Регулярные позиномы

В точке минимума компоненты ее производная обращается в нуль. Решим уравнения (например, с помощью надстройки Поиск решения (Solver) в Excel ):

Для первой компоненты единственной стационарной точкой в области является , следовательно,

Для второй компоненты единственной стационарной точкой в области является , следовательно,

Верхняя оценка позинома равна

Таким образом, вычислив оценки, мы установили, что

Заметим, что в данном примере верхняя оценка , достаточно близка к минимальному значению позинома, которое равно . Разность составляет

Рассмотрим еще один пример.

Пример 26 Вычислим оценки позинома из примера 9 ( "Неравенство Коши и его обобщения" ):

Вычислим сначала нижнюю оценку позинома. Для этого представим второй моном как сумму двух мономов:

Теперь позином имеет вид:

Возьмем . Позином

является регулярным, так как для него выполнены следующие равенства:

Следовательно, его минимум вычисляется по формуле:

Таким образом, получили нижнюю оценку для позинома .

Вычислим теперь верхнюю оценку минимума позинома. Позином состоит из трех компонент:

Вычислим минимумы компонент позинома. Для каждой компоненты запишем производную:

В точке минимума компоненты ее производная обращается в нуль. Решим уравнения (например, с помощью надстройки Поиск решения (Solver) в Excel ):

Для первой компоненты единственной стационарной точкой в области является , следовательно,

Для второй компоненты единственной стационарной точкой в области является , следовательно,

Для третьей компоненты единственной стационарной точкой в области является , следовательно,

Верхняя оценка позинома равна

Таким образом, вычислив оценки, мы установили, что

Заметим, что в данном примере верхняя оценка совпала с минимальным значением позинома.

Краткие итоги

Введено понятие регулярного позинома. Описаны свойства регулярных позиномов. Приведена теорема минимизации регулярных позиномов. Сформулирована главная теорема о позиномах. Описан процесс вычисления оценки минимума позинома.