Математические методы описания моделей конструкций РЭС. Некоторые понятия теории множеств

16.3. Основные свойства операций над множествами

Эти свойства получены на основе булевой алгебры и булевых функций.

Объекты с двумя возможными состояниями характеризуются булевыми переменными, которые способны принимать лишь два различных значения. Для обозначения этих двух значений обычно используются цифры 0 и 1 или буквы Л (ложно) и И (истинно).

Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями, которые, подобно числовым функциям, могут зависеть от одной, двух и, вообще, переменных (аргументов).

Основными в двузначной логике являются следующие три функции: отрицание, дизъюнкция и конъюнкция. Выше уже говорилось о них, но можно ещё раз уделить некоторое внимание первой. Отрицание - функция , принимающая значения , когда , и значение , когда ; она обозначается (читается "не x").

Множество всех булевых функций вместе с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции образует булеву алгебру.

На основе определения основных операций нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств (свойств) булевой алгебры:

• Законы коммутативности
  
• Законы ассоциативности
  
• Законы дистрибутивности
  
• и некоторые другие.

Приведённые свойства позволяют получить ряд других важных законов и тождеств, например, таких как:

• Законы идемпотентности .
• Законы де Моргана .

16.4. Отношения множеств. Виды отношений и их свойства

Элементы множества, как правило, находятся в каком-либо отношении друг относительно друга. Эти отношения можно задать в виде неполных предложений - предикатов, например, "меньше, чем …", "больше, чем …", "эквивалентно", "конгруэнтно" и т. д.

Тот факт, что некоторый элемент находится в каком-либо отношении к элементу того же множества , математически записывают как , где - символ отношения.

Отношение из двух элементов множества называют бинарным. Бинарные отношения множеств и представляют собой некоторое множество упорядоченных пар , образованных декартовым произведением . В общем случае, можно говорить не только о множестве упорядоченных пар, но и о множестве упорядоченных троек, четвёрок элементов и тому подобное, т.е. о - парных отношениях, получаемых в результате декартова произведения

где - размерность - строчек.

Рассмотрим некоторые виды отношений - отношения эквивалентности, порядка и доминирования.

Некоторые элементы множества можно считать эквивалентными в том случае, когда любой из этих элементов при определённых условиях можно заменить другим, т.е. данные элементы находятся в отношении эквивалентности.

Примерами отношений эквивалентности являются отношения параллельности на множестве прямых какой-либо плоскости; подобия на множестве треугольников; принадлежности к одной функциональной группе микросхем или к одному классу типоразмеров и другие.

Термин " отношение эквивалентности " применяют при выполнении следующих условий:

• каждый элемент эквивалентен самому себе;
• высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения того, какой из элементов является первым, а какой - вторым;
• два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.

Для обозначения эквивалентности используется символ " ". Тогда рассмотренные условия можно записать следующим образом:

• (рефлексивность);
• (симметричность);
• (транзитивность).

Следовательно, отношение называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пусть, некоторому элементу эквивалентно некоторое подмножество элементов , тогда это подмножество образует класс эквивалентности, эквивалентный .

Все элементы одного и того же класса эквивалентности эквивалентны между собой (свойство транзитивности). Тогда всякий элемент может находиться в одном и только одном классе эквивалентности, т.е. в этом случае множество разбивается на некоторое непересекающееся подмножество классов эквивалентности

где - некоторое подмножество индексов.

Таким образом, каждому отношению эквивалентности на множестве соответствует некоторое разбиение множества на классы .

Рассмотрим отношения, которые определяют некоторый порядок расположения элементов множества.

Например, в процессе автоматизированного конструирования требуется вводить множество одних исходных данных раньше или позже, чем множество других. При этом может оказаться, что элементы одного множества больше или меньше элементов другого и так далее. Во всех этих случаях можно расположить элементы множества или группы элементов в некотором порядке (в виде убывающей или возрастающей последовательности), т.е. ввести отношение порядка на множестве .

Различают отношения строгого порядка, для которых применяют символы " ", " ", " ", и отношения нестрогого порядка, где используют символы " ", " ".

Эти отношения характеризуются следующими свойствами:

Для отношения строгого порядка:

• - ложно (антирефлексивность);
• и - взаимоисключаются (несимметричность);
• и - истина (транзитивность).

Для отношения нестрогого порядка:

• - истинно (рефлексивность);
• и - антисимметричность;
• и - транзитивность.

Множество называют упорядоченным, если любые два элемента и этого множества сравнимы, т.е. для них выполняется одно из условий:

Упорядоченное множество называют кортежем. В общем случае, кортеж - это последовательность элементов, т.е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определённое место. Элементы упорядоченного множества называются компонентами кортежа.

Примерами кортежа может служить упорядоченная последовательность чисел арифметической или геометрической прогрессий, последовательность технологических операций при изготовлении какого-либо радиоэлектронного изделия, упорядоченная последовательность установочных позиций печатной платы для закрепления конструктивных элементов.

Во всех этих множествах место каждого элемента вполне определено и не может произвольно изменяться.

При обработке конструкторской информации на ВТ часто применяют отношения доминирования. Говорят, что доминирует над , т.е. , если элемент в чём-либо превосходит (имеет приоритет) элемент того же множества.

Например, под можно понимать один из списков данных, который должен поступить на обработку первым. При анализе нескольких конструкций РЭС какой-либо из них должен быть отдан приоритет, так как эта конструкция обладает, например, лучшими свойствами, чем другие, т.е. конструкция доминирует над конструкцией .

Свойство транзитивности при этом не имеет места. Если, например, конструкцию по каким-либо одним параметрам предпочли конструкции , а конструкцию по каким-либо другим параметрам предпочли конструкции , то отсюда ещё не следует, что конструкции должно быть отдано предпочтение по сравнению с конструкцией .