НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 5: Квантовые вычисления

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Определения и обозначения

Пространство состояний системы из q-битов $\CC^{2^n}$ можно записать в виде тензорного произведения $\CC^2\otimes\ldots\otimes\CC^2=\left(\CC^2\right)^{\otimes n}$ . Сомножители соответствуют пространству состояний одного q-бита.

Тензорное произведение двух пространств и , в которых фиксированы базисы $\{e_1,\dots,e_l\}$ и $\{f_1,\dots, f_m\}$ , можно определить как пространство с базисом из элементов $e_j\otimes f_k$ . (В данном случае $e_j\otimes f_k$ — это то же самое, что (e_j,f_k) , т.е. просто пара векторов.) Размерность тензорного произведения равна (произведению размерностей сомножителей).

Такое определение неинвариантно, т.е. зависит от выбора базисов в перемножаемых пространствах. Можно дать инвариантное определение. Для этого рассмотрим вначале пространство (бесконечномерное) с базисом $e\otimes f$ , где $e\in L$ , $f\in M$ — произвольные векторы из перемножаемых пространств. Тензорное произведение будет факторпространством этого пространства по подпространству, порожденному векторами вида

$\begin{align*} &(e_1+e_2)\otimes f - e_1\otimes f - e_2\otimes f,\\ &e\otimes(f_1+f_2) - e\otimes f_1 - e\otimes f_2,\\ &(\lambda e)\otimes f - e\otimes(\lambda f),\\ &\lambda(e\otimes f)-(\lambda e)\otimes f. \end{align*}$

Другими словами, указанные векторы считаются равными 0.

Можно доказать, что данные определения эквивалентны.

В нашем случае имеется естественный выделенный базис (соответствующий выделенным состояниям): для $\CC^2$ — $\{\ket0,\ket1\}$ , а для $\left(\CC^2\right)^{\otimes n}$ — $\{\ket{x_1,\dots,x_n}\}, \ x_j\in\cb$ . Пространство $\CC^2$ с выделенным базисом обозначается через $\BB$ . Выделенный базис считается ортонормированным, это задает скалярное произведение на пространстве состояний. Коэффициенты $c_{x_1,\dots,x_n}$ разложения вектора $\ket{\psi}$ по этому базису называются амплитудами. Их физический смысл состоит в том, что квадрат модуля амплитуды $|c_{x_1,\dots,x_n}|^2$ интерпретируется как вероятность обнаружить систему в данном базисном состоянии. Как и должно быть, суммарная вероятность всех состояний равна , поскольку длина вектора предполагается единичной. (Вероятности будут подробно обсуждаться позже; до некоторых пор мы будем заниматься линейной алгеброй — изучать унитарные операторы на пространстве $\BB^{\otimes n}$ ).

Мы будем использовать (и уже использовали) принятые в физике обозначения, относящиеся к векторам и скалярному произведению в гильбертовом пространстве (их ввел Дирак). Векторы обозначаются $\ket{\xi}$ , скалярное произведение — $\langle\xi|\eta\rangle$ . Если $\ket{\xi}=\sum_x a_x\ket{x}$ и $\ket{\eta}\double=\sum_x b_x\ket{x}$ , то $\langle\xi|\eta\rangle=\sum_x a^*_xb^{\phantom{*}}_x$ . (Здесь и далее a^* обозначает комплексное сопряжение.) В записи векторов скобки нужны лишь "для красоты" — они указывают на тип объекта и придают симметрию обозначениям (см. ниже). Вместо $\ket{\xi}$ можно было бы написать просто $\xi$ , хотя это и не принято. Поэтому $\ket{\xi_1+\xi_2}=\ket{\xi_1}+\ket{\xi_2}$ — и то, и другое обозначает вектор $\xi_1+\xi_2$ .

Скалярное произведение антилинейно по первому аргументу^{3Обратите внимание, что математики обычно считают, что скалярное произведение в унитарном пространстве антилинейно по второму аргументу.} и линейно по второму, т.е.

