Достижимость в графах

Нахождение множества вершин, входящих в путь

Если необходимо узнать о вершинах графа, входящих в эти пути, то следует вспомнить определения прямого и обратного транзитивных замыканий. Так как T⁺(x_i) – это множество вершин, в которые есть пути из вершины x_i, а T^–(х_j) – множество вершин, из которых есть пути в x_j, то – множество вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему от x_i к x_j. Эти вершины называются существенными или неотъемлемыми относительно двух концевых вершин x_i и x_j. Все остальные вершины графа называются несущественными или избыточными, поскольку их удаление не влияет на пути от x_i к x_j.

Рис. 4.2. Орграф

Так для графа на рис. 4.2 нахождение вершин, входящих в путь, например из вершины х₂ в вершину х₄, сводится к нахождению .

Матричный метод нахождения путей в графах

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Возведем матрицу смежности в квадрат по правилам математики. Каждый элемент матрицы А² определяется по формуле

Слагаемое в формуле равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа a_ij и a_jk равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенства a_ij = a_jk = 1 следует существование пути длины 2 из вершины x_i в вершину х_k , проходящего через вершину x_j , то ( i -й, k -й) элемент матрицы А² равен числу путей длины 2, идущих из x_i в х_k .

На таблице 4.1a представлена матрица смежности графа, изображенного на рис. 4.2. Результат возведения матрицы смежности в квадрат А² показан на таблице 4.1б.

Так "1", стоящая на пересечении второй строки и четвертого столбца, говорит о существовании одного пути длиной 2 из вершины х₂ к вершине х₄ . Действительно, как видим в графе на рис. 4.2, существует такой путь: a₆, a₅ . "2" в матрице A2 говорит о существовании двух путей длиной 2 от вершины х₃ к вершине х₆ : a₈, a₄ и a₁₀, a₃ .

Аналогично для матрицы смежности, возведенной в третью степень A3 ( таблица 4.1в), a ⁽³⁾ _ik равно числу путей длиной 3, идущих от x_i к х_k . Из четвертой строки матрицы A3 видно, что пути длиной 3 существуют: один из х₄ в х₄(a₉, a₈, a₅), один из х₄ в х₅(a₉, a₁₀, a₆) и два пути из х₄ в х₆(a₉, a₁₀, a₃ и a₉, a₈, a₄). Матрица A₄ показывает существование путей длиной 4 ( таблица 4.1г).

Таким образом, если a ^р _ik является элементом матрицы A^р ,то a ^р _ik равно числу путей (не обязательно орцепей или простых орцепей) длины р, идущих от x_i к х_k .