Измеряющие операторы
Свойства измеряющих операторов.
Мы будем рассматривать измеряющие операторы, соответствующие одному и тому же ортогональному разложению .
1. Произведение измеряющих операторов — измеряющий оператор. Действительно, пусть есть два измеряющих оператора
Поскольку , имеем2. Условные вероятности для произведения измеряющих "разными приборами" операторов перемножаются. Более точно, пусть , а . Тогда . Это равенство следует непосредственно из определения условных вероятностей и из очевидного тождества
3. Формула полной вероятности. Пусть есть измеряющий оператор . Если применить его к состоянию , где , то вероятность наблюдения состояния можно записать в виде:
Доказательство. . Ранее было доказано, что . Далее,
Поскольку получаем искомое выражение .Задача 11.1. Докажите формулу полной вероятности напрямую, не используя взятия частичного следа.
Задача 11.2. "Обратимое измерение" Пусть — измеряющий оператор, . (Имеется в виду, что операторы действуют на q-бит; первые q-бит (т.е. ) — "полезный результат", остальные q-бит (т.е. ) — "мусор".) Допустим, что измеряет некоторую функцию с вероятностью ошибки , т.е.
Постройте c использованием и квантовую схему полиномиального размера, реализующую с точностью новый измеряющий оператор (Разрешается "брать напрокат" дополнительные q-биты.)