НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 9: Квантовые вероятности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Задача 9.1. Докажите, что операторы вида $\rho=\sum_{k}^{}p_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k}$ — это в точности эрмитовы неотрицательно определенные операторы со следом 1, т.е. операторы, удовлетворяющие условиям:

$2)\; \rho=\rho^\dagger;\qquad 2)\; \forall\,\ket{\eta}\ \langle\eta|\rho|\eta\rangle \geq0; \qquad 3)\; Tr\rho=1.$

В дальнейшем под матрицей плотности понимается любой оператор с этими свойствами.

Рассуждение о "распределении вероятностей на квантовых состояниях" носило вспомогательный характер. Задача состоит в том, чтобы обобщить понятие квантового состояния так, чтобы оно включало в себя классические распределения вероятностей. Полученный нами ответ (последнее выражение в (9.2)) зависит лишь от матрицы плотности, поэтому мы можем постулировать, что обобщенные квантовые состояния и матрицы плотности — это одно и то же (такая аксиома не противоречит физическим наблюдениям). Если состояние задается одним вектором ( $\rho=\ket{\xi}\bra{\xi}$ ), то оно называется чистым, если состояние задается общей матрицей плотности, то оно называется смешанным.

Определение 9.1. Для квантового состояния, задаваемого матрицей плотности $\rho$ , и подпространства $\calM$ вероятность "события" $\calM$ равна $\PP(\rho,\calM)= Tr(\rho\Pi_\calM)$ .

Диагональные матрицы $\rho=\sum_{j}^{} w_j\ket{j}\bra{j}$ соответствуют классическим распределениям вероятностей на множестве базисных векторов. Это означает, что при вычислении вероятности по общей квантовой формуле для диагональной матрицы и координатного подпространства $\calM$ (натянутого на часть базисных векторов $\ket{a}$ : $a\in M$ ) получается то же, что и при вычислении по обычной классической формуле: $\PP(\rho,\calM)=\Pr(w,M)$ .

Продолжим сравнение свойств классической и квантовой вероятности, под последней мы будем теперь понимать общее определение с использованием матриц плотности. (Свойства $1^{\rm q}$ и $2^{\rm q}$ остаются в силе).

Классическая вероятность	Квантовая вероятность
Свойства
3. На множестве $N=N_1\times N_2$ задано распределение вероятностей вида $w_{jk}\double= w^{(1)}_jw^{(2)}_k$ . Имеется два множества исходов $M_1\subseteq N_1$ , $M_2\subseteq N_2$ . Тогда вероятности перемножаются: $\Pr(w,M_1\times M_2) \double= \Pr(w^{(1)},M_1)\,\Pr(w^{(2)},M_2)$ .	3^q. На пространстве $\calN=\calN_1\otimes\calN_2$ задана матрица плотности вида $\rho_1\otimes\rho_2$ . Имеется два подпространства $\calM_1\subseteq \calN_1$ , $\calM_2\subseteq \calN_2$ . Тогда вероятности также перемножаются: $\PP(\rho_1\otimes\rho_2, \calM_1\otimes\calM_2)\double= \PP(\rho_1, \calM_1)\,\PP(\rho_2,\calM_2)$ .
4. Имеется совместное распределение на множестве $N_1\times N_2$ . Интересующее нас событие не зависит от исхода во втором множестве: $M=M_1\times N_2$ . Вероятность такого события выражается через проекцию распределения на первое множество: $\Pr(w,M_1\times N_2)\,=\,\Pr(w',M_1)$ , где $w'_j=\sum_{k}w_{jk}$ .	4^q. В квантовом случае ограничение на одну из подсистем задается операцией взятия частичного следа (см. ниже). Поэтому, даже если исходное состояние было чистым, полученное состояние подсистемы может оказаться смешанным: $\PP(\rho, \calM_1\otimes\calN_2)=\PP(\Tr_{\calN_2}\rho,\calM_1)$ .

Определение 9.2. Пусть $X\in\LL(\calN_1\otimes\calN_2)=\LL(\calN_1)\otimes \LL(\calN_2)$ . Частичный след оператора по пространству $\calN_2$ определен следующим образом: если $X=\sum_{m}^{} A_m\otimes B_m$ , то $\Tr_{\calN_2}X=\sum_{m}^{} A_m\, (\Tr B_m)$ .

Докажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора слагаемых в представлении $X=\sum_{m} A_m\otimes B_m$ . Для этого зафиксируем некоторые ортонормированные базисы в пространствах $\calN_1,\, \calN_2$ и выразим частичный след через матричные элементы $X_{jj'kk'}=\bra{j,j'}X\ket{k,k'}$ . Пусть $A_m= \sum\limits_{j,k}^{}a^m_{jk}\ket{j}\bra{k}$ и $B_m= \sum\limits_{j',k'}^{}b^m_{j'k'}\ket{j'}\bra{k'}$ . Тогда

$X=\mkern-5mu\sum\limits_{j,j',k,k'}^{}\mkern-2mu X_{jj'kk'}\ket{j,j'}\bra{k,k'}=\sum_{m}^{} A_m\otimes B_m= \mkern-5mu \sum\limits_{j,j'k,k',m}^{}\mkern-2mu a^m_{jk}b^m_{j'k'}\ket{j,j'}\bra{k,k'}$

и частичный след равен

$&\Tr_{\calN_2}X=\sum_{m}^{} \sum_{j,k}^{}a^m_{jk}\Bigl(\sum_{l}^{}b^m_{ll}\Bigr)\ket{j}\bra{k} =\sum_{j,k}^{}\sum_{l}^{}X_{jlkl} \ket{j}\bra{k}.$

Рассмотрим пример, когда взятие частичного следа от матрицы плотности, соответствующей чистому состоянию, приводит к матрице плотности, соответствующей смешанному состоянию.

Пусть $\calN_1=\calN_2= \BB$ , а $\rho=\ket\psi\bra\psi$ , где $\ket\psi=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{0,0}+\ket{1,1}\right)$ . В этом случае $\rho=\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b}^{}\ket{a,a}\bra{b,b}$ , поэтому получаем

$Tr_{\calN_2}\rho\,=\,\frac{1}{2}\sum_{a}\ket{a}\bra{a}\,=\, \begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}.$

Эта матрица соответствует смешанному состоянию (чистым состояниям соответствуют матрицы ранга 1). Более того, это смешанное состояние эквивалентно классическому распределению вероятностей:

и

имеют вероятности, равные $\slashfrac{1}{2}$ . Таким образом, отбрасывание второго q-бита приводит к чисто классическому распределению вероятностей на первом q-бите.

Утверждение 9.1. Любое смешанное состояние $\rho\in\LL(\calN)$ представимо как частичный след $\Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi)$ от чистого состояния большей системы, $\ket\psi\in\calN\otimes\calF$ , причем можно считать, что $\dim\calF\leq\dim\calN$ .

Доказательство. Полагаем $\calF=\calN^*$ . Так как $\rho$ неотрицательно определена, то существует $\sqrt\rho\in\LL(\calN)=\calN\otimes\calN^*$ . Докажем, что для $\ket\psi=\sqrt\rho$ выполнено искомое, т.е. $\rho=\Tr_{\calN^*}(\ket{\sqrt\rho}\bra{\sqrt\rho})$ .

Поскольку $\rho$ эрмитова, она диагонализуется в некотором ортонормированном базисе $\{\ket{\xi_j}\}$ . Тогда $\rho=\sum_{j}p_j\ket{\xi_j}\bra{\xi_j}$ , а $\ket\psi= \sqrt\rho=$ $\sum_{j}\sqrt{p_j}\ket{\xi_j}\bra{\xi_j}$ , и $\ket\psi\bra\psi=\sum_{jk}^{}\sqrt{p_jp_k}(\ket{\xi_j}\otimes\bra{\xi_j}) (\ket{\xi_k}\otimes\bra{\xi_k})$ . Вклад в частичный след вносят лишь слагаемые с j=k . Поэтому $Tr_{\calN^*}(\ket{\psi}\bra{\psi})\double= \sum_{j}p_j\ket{\xi_j}\bra{\xi_j} =\rho$ .

Задача 9.2. Пусть имеется чистое состояние $\ket{\psi}\in\calN\otimes\calF$ . Докажите, что существует так называемое разложение Шмидта:

$\ket\psi=\sum_j\lambda_j\ket{\xi_j}\otimes\ket{\eta_j},$

где $0<\lambda_j\le 1$ , а множества векторов $\{\ket{\xi_j}\}\subset\calN$ и $\{\ket{\eta_j}\}\subset\calF$ являются ортонормированными.

Заметим, что числа $\lambda_j^2$ — это ненулевые собственные числа частичных следов $\rho=Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi)$ и $\rho'=Tr_\calN(\ket\psi\bra\psi)$ . (Таким образом, ненулевые собственные числа $\rho$ и $\rho'$ совпадают.) Отсюда следует, что взятие частичного следа от чистого состояния приводит к чистому состоянию тогда и только тогда, когда исходное состояние разложимо: $\ket\psi=\ket{\xi}\otimes\ket{\eta}$ .

Задача 9.3. Пусть $\ket{\psi_1},\ket{\psi_2}\in\calN\otimes\calF$ — два чистых состояния, таких что $Tr_\calF(\ket{\psi_1}\bra{\psi_1})=Tr_\calF(\ket{\psi_2}\bra{\psi_2})$ . Докажите, что $\ket{\psi_2}=(I_{\calN}\double\otimes U)\ket{\psi_1}$ для некоторого унитарного оператора на пространстве $\calF$ .