НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

13.4. ЛЕММА. Пусть является $n\!\times\! m$ -матрицей $(n,m\in\mathbb N$ ; m>1 , $n\geq 1)$ , состоящей из нулей и единиц. Если первый столбец матрицы состоит только из нулей, а матрица E_1 получена из удалением этого нулевого столбца, то $\omega_E(-2)=-\omega_{E_1}(-1)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя формулу (12.2) к матрице и вектору $\textbf{e}=(1,0,\dots,0)$ , получим $\omega_E(t) = \omega_{E\cup\textbf{e}}(t) + \omega_H(t-1)$ , где $H = (h_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - матрица с элементами $h_{ij}=\max \{e_{ij}- e_j,0\}$ ( $e_1= 1,\ e_2=0,\dots,e_m= 0$ суть координаты вектора $\textbf{e}$ ). Очевидно, H=E и $\omega_{E\cup\textbf{e}}(t) =\omega_{E_1}(t)$ (см. теорему 12.8(8)), так что $\omega_E(t)= \omega_{E_1}(t)+\omega_E(t-1)$ и, в частности, $\omega_{E_1}(-1) + \omega_E(-2) = \omega_E(-1)$ . Поскольку содержит нулевой столбец, из леммы 13.3(2) следует, что $\omega_E(-1) = (-1)^m\mu_1(E) = 0$ , значит, $\omega_E(-2) = -\omega_{E_1}(-1)$ .

13.5. ЛЕММА. Пусть $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ $(n,m\in\mathbb N$ ; m>1 , $n\geq 1)$ является $n\!\times\! m$ -матрицей состоящей из нулей и единиц. Предположим, что $e_{j1}=1$ для $j=1,\dots,r$ и $e_{j1}=0$ для $j=r+1,\dots,n$ $(1\leq r\leq n)$ . Тогда $\mu_1(E)= \mu_1(E_1) - \mu_1(E_2)$ , где матрица E_1 получена из удалением первого столбца, а E_2 получена из E_1 удалением первых строк.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя (12.2) к и $\textbf{e}= (1,0,\dots,0)$ , получаем $\omega_E(t) = \omega_{E\cup \textbf{e}}(t) + \omega_H(t-1)$ , где $H= (h_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица с элементами

$h_{ij}=\max \{ e_{ij}- e_j,0\} = \begin{cases} 0, & \kern-7pt\text {если } j=1,\\ e_{ij}, & \kern-7pt\text {если } j\neq 1.\end{cases}$

По теореме 12.8(8) $\omega_{E\cup\textbf{e}}(t) = \omega_{E_2}(t)$ , следовательно, $\omega_E(t) = \omega_{E_2}(t) + \omega_H(t-1)$ . Далее, пользуясь леммой 13.4, можно написать $\omega_H(-2) = -\omega_{E_1}(-1)$ , значит, $\omega_E(-1) = \omega_{E_2}(-1) - \omega_{E_1}(-1)$ . Теперь, по лемме 13.2 имеем

$\begin{multiline*} \mu_1(E) = (-1)^m\omega_E(-1) = (-1)^m\omega_{E_2}(-1) + (-1)^{m-1}\omega_{E_1}(-1) \\ = \mu_1(E_1) - \mu_1(E_2). \tag*{\qedsymbol} \end{multiline*}$

13.6. СЛЕДСТВИЕ. Пусть

$E =(e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ $(m,n\in\mathbb N,\ m>1)$ - $n\!\times\! m$ -матрица, состоящая из 0 и 1. Предположим, что существуют $p,q\in\mathbb N_m$ , такие, что $e_{ip}\geq e_{iq}$ для всех $i=1,\dots,n$ . Тогда $\mu_1(E) = \mu_1(E_1)$ , где E_1 получена из удалением -го столбца.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку размерностный многочлен матрицы инвариантен относительно перестановок строк (или столбцов) матрицы , значение $\mu_1(E) = (-1)^m \omega_E(-1)$ также обладает этим свойством. Поэтому, без потери общности, можно считать, что p=1 и существует $r\in\mathbb N_{n-1}$ , такое, что $e_{j1}= 1$ для $j = 1,\dots,r$ , и $e_{j1}= 0$ для $j = r+1,\dots,n$ . По лемме 13.5, $\mu_1(E) =\mu_1(E_1)-\mu_1(E_2)$ , где E_2 получена из удалением первого столбца и первых строк (поскольку $0\leq e_{iq}\leq e_{i1}=0$ для $i=r+1,\dots,n$ , каждый элемент -го столбца матрицы E_2 равен нулю). Следовательно, $\mu_1(E_2)=0$ (см. лемму 13.3(2)), так что $\mu_1(E)=\mu_1(E_1)$ .