$\begin{align*} &\langle \xi_1+\xi_2|\eta\rangle= \langle \xi_1|\eta\rangle+\langle \xi_2|\eta\rangle, &&\langle \xi|\eta_1+\eta_2\rangle= \langle \xi|\eta_1\rangle+\langle \xi|\eta_2\rangle,\\ &\langle c\xi|\eta\rangle=c^*\langle \xi|\eta\rangle, &&\langle \xi|c\eta\rangle=c\langle \xi|\eta\rangle. \end{align*}$

Если в обозначении скалярного произведения взять левую половину, то получим бра-вектор $\bra{\xi}$ , т.е. линейный функционал на кет-векторах (векторах нашего пространства). Бра- и кет-векторы находятся во взаимно однозначном соответствии. (Тем не менее, нужно их как-то различать — именно для этого и были введены угловые скобки.) Из-за антилинейности скалярного произведения по первому аргументу имеем равенство $\bra{c\xi}\double=c^*\bra\xi$ . Бра-вектор можно записать в виде строки, а кет-вектор — в виде столбца (чтобы его можно было умножить слева на матрицу):

$\bra{\xi}=c_0^*\bra{0}+c_1^*\bra{1}=(c_0^*,c_1^*), \qquad \ket{\xi}=c_0\ket{0}+c_1\ket{1}= \leftp \begin{array}{c} c_0\\ c_1 \end{array} \rightp\, .$

Запись $\langle \xi|A|\eta\rangle$ ( — линейный оператор) можно толковать двояко: либо как скалярное произведение вектора $\bra\xi$ на вектор $A\ket\eta$ , либо как — $\bra\xi A$ на $\ket\eta$ . Так появляется сопряженный оператор $A^\dagger$ : по определению, $\bra{A^\dagger\xi}$ (бра-вектор, соответствующий $A^\dagger\ket{\xi}$ ) равен линейному функционалу $\bra\xi A$ . Из определения сразу следует, что

$\langle A^\dagger\xi |\eta\rangle = \langle\xi |A|\eta\rangle.$

Унитарный оператор — это линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение. Условие

эквивалентно тому, что $U^\dagger U=I$ (где

— тождественный оператор).

Наше определение скалярного произведения в $\BB^{\otimes n}$ согласовано с тензорным произведением:

$\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)= \langle\xi_1|\eta_1\rangle\,\langle\xi_2|\eta_2\rangle\,.$

В дальнейшем будет использоваться тензорное произведение операторов. Оно действует в тензорном произведении пространств, на которых действуют сомножители, по правилу

$(A\otimes B)\ket\xi\otimes\ket\eta=A\ket\xi\otimes B\ket\eta.$

Если операторы заданы в матричном виде в некотором базисе, т.е.

$A\double=\sum_{j,k}^{} a_{jk}\ket{j}\bra{k},\quad B=\sum_{j,k}^{}b_{jk}\ket{j}\bra{k}$

(легко понять, что $\ket{j}\bra{k}$ — линейный оператор: $\ket{j}\bra{k}\;\ket\xi=\langle k|\xi\rangle\ket{j}$ ), то матричные элементы оператора $C=A\otimes B$ имеют вид $c_{(jk)(lm)}=a_{jl}b_{km}$ .

Вычисление состоит из преобразований, считаемых элементарными (выполняемых за единицу времени).

Элементарное преобразование в классическом случае: такая функция из $\cb^n$ в $\cb^n$ , которая зависит от небольшого (не зависящего от

) числа битов и изменяет также небольшое число битов.

Элементарное преобразование в квантовом случае: тензорное произведение произвольного унитарного оператора, действующего на части сомножителей $\BB^{\otimes r}$ , где

мало (

), и тождественного оператора, действующего на остальных сомножителях.

Тензорное произведение некоторого оператора , действующего на множестве q-битов , и тождественного оператора, действующего на остальных q-битах, будем обозначать U[A] . (В частности, $U[1,\dots,r]\double=U\otimes I$ обозначает действие на первых q-битах.)