Скажите, пожалуйста, можно ли еще получить документ о прохождении курса ("Графы и алгоритмы", декабрь 2020) после предоставления всех дополнительных необходимых документов? |
Рационализация переборных алгоритмов
Теорема 5. В хордальном графе всякое минимальное разделяющее множество является кликой.
Доказательство. Допустим, что в некотором графе есть минимальное разделяющее множество
, не являющееся кликой. Это означает, что
в
имеются несмежные вершины
и
.
При удалении множества
образуется не менее двух новых компонент
связности. Пусть
и
- такие
компоненты.
Вершина
смежна, по крайней мере, с одной вершиной в каждой из
этих
компонент. Действительно, если
была бы не смежна, скажем, ни
с одной из вершин компоненты
, то
множество
тоже
было бы разделяющим, а это противоречит минимальности разделяющего
множества
. То же относится к вершине
. Выберем в
компоненте
такие вершины
и
, чтобы
была смежна с вершиной
,
- с вершиной
и при этом расстояние между
и
в
было минимальным (возможно
). Аналогично
выберем
и
в
компоненте
. Пусть
-
кратчайший путь из
в
в
компоненте
,
а
- кратчайший путь из
в
в компоненте
(каждый из этих путей может состоять из одной
вершины). Тогда последовательность
является
простым циклом без хорд длины не менее 4. Следовательно,
граф
- не хордальный.
Вершина графа называется симплициальной, если множество всех смежных с ней вершин является кликой или пустым множеством.
Теорема 6. В любом хордальном графе имеется симплициальная вершина.
Доказательство. В полном графе любая вершина является
симплициальной. Докажем индукцией по числу вершин , что в любом
хордальном графе, не являющемся полным, есть две несмежные симплициальные
вершины. При
это, очевидно, так. Пусть
- хордальный
граф с
вершинами,
, не являющийся полным.
Если
несвязен, то, по предположению индукции, во всех компонентах связности
есть симплициальные вершины. Допустим, что граф
связен. Так как
он не полный, то в нем есть разделяющее множество, а по теореме 5 есть
разделяющая клика. Пусть
- такая клика,
и
-
две новые компоненты связности, появляющиеся при удалении из графа всех
вершин клики
. Рассмотрим подграф
,
порожденный
множеством
. Если он полный, то в нем любая вершина
симплициальна. Если же он не полный, то по предположению индукции в нем
есть две несмежные симплициальные вершины. Хотя бы одна из этих двух
вершин принадлежит множеству
. Итак, в любом случае
в множестве
имеется вершина
, являющаяся
симплициальной в графе
. Окрестность вершины
во всем
графе
совпадает с ее окрестностью в подграфе
. Следовательно,
- симплициальная вершина графа
.
Аналогично, в множестве
имеется симплициальная вершина графа
и она не смежна
с вершиной
.
Существование симплициальных вершин можно использовать для создания эффективного алгоритма раскрашивания хордального графа в наименьшее число цветов. План такого алгоритма содержится в доказательстве следующей теоремы:
Теорема 7. Для любого хордального графа .
Доказательство. Пусть - хордальный граф с
вершинами и
. Покажем, что граф
можно
правильно раскрасить в
цветов. Найдем в нем симплициальную
вершину и обозначим ее через
, а граф, полученный удалением
этой вершины, через
. Этот граф тоже хордальный, значит,
в нем тоже есть симплициальная вершина. Пусть
-
симплициальная вершина в графе
, а
- граф,
получаемый из него удалением этой вершины. Продолжая действовать таким
образом, получим последовательность вершин
и последовательность графов
(здесь
), причем при каждом
вершина
является симплициальной в графе
, а граф
получается из
удалением этой вершины.
Допустим, что граф правильно раскрашен
в
цветов.
Покажем, что вершину
можно покрасить в один из этих цветов,
сохраняя правильность раскраски. Действительно,
-
симплициальная вершина графа
, значит, множество
всех смежных с ней в этом графе вершин является кликой. Так как при
добавлении к множеству
вершины
тоже
получается
клика, а мощность наибольшей клики в графе
равна
,
то
. Значит, для окрашивания вершин
множества
использовано не более
цвета. Поэтому для
вершины
можно использовать один из оставшихся цветов.
Итак, каждый из графов , а значит, и исходный
граф
,
можно правильно раскрасить в
цветов. Отсюда следует, что
. Обратное неравенство было установлено
в
"Раскраски"
.