НОУ ИНТУИТ | Теория и методы разработки управленческих решений. Лекция 13: Экономико-математические модели и принятие решений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 11.08.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 119 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

$f(T;y)=\frac1 T \left\{gn(T)+\frac{\mu s T^2}{2n(T)}\right\}=g\frac{n(T)}{T}+\mu s\frac{T}{2n(T)}$

Итак, минимизация средних издержек - это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) - самое выгодное число поставок.

Поскольку к моменту запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться $\mu T.$ Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

$Q_n(T)T=\mu T$

Из балансового соотношения следует, что

$\frac{n(T)}{T}=\frac{\mu}{Q}$

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии :

$f(T;y)=g\frac{n(T)}{T}+\mu s\frac{T}{2n(T)}=f_1(Q)=\frac{\mu g}{Q}+\frac{sQ}{2}$

( 33)

Задача состоит в минимизации f_1(Q) по . При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения, $Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}$

Изучим функцию f_1(Q) , определенную при Q>0 . При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента - как линейная функция. Производная имеет вид

$\frac{df_1(Q)}{dQ}=-\frac{\mu g}{Q^2}+\frac s 2$

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при

$Q_0=\sqrt{\frac{2\mu g}{s}}$

( 34)

Получена знаменитая "формула квадратного корня".

В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны Q_0 . К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

$Q\not \sum_{i=1}^nin \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}$

Всегда можно указать неотрицательное целое число такое, что

$Q_1=\frac{\mu T}{n+1}<Q_0 \le \frac{\mu T}{n}=Q_2$

( 35)

Утверждение 3. Решением задачи оптимизации

$f_1(Q)=\frac{\mu g}{Q}+\frac{sQ}{2}\to min,\\ Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}$

является либо Q_1 , либо Q_2 .

Действительно, из всех $Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}$ часть лежит правее Q_0 , из них наименьшим является Q_2 , а часть лежит левее Q_0 , из них наибольшим является Q_1 . Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная функции f_1(Q) отрицательна левее Q_0 и положительна правее Q_0 , следовательно, функция средних издержек f_1(Q) убывает левее Q_0 и возрастает правее Q_0 . Значит, минимум по $Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}\bigcap\{Q;Q\leQ_0\}$ достигается при Q = Q_2 , а минимум по $Q\in \left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2, \dots \right\}\bigcap\{Q;Q<Q_0\}$ - при Q = Q_1 Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

Найти по формуле квадратного корня (34).
Найти n из условия (35).
Рассчитать ) по формуле (33) для и , где и определены в (35).
Наименьшее из двух чисел и является искомым минимумом, а то из чисел и , на котором достигается минимум - решением задачи оптимизации. Обозначим его $Q_{opt} .$

Оптимальный план поставки - это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны $Q_{opt}$ .

Замечание. Если f_1(Q_1) = f_1(Q_2) , то решение задачи оптимизации состоит из двух точек Q_1 и Q_2 . В этом частном случае существует два оптимальных плана.

Пример 1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т продукции в день - 50 руб. Плата на доставку одной партии - 980 руб. Горизонт планирования - 10 дней. Найти оптимальный план поставок.

В рассматриваемом случае $\mu$ =5 (т/день), =50 (руб./т.день), =980 (руб./партия), = 10 (дней). По формуле (34) рассчитываем

$Q_0=\sqrt{\frac{2\mu g}{s}}=\sqrt{\frac{2*5*980}{50}}=\sqrt{196}=14$

Множество допустимых значений для имеет вид

$\left\{\frac{\mu T}{n}, n=1,2,\dots \right\}=\left\{50; \frac{50}{2}; \frac{50}{3}; \frac{50}{4}; \dots \right\}=\{50; 25; 16,67; 12,5;\dots \} \$

Следовательно, Q_1 = 12,5 и Q_2 = 16,67 . Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе - с тремя. Поскольку

$f-!(Q)=\frac{5*980}{Q}=\frac{50Q}{2}=\frac{4900}{Q}=25Q$

то

$f_1(Q_1)=f_1(12,5)=\frac{4900}{12,5}+25*12,5=392+312,5=704,5$

и

$f_1(Q_2)=f_1(50/3)=\frac{4900*3}{50}+25*\frac{50}{3}=294+416.67=710,67$

Поскольку f_1(Q_1) < f_1(Q_2) , то $Q_{opt} = Q_1 = 12,5$ . Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами.

Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с Q=Q_0 . Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом?

Для плана с Q=Q_0 интервал между поставками составляет $Q_0/\mu=14/5=2.8$ дня. Следовательно, партии придут в моменты t_0 = 0; t_1= 2,8; t_2 = 5,6; t_3 = 8,4 . Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования Т =10 , в момент t_4 = 11,2 . Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту Т =10 пройдет 10 - 8,4 = 1,6 дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено 5*1,6=8 т продукции и останется 14 - 8 = 6 т. План с Q=Q_0 не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования Т =10 .

Подсчитаем общие издержки в плане с Q=Q_0 . Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна $\frac{14*2.8}{2}=19,6$ трех треугольников - 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени t_3 = 8,4 и Т =10 , т.е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна 10 - 8,4 = 1,6 , а потому площадь трапеции есть $\frac{(14+6)*1,6}{2}=16$ Следовательно, площадь под графиком равна 58,8 + 16 = 74,8 , а плата за хранение составляет 50*74,8=3740 руб.

За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты t_0 = 0; t_1= 2,8; t_2 = 5,6; t_3 = 8,4 ), следовательно, затраты на доставку равны 4*980=3920 руб. Общие издержки за 10 дней составляют 3740+3920 = 7660 руб., а средние издержки - 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в 766/704,5 = 1,087 раза, т.е. на 8,7%.

Отметим, что

$f_1(Q_0)=\frac{4900}{Q_0}+25Q_0=4900/14+25*14=350+350=700$

т.е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т.e. на 0,64%. При этом оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от Q_0 = 14 т на 1,5 т, т.е. $Q_{opt}/Q_0 = 0,89$ - различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции f_1(Q) . Это объясняется тем, что в точке Q_0 функция f_1(Q) достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0.

Оба слагаемых в f_1(Q_0) равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

$\frac{\mu g}{Q_2}=\frac{\mu g}{\sqrt{\frac{2 \mu g}{s}}}=\sqrt{\frac{\mu gs}{2}};\\ \frac{sQ_0}{2}=\frac{\sqrt{\frac{2\mu g}{3}}}{2}=\sqrt{\frac{\mu gs}{2}}$