Квантовые вычисления
Определения и обозначения
Пространство состояний системы из q-битов
можно записать в виде тензорного произведения
. Сомножители соответствуют пространству состояний одного q-бита.
Тензорное произведение двух пространств и
, в которых фиксированы базисы
и
, можно определить как пространство с базисом из элементов
. (В данном случае
— это то же самое, что
, т.е. просто пара векторов.) Размерность тензорного произведения равна
(произведению размерностей сомножителей).
Такое определение неинвариантно, т.е. зависит от выбора базисов в перемножаемых пространствах. Можно дать инвариантное определение. Для этого рассмотрим вначале пространство (бесконечномерное) с базисом , где
,
— произвольные векторы из перемножаемых пространств. Тензорное произведение будет факторпространством этого пространства по подпространству, порожденному векторами вида
![\begin{align*}
&(e_1+e_2)\otimes f - e_1\otimes f - e_2\otimes f,\\
&e\otimes(f_1+f_2) - e\otimes f_1 - e\otimes f_2,\\
&(\lambda e)\otimes f - e\otimes(\lambda f),\\
&\lambda(e\otimes f)-(\lambda e)\otimes f.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/ccaa8837831340716eea56ae6ceb7a1d.png)
Можно доказать, что данные определения эквивалентны.
В нашем случае имеется естественный выделенный базис (соответствующий выделенным состояниям): для —
, а для
—
. Пространство
с выделенным базисом обозначается через
. Выделенный базис считается ортонормированным, это задает скалярное произведение на пространстве состояний. Коэффициенты
разложения вектора
по этому базису называются амплитудами. Их физический смысл состоит в том, что квадрат модуля амплитуды
интерпретируется как вероятность обнаружить систему в данном базисном состоянии. Как и должно быть, суммарная вероятность всех состояний равна
, поскольку длина вектора предполагается единичной. (Вероятности будут подробно обсуждаться позже; до некоторых пор мы будем заниматься линейной алгеброй — изучать унитарные операторы на пространстве
).
Мы будем использовать (и уже использовали) принятые в физике обозначения, относящиеся к векторам и скалярному произведению в гильбертовом пространстве (их ввел Дирак). Векторы обозначаются , скалярное произведение —
. Если
и
, то
. (Здесь и далее
обозначает комплексное сопряжение.) В записи векторов скобки нужны лишь "для красоты" — они указывают на тип объекта и придают симметрию обозначениям (см. ниже). Вместо
можно было бы написать просто
, хотя это и не принято. Поэтому
— и то, и другое обозначает вектор
.
Скалярное произведение антилинейно по первому аргументу3Обратите внимание, что математики обычно считают, что скалярное произведение в унитарном пространстве антилинейно по второму аргументу. и линейно по второму, т.е.
![\begin{align*}
&\langle \xi_1+\xi_2|\eta\rangle=
\langle \xi_1|\eta\rangle+\langle \xi_2|\eta\rangle,
&&\langle \xi|\eta_1+\eta_2\rangle=
\langle \xi|\eta_1\rangle+\langle \xi|\eta_2\rangle,\\
&\langle c\xi|\eta\rangle=c^*\langle \xi|\eta\rangle,
&&\langle \xi|c\eta\rangle=c\langle \xi|\eta\rangle.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/ee0192909168560685463b0b8def96e1.png)
Если в обозначении скалярного произведения взять левую половину, то получим бра-вектор , т.е. линейный функционал на кет-векторах (векторах нашего пространства). Бра- и кет-векторы находятся во взаимно однозначном соответствии. (Тем не менее, нужно их как-то различать — именно для этого и были введены угловые скобки.) Из-за антилинейности скалярного произведения по первому аргументу имеем равенство
. Бра-вектор можно записать в виде строки, а кет-вектор — в виде столбца (чтобы его можно было умножить слева на матрицу):
![\bra{\xi}=c_0^*\bra{0}+c_1^*\bra{1}=(c_0^*,c_1^*), \qquad
\ket{\xi}=c_0\ket{0}+c_1\ket{1}=
\leftp \begin{array}{c} c_0\\ c_1 \end{array} \rightp\, .](/sites/default/files/tex_cache/669540b7a1f68c6122ebe87c4a0e4cba.png)
Запись (
— линейный оператор) можно толковать двояко: либо как скалярное произведение вектора
на вектор
, либо как —
на
. Так появляется сопряженный оператор
: по определению,
(бра-вектор, соответствующий
) равен линейному функционалу
. Из определения сразу следует, что
![\langle A^\dagger\xi |\eta\rangle = \langle\xi |A|\eta\rangle.](/sites/default/files/tex_cache/8230b1ce18fd377f6ae091c54ff15611.png)
Унитарный оператор — это линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение. Условие
![\langle \eta|\xi\rangle =\langle U\eta|U|\xi\rangle = \langle \eta|U^\dagger U|\xi\rangle](/sites/default/files/tex_cache/7a5ea2ba0d5a3699227fdc9e3972ccfb.png)
![U^\dagger U=I](/sites/default/files/tex_cache/b05b505e45b08c0af5812c142b502838.png)
![I](/sites/default/files/tex_cache/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png)
Наше определение скалярного произведения в согласовано с тензорным произведением:
![\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)= \langle\xi_1|\eta_1\rangle\,\langle\xi_2|\eta_2\rangle\,.](/sites/default/files/tex_cache/3035e51fe7c2c1a49e682a85f98216a9.png)
![(A\otimes B)\ket\xi\otimes\ket\eta=A\ket\xi\otimes B\ket\eta.](/sites/default/files/tex_cache/d491547e3d6f769a4ecd7b8fa7f53795.png)
![A\double=\sum_{j,k}^{} a_{jk}\ket{j}\bra{k},\quad B=\sum_{j,k}^{}b_{jk}\ket{j}\bra{k}](/sites/default/files/tex_cache/0cac240c876130a49d3aca357af49919.png)
![\ket{j}\bra{k}](/sites/default/files/tex_cache/c429cf03756eb27b270ca254fcb6d3e8.png)
![\ket{j}\bra{k}\;\ket\xi=\langle k|\xi\rangle\ket{j}](/sites/default/files/tex_cache/cc050b4b0f31366031b61935167a2684.png)
![C=A\otimes B](/sites/default/files/tex_cache/5c661091b0d7bad3d2c4b01fb6db9036.png)
![c_{(jk)(lm)}=a_{jl}b_{km}](/sites/default/files/tex_cache/4c38d29f075195ffdf9abff2028f88d9.png)
Вычисление состоит из преобразований, считаемых элементарными (выполняемых за единицу времени).
Элементарное преобразование в классическом случае: такая функция из ![]() ![]() ![]() |
Элементарное преобразование в квантовом случае: тензорное произведение произвольного унитарного оператора, действующего на части сомножителей ![]() ![]() ![]() |
Тензорное произведение некоторого оператора , действующего на множестве q-битов
, и тождественного оператора, действующего на остальных q-битах, будем обозначать
. (В частности,
обозначает действие на первых
q-битах.)