуждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: "Арифметика применима тогда, когда она применима".

При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике. Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются.

Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.

Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1970-х годах было показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как "проекции" случайных множеств. Рассмотрим основную идею этого метода сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.

Определение 2. Пусть - случайное подмножество конечного множества У. Нечеткое множество В, определенное на , называется проекцией и обозначается Proj A, если

( 11)

при всех

Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (11) его проекцию - нечеткое множество В = Proj A. Оказывается, верно и обратное - любое нечеткое множество является проекцией некоторого случайного.

Цель сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств состоит в том, чтобы за любой конструкцией из нечетких множеств увидеть конструкцию из случайных множеств, определяющую свойства первой, аналогично тому, как за плотностью распределения вероятностей мы видим случайную величину. Сведение теории нечетких множеств к теории случайных теорем реализовано в виде системы теорем.

Методологические, теоретические и прикладные вопросы теории нечеткости обсуждаются в многочисленных литературных источниках.

Контрольные вопросы и задачи

1. Расскажите о понятиях случайного события и его вероятности.
2. Чем многомерный статистический анализ отличается от статистики объектов нечисловой природы?
3. Покажите на примерах, что в задачах принятия решений исходные данные часто имеют интервальный характер.
4. В чем особенности подхода статистики интервальных данных в задачах оценивания параметров?

5. Выполните операции над интервальными числами:

   а) , б) , в) , г) ;

   д) , е) , ж) , з) .

6. Выпишите формулу для асимптотической нотны (ошибки по абсолютной величине не превосходят константы t, предполагающейся малой) для функции

   

   Вычислите асимптотическую нотну в точке . Проделайте то же для функции

   

   Вычислите асимптотическую нотну в точке .
7. В каких случаях целесообразно применение нечетких множеств?
8. Справедливо ли для нечетких множеств равенство ? А равенство ?
9. Опишите с помощью нечеткого подмножества временной шкалы понятие "молодой человек".
10. Опишите с помощью теории нечеткости понятие "куча зерен".
11. Как можно проводить кластерный анализ совокупности нечетких множеств?

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Описание данных с помощью гистограмм и непараметрических оценок плотности.
2. Сравнительный анализ методов оценивания параметров и характеристик.
3. Преимущества одношаговых оценок по сравнению с оценками метода максимального правдоподобия.
4. Методы проверки однородности для независимых и связанных выборок.
5. Непараметрический регрессионный анализ.
6. Структура статистики нечисловых данных.
7. Аксиоматическое введение метрик и их использование в статистике объектов нечисловой природы.
8. Законы больших чисел в пространствах произвольной природы.
9. Непараметрические оценки плотности в пространствах произвольной природы, в том числе в дискретных пространствах.
10. Оптимизационные постановки в вероятностно-статистических задачах принятия решений.
11. Основные идеи статистики интервальных данных.
12. Классическая математическая статистика как предельный случай статистики интервальных данных.
13. Концепция рационального объема выборки.
14. Сравнение методов оценивания параметров и характеристик распределений в статистике интервальных данных и в классической математической статистике.
15. Подход к проверке гипотез в статистике интервальных данных.
16. Метод наименьших квадратов для интервальных данных.
17. Различные способы учета погрешностей исходных данных в статистических процедурах.
18. Статистика интервальных данных как часть теории устойчивости (с использованием монографии [3]).
19. Обсудите суждение: "Мы мыслим нечетко". Почему нечеткость мышления помогает взаимопониманию?
20. Взаимосвязь теории нечеткости и теории вероятностей.
21. Методы оценивания функции принадлежности.
22. Теория нечеткости и интервальная математика.
23. Описание данных для выборок, элементы которых - нечеткие множества.
24. Регрессионный анализ нечетких переменных.
25. Непараметрические оценки плотности распределения вероятностей в пространстве нечетких множеств.