НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 11: Измеряющие операторы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Свойства измеряющих операторов.

Мы будем рассматривать измеряющие операторы, соответствующие одному и тому же ортогональному разложению $\calN=\bigoplus_{j}\calL_j$ .

1. Произведение измеряющих операторов — измеряющий оператор. Действительно, пусть есть два измеряющих оператора

$W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j} \text{ и } W^{(2)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.$

Поскольку $\Pi_{\calL_j}\Pi_{\calL_k}\ne0\ \ \Leftrightarrow j=k$ , имеем

$W^{(2)}W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_jR^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.$

2. Условные вероятности для произведения измеряющих "разными приборами" операторов перемножаются. Более точно, пусть $R^{(1)}\double={\widetilde R}^{1}\otimes I$ , а $R^{(2)}= I\otimes{\widetilde R}^{2}$ . Тогда $\PP(k_1,k_2\,\big|\,j)\double=\PP_1(k_1\,\big|\,j)\PP_2(k_2\,\big|\,j)$ . Это равенство следует непосредственно из определения условных вероятностей и из очевидного тождества

$\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(U_1\otimes U_2\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)= \bra{\xi_1}U_1\ket{\eta_1}\,\bra{\xi_2}U_2\ket{\eta_2}.$

3. Формула полной вероятности. Пусть есть измеряющий оператор $W= \sum_{}^{} R_j\otimes \Pi_{\calL_j}$ . Если применить его к состоянию $\ket0\bra0\otimes\rho$ , где $\rho\double\in\LL(\calN)$ , то вероятность наблюдения состояния можно записать в виде:

$\PP\Bigl(W(\ket0\bra0\otimes\rho)W^\dagger,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\Bigr) \,=\, \sum\limits_{j} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j).$

Доказательство. $W\Bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\Bigr)W^\dagger = \gamma =\sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\otimes \Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}$ . Ранее было доказано, что $\PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \PP\bigl(\Tr_\calN\gamma,\CC(\ket{k})\bigr)$ . Далее,

$\Tr_\calN\gamma = \sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\times \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right).$

Поскольку

$\Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}^2\rho\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\right)\bydef \PP\left(\rho, \calL_j\right),$

получаем искомое выражение $\PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \sum\limits_{j}^{} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j)$ .

Задача 11.1. Докажите формулу полной вероятности напрямую, не используя взятия частичного следа.

Задача 11.2. "Обратимое измерение" Пусть $W=\sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes V_k$ — измеряющий оператор, $V_k\ket{0}=\sum_{y,z}c_{y,z}(k)\ket{y,z}$ . (Имеется в виду, что операторы V_k действуют на m+s q-бит; первые q-бит (т.е. ) — "полезный результат", остальные q-бит (т.е. ) — "мусор".) Допустим, что измеряет некоторую функцию $f\colon\{1,\dots,t\}\to\cb^m$ с вероятностью ошибки $\le\eps$ , т.е.