Алгоритмы на графах и деревьях

Построение из постфиксной записи

Для простоты предположим, что правильное арифметическое выражение подается в одной строке, без пробелов, а каждый операнд записан одной буквой. Кроме того, снова будем считать, что из записи удалены все скобки.

Алгоритм Postfix

1. Если не достигнут конец строки ввода, прочитать очередной символ,если этот символ - операнд, то занести его в стек^{2См. лекцию 9.},иначе (символ - операция):
   1. создать новый элемент, записать в него эту операцию;
   2. достать из стека два верхних (последних) элемента, присоединить их в качестве левого и правого операндов в новый элемент;
   3. занести полученный "треугольник" в стек.

По окончании работы этого алгоритма в стеке будет содержаться ровно один элемент - указатель на корень построенного дерева.

Реализация

Для того чтобы упростить работу, добавим в структуру элемента дерева (см. рис. 1.12) дополнительное поле next:ukaz, которое будет служить для связки стека:

stek:= nil;
while not eof(f) do
  begin
	new(p);
	read(f,p^.symbol);
	if p^.symbol in ['+','-','*','/']
		then begin
			p^.right:= stek;
			p^.left:= stek^.next;
			p^.next:= stek^.next^.next;
			stek:= p
		end
	else begin	
		p^.left:= nil;
		p^.right:= nil;
		p^.next:= stek;
		stek:= p
    end;
  end;

Обходы деревьев и графов

Прежде чем приступить к изложению алгоритмов обхода, дадим пару необходимых определений.

Обход дерева - это некоторая последовательность посещения всех его вершин.

Обход графа - это обход некоторого его каркаса.

В этом разделе будут представлены только алгоритмы обхода бинарных деревьев. Большинство из них может быть с легкостью изменено для случая произвольного корневого дерева, каковым является и каркас произвольного графа.

Напомним, что структуру бинарного дерева мы описываем следующим образом:

type ukazatel = ^tree;
	tree = record mark:  integer;
     		 left:  ukazatel;
	    	 right: ukazatel;
	       end;

Итак, приступим теперь к изучению различных вариантов обхода деревьев и графов.

Прямой обход

Другие названия

Префиксный обход: результатом прямого обхода^{3Точнее, результатом печати значений, содержащихся в вершинах ДСА.} дерева синтаксического анализа арифметического выражения будет префиксный вариант записи этого выражения.

Обход в глубину "сверху вниз": название имеет смысл лишь в случае стандартного расположения дерева корнем кверху.

Алгоритм PreOrder

1. Начать с корня дерева.
2. Пометить^{4Вместо простой пометки вершины здесь можно производить выполнение любой осмысленной функции.} текущую вершину.
3. Совершить прямой обход левого поддерева.
4. Совершить прямой обход правого поддерева.

Замечание: Этот алгоритм может быть естественным образом распространен и на случай произвольного корневого дерева.

Реализация

procedure preorder(p:ukaz; k:integer);
begin p^.mark:= k;
		if p^.left<>nil then preorder(p^.left,k+1);
		if p^.right<>nil then preorder(p^.right,k+1);
end;

begin
	...
	preorder(root,1);       {Вызов из тела программы}
	...
end.

Рис. 12.2. Последовательность нумерации вершин при прямом обходе дерева