НОУ ИНТУИТ | Алгоритмические основы современной компьютерной графики. Лекция 3: Геометрические преобразования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 20.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Уравнения прямой и плоскости

Уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат можно задать уравнением вида

для случая, когда прямая не параллельна оси OY, и уравнением

для вертикальной прямой. Но прямая может быть также задана и другим способом. Достаточно указать вектор направления этой прямой $\overrightarrow{l}=(l_x,l_y)$ и какую-нибудь точку $\overrightarrow{r}_0=(x_0,y_0)$ , лежащую на этой прямой. При этом точки, лежащие на прямой, могут быть заданы с использованием векторных операций в виде так называемого параметрического уравнения прямой

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_0+t\overrightarrow{l},$

в котором параметр t пробегает все значения числовой прямой. Координаты точки, соответствующей некоторому значению этого параметра, определяются соотношениями

$x=x_0+tl_x, \quad y=y_0+tl_y.$

( 3.4)

Прямую в пространстве тоже можно задавать параметрическим уравнением, которое очень легко получить из предыдущего простым переходом от двумерных векторов к трехмерным. Пусть $\overrightarrow{l}=(l_x,l_y,l_z), \; \overrightarrow{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$ . Тогда это уравнение будет определять прямую в пространстве, а координаты точек этой прямой будут определяться формулами

$x=x_0+tl_x, \quad y=y_0+tl_y, \quad z=z_0+tl_z, \quad -\infty<t<+\infty.$

( 3.5)

Как известно из элементарной геометрии, через любые три точки в пространстве проходит плоскость. С другой стороны, через каждую точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости. При этом все эти прямые будут параллельны друг другу, а значит, они имеют общий вектор направления. Этот вектор будем называть нормалью к плоскости. Если длина вектора равна единице, мы будем называть его единичной нормалью. В компьютерной графике часто приходится решать задачу построения нормали к некоторой плоскости, заданной тремя точками, а также задачи пересечения прямой с плоскостью и двух плоскостей.

Плоскость в пространстве можно задать, указав вектор нормали к ней и какую-либо точку, принадлежащую данной плоскости. Пусть $\overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3)$ - вектор единичной нормали, а $\overrightarrow{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$ - некоторая точка на плоскости. Тогда для любой точки $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ , лежащей на плоскости, вектор $\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}_0$ будет ортогонален вектору нормали, а следовательно, выполняется равенство

$\left( (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}_0)\cdot \overrightarrow{n} \right)=0.$

Раскрывая это выражение в координатном виде, получаем

n_1 x+n_2 y +n_3 z-n_1 x_0 -n_2 y_0 -n_3 z_0 =0.

Теперь перепишем это уравнение в виде

( 3.6)

где

. Это уравнение называется каноническим уравнением плоскости. При этом совершенно ясно, что если все это уравнение умножить на какой-либо отличный от нуля множитель, то оно будет описывать ту же самую плоскость, т.е. коэффициенты n_1, n_2, n_3

для каждой плоскости задаются с точностью до произвольного ненулевого множителя. Но если при этом вектор $\overrightarrow{n}$ имеет единичную длину, то |d|

задает расстояние от начала координат до данной плоскости.

В алгоритмах компьютерной графики довольно часто приходится сталкиваться с задачей построения плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть три точки $\overrightarrow{r}_1$ , $\overrightarrow{r}_2$ и $\overrightarrow{r}_3$ , не лежащие на одной прямой, имеют координатами (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2) и (x_3,y_3,z_3) . Для канонического уравнения необходимо построить нормаль к плоскости, что легко можно осуществить, используя операцию векторного произведения. Поскольку векторы $\overrightarrow{v}_1=\overrightarrow{r}_2-\overrightarrow{r}_1$ и $\overrightarrow{v}_2=\overrightarrow{r}_3-\overrightarrow{r}_1$ лежат в искомой плоскости, то вектор $\overrightarrow{N}=\overrightarrow{v}_1\times\overrightarrow{v}_2$ будет ортогонален этой плоскости. Пусть $\overrightarrow{N}=(N_x,N_y,N_z)$ , тогда уравнение плоскости будет иметь вид

Остается определить значение . Так как точка $\overrightarrow{r}_1$ принадлежит этой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Подставим их в уравнение и получим

следовательно

и после подстановки окончательно получим:

( 3.7)

В большинстве алгоритмов, использующих плоскости, достаточно знать нормаль к ней и какую-либо точку, принадлежащую плоскости. Очевидно, что по аналогии можно вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, если задана нормаль к ней и принадлежащая прямой точка.

Пересечение луча с плоскостью и сферой

Прямая на плоскости и в пространстве является бесконечной в обе стороны. Лучом называется полупрямая, т.е. множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от заданной ее точки, называемой началом луча. Луч будем задавать в параметрическом виде, как это было описано в одном из предыдущих разделов. Пусть $\overrightarrow{l}=(l_x,l_y,l_z)$ - направляющий вектор прямой, а $\overrightarrow{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$ - начальная точка. Тогда координаты точек луча будут определяться формулами

$x=x_0+tl_x, \quad y=y_0+tl_y, \quad z=z_0+tl_z.$

( 3.8)

Будем считать, что направляющий вектор единичный, т.е. l_x^2+l_y^2+l_z^2=1 .

Сначала рассмотрим задачу о нахождении точки пересечения луча с плоскостью, заданной каноническими уравнением

( 3.9)

Вектор нормали $\overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3)$ тоже будем считать единичным. Сначала надо определить значение параметра t, при котором луч пересекает плоскость. Для этого подставим координаты из формулы (3.8) в уравнение (3.9) и получим

n_1(x_0+tl_x)+n_2(y_0+tl_y)+n_3(z_0+tl_z)+d=0,

откуда легко определить, что луч пересекает плоскость в точке со значением

$t_0=-\frac{(\overrightarrow{r}_0\cdot\overrightarrow{n})+d}{(\overrightarrow{l}\cdot\overrightarrow{n})}.$

Очевидно, что такая точка существует только при условии $(\overrightarrow{l}\cdot\overrightarrow{n})\neq0$ . В свою очередь, эта величина обращается в нуль только в случае, когда векторы $\overrightarrow{l}$ и $\overrightarrow{n}$ ортогональны друг другу.

Пусть теперь нам задана сфера с центром в точке $\overrightarrow{r}_c=(x_c,y_c,z_c)$ и радиусом . Тогда уравнение сферы будет иметь вид

Подставив сюда координаты луча из уравнения (3.8), получим, что параметр, при котором луч пересекает сферу, должен удовлетворять квадратному уравнению

где $a=|\overrightarrow{r}_c|^2, \; b=2((\overrightarrow{r}_0-\overrightarrow{r}_c)\cdot\overrightarrow{l}), \; c=|\overrightarrow{r}_0-\overrightarrow{r}_c|^2-d^2$ . Определим корни этого уравнения. Если дискриминант $D=\frac{b^2}{4}-c\ge 0$ , то корни существуют. Их может быть либо два (D>0)