13.7. ЛЕММА. Пусть

$E =(e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ $(m,n\in\mathbb N,\ m>1)$ - $n\!\times\! m$ -матрица, состоящая из 0 и 1. Предположим, чт о содержит строку $\textbf{e}=(e_1,\dots,e_m)$ , такую, что e_i=1 для $1\leq i\leq r$ и e_i= 0 для $r<i\leq m$ $(r \in \mathbb N_{m-1})$ . Тогда $\mu_1(E) = \mu_1(E\setminus \textbf{e}) - \mu_1(E_1)$ , где матрица $E\setminus \textbf{e}$ получена удалением строки $\textbf{e}$ из матрицы , а $(n-1)\!\times\! (m-r)$ - матрица E_1 получена из матрицы $E\setminus \textbf{e}$ удалением первых столбцов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя формулу (12.3) к матрице и строке $\textbf{e}=(1,\dots,1,0,\dots,0)$ , получаем $\omega_E(t) = \omega_{E\setminus \textbf{e}}(t) - \omega_{\tilde E_1}(t-r)$ , где матрица $\tilde E_1$ получена из E_1 присоединением слева нулевых столбцов. Теперь из (12.2) видно, что $\omega_{\tilde E_1}(t) = \omega_{\tilde E_1\cup\textbf{e}}(t) + \omega_{\tilde E_1}(t-r)$ , следовательно,

$\omega_E(-1) = \omega_{E\setminus \textbf{e}}(-1) - \omega_{\tilde E_1}(-1-r) = \omega_{E\setminus \textbf{e}}(-1) + \omega_{\tilde E_1\cup\textbf{e}}(-1)-\omega_{\tilde E_1}(-1).$

Поскольку $\tilde E_1$ содержит нулевой столбец, из пункта 2 леммы 13.3 следует, что $\mu_1(\tilde E_1) = 0$ , значит,

$\omega_{\tilde E_1}(-1) = (-1)^m\mu_1(\tilde E_1) = 0$

(см. лемму 13.2) и

$\begin{align*} \mu_1(E)&= (-1)^m\omega_E(-1) = (-1)^m\omega_{E\setminus \textbf{e}}(-1) + (-1)^m \omega_{\tilde E_1\cup\textbf{e}}(-1)\\ &=\mu_1(E\setminus\textbf{e})+\mu_1(\tilde E_1\cup \textbf{e}). \end{align*}$

Поскольку каждый из первых (r-1)

столбцов матрицы $\tilde E_1\cup \textbf{e}$ мажорирует

-й столбец этой матрицы, из следствия 13.6 вытекает, что $\mu_1(\tilde E_1\cup \textbf{e})= \mu_1({\mathbf0}E_1\cup (1,0,\dots,0))$ , где ${\mathbf0}E_1$ - матрица, полученная присоединением слева нулевого столбца к E_1

. Применяя теперь п.5 леммы 13.3, получаем $\mu_1({\mathbf0 E_1\cup(1,0,\dots,0)) =-\mu_1(E_1)$ , откуда следует требуемое соотношение $\mu_1(E)=\mu_1(E\setminus\textbf{e})-\mu_1(E_1)$ .

Пусть

$E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица. По теореме 12.8 п.5, удаление "лишних" строк матрицы не меняет размерностный многочлен этой матрицы, значит, не меняет и значение $\mu_1(E)$ . Кроме того, если любой элемент матрицы равен либо 0, либо 1, то из следствия 13.6 вытекает, что удаление "лишних" столбцов матрицы не меняет значения $\mu_1(E)$ ( -й столбец матрицы $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ $(1\leq p\leq m)$ называется "лишним", если существует число $q \in \mathbb N_m$ , такое, что $q \neq p$ и $e_{ip}\geq e_{iq}$ для всех $i=1,\dots,n$ ).

Таким образом, в ходе вычисления $\mu_1(E)$ (где - $n\!\times\! m$ -матрица, состоящая из 0 и 1) мы можем прежде всего отбросить "лишние" строки и столбцы (по п.5 леммы 13.3, эти вычисления сопровождаются соответствующими изменениями знака $\mu_1(E)$ ), а затем отбросить строки и столбцы, удовлетворяющие соотношениям леммы 13.5. Затем мы можем выбрать одну из следующих альтернатив: воспользоваться леммой 13.5 для вычисления $\mu_1(E_1)$ (где E_1 - матрица, полученная из с помощью описанного выше процесса сокращения) или вычислить $\mu_1(E_1)$ , воспользовавшись леммой 13.7, т. е. "раскладывая" E_1 по строкам и столбцам соответственно. Очевидно, что если число строк матрицы E_1 больше числа ее столбцов, то предпочтительнее "движение по столбцам" с помощью леммы 13.5, в противном случае для вычисления $\mu_1(E_1)$ целесообразно воспользоваться леммой 13.7.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Вопросы и ответы

Студенты