Простейшие вычисления

Составные предложения

Для построения составных предложений чаще всего используются связки - И ( &&, конъюнкция ) и ИЛИ ( ||, дизъюнкция ). Смысл связки И - тот же, что и в разговорной речи: конъюнкция двух предложений истинна тогда и только тогда, когда они оба истинны. Связка ИЛИ "двойственна" связке И: дизъюнкция двух предложений ложна только если они оба ложны.

Дизъюнкция нескольких предложений ложна тогда, когда все они ложны. Рассмотрим, например, утверждение "Плата за подписку снижена для студентов, лиц моложе 21 года и безработных". Согласно ему, приходится платить полную цену, только если все три исключения нарушены. Аналогичное обобщение верно и для связки И. Конъюнкция нескольких предложений истинна, только если все они истинны.

Кроме И и ИЛИ, имеется еще модификатор НЕ ( !, отрицание ) результат применения которого противоположен его аргументу: !T = F, !F = T. В математической литературе для обозначения отрицания выражения проводят горизонтальную черту над ним.

Значения логических выражений, содержащих связки И, ИЛИ и модификатор НЕ, вычисляются с помощью так называемой таблицы истинности:

Последовательность выполнения операций при отсутствии скобок в сложных логических формулах определяется старшинством операций (приоритетом). Наивысший приоритет имеет отрицание, затем следует конъюнкция и, наконец, дизъюнкция.

Пример

Вычислить значение логической формулы !X && Y || X && Z при следующих значениях переменных: X = F, Y = T, Z = T.

Решение

Отметим цифрами порядок выполнения операций:

1    2    4    3   
! X && Y || X && Z.

Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:

1. !F = T;
2. T && T = T ;
3. F && T = F ;
4. T || F = T.

Итак, формула при данных значениях аргументов принимает значение T.

Задание

Определите значение логического выражения !(X>Z) && !(X=Y), если:

1. X = 3, Y = 5, Z = 2 ;
2. X = 0, Y = 1, Z = 19 ;

Законы булевой алгебры

При работе с логическими выражениями часто используют следующие законы.

Закон коммутативности утверждает, что можно переставлять операнды при использовании конъюнкции или дизъюнкции. Это может показаться очевидным, но имеются операторы вроде арифметического минуса, для которых это неверно: A - B отлично от B - A. Закон ассоциативности позволяет расставлять скобки произвольным образом, если в логическом выражении используется лишь одна из связок && и ||. В таких случаях можно вообще обойтись без скобок, так как закон ассоциативности гарантирует получение одного и того же результата независимо от того, как сгруппированы предложения.

Вместе эти пять законов определяют булеву алгебру. Из них можно получить другие полезные законы, например, такие:

Приведем очень поучительное доказательство закона поглощения (попробуйте найти его сами прежде, чем ознакомиться с решением).

Заметим, что большинство законов существует в двух похожих формах. Принцип двойственности гласит, что любая теорема булевой алгебры остается истинной, если в ее формулировке заменить все связки И на ИЛИ, ИЛИ на И, все T на F и все F на T.

Задания

1. Упростите выражения:
   • !X || !(X || Y) || !(Y && !(X && Y)) ;
   • !(X || Y || !(X && Y)) && !(Y ||X).
2. Заданы логические функции:

   F₁ = X && Y || X && Z || !Y && Z и F2 = (X && Y || Y && Z || X && !Z) && (X && !Y || !Y && Z).

   Упростите эти функции и проверьте, являются ли они тождествено равными между собой, т. е. совпадающими для всех возможных значений переменных X, Y и Z.