Многомерный статистический анализ

Контрольные вопросы и задачи

1. Имеются данные за несколько лет о торговом обороте западно-германского предприятия и его расходах на рекламу . Данные представлены в табл.9.4.

   Таблица 9.4. Расходы на рекламу и торговый оборот предприятия

   Годы,	1968	1969	1970	1971	1972	1973	1974	1975
   Расходы на рекламу , тыс. марок	4	4	5	6	8	8	10	11
   Торговый оборот , млн.марок	4	5	6	6	8	10	12	13

   Вычислите линейный коэффициент корреляции между случайными величинами и . С помощью метода наименьших квадратов определите коэффициенты линейной регрессии . Постройте график (заданные точки и прямую ). Найдите доверительные границы для регрессионной зависимости (при доверительной вероятности ). Нанесите доверительные границы на график. Сделайте точечный и интервальный прогноз для торгового оборота при расходах на рекламу, равных 15 тыс. марок ФРГ.

   Аналогичным образом изучите зависимости расходов на рекламу и торгового оборота от времени (за начало отсчета целесообразно взять 1971 год). Какой смысл имеет в этих случаях коэффициент корреляции?
2. Семь школьников выполняют несколько заданий по математике и физике, которые оцениваются баллами 1-5, затем вычисляется средний балл для каждого школьника по каждому предмету: по математике - , по физике - . Данные представлены в табл.9.5. Определите, существует ли корреляция (т.е. связь) между этими оценками, вычислив коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

   Таблица 9.5. Средние баллы по математике и физике

   Школьник	Средний балл по математике	Средний балл по физике
   A	1,8	3,2
   B	3,0	2,8
   C	3,5	4,0
   D	4,0	5,0
   E	5,0	3,6
   F	3,8	2,4
   G	2,0	1,2
3. Исходные данные (табл.9.6) - набор пар чисел , где - независимая переменная (например, время), а - зависимая (например, индекс инфляции). Предполагается, что переменные связаны зависимостью
   
   где и - параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а - погрешности, искажающие зависимость.

   Таблица 9.6. Исходные данные для расчетов по методу наименьших квадратов

   	1	3	4	7	9	10
   	12	20	20	32	35	42

   Методом наименьших квадратов оцените параметры и линейной зависимости. Выпишите восстановленную зависимость.

   Вычислите восстановленные значения зависимой переменной, сравните их с исходными значениями (найдите разности) и проверьте условие точности вычислений (при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных).

   Найдите остаточную сумму квадратов и оцените дисперсию погрешностей.

   Выпишите точечный прогноз, а также верхнюю и нижнюю доверительные границы для него (для доверительной вероятности 0,95).

   Рассчитайте прогнозное значение и доверительные границы для него для момента .

   Как изменятся результаты, если доверительная вероятность будет увеличена? А если она будет уменьшена?
4. Как в методе наименьших квадратов используются преобразования переменных?
5. Как соотносятся задачи группировки и задачи кластер-анализа?
6. В табл.9.7 приведены попарные расстояния между десятью социально-психологическими признаками способных к математике школьников [ [ 9.10 ] ]. Примените к этим данным алгоритмы ближнего соседа, средней связи и дальнего соседа. Для каждого из трех алгоритмов выделите наиболее устойчивые разбиения на кластеры.

   Таблица 9.7. Попарные расстояния между социально-психологическими признаками

   	1	2	3	4	5	6	7	9	10
   2	1028
   3	1028	608
   4	1050	688	610
   5	1012	686	636	634
   6	1006	566	538	616	562
   7	1012	1026	748	692	774	732
   8	960	1088	1144	1122	1120	1130	1110
   9	1026	878	874	830	836	802	904	1040
   10	990	744	674	744	718	580	814	1090	830
7. Расскажите о динамике индекса инфляции в России.

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Примеры практического использования методов многомерного статистического анализа.
2. Для непараметрической модели метода наименьших квадратов в случае линейной функции одной переменной разработайте алгоритмы
   • расчета доверительных границ для коэффициентов модели;
   • проверки гипотез относительно этих коэффициентов.
3. Докажите, что сумма исходных значений зависимой переменной должна быть равна сумме восстановленных значений.
4. Критерии качества регрессионной модели.
5. Использование непараметрических оценок плотности для восстановления зависимости.
6. Теоремы умножения и сложения для индекса инфляции.
7. Экспериментальная работа: соберите данные о ценах и рассчитайте индекс инфляции для своего региона (данные о потребительской корзине ИВСТЭ и ценах на базовый момент времени приведены в [ [ 2.15 ] ]).
8. Учет инфляции при проведении анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия.