Логические основы

ФАЛ одного аргумента

Чтобы задать ФАЛ, нужно задать ее значения на всех наборах аргументов.

Будем у функции ставить индекс, эквивалентный набору ее значений для соответствующих значений аргумента, начиная с 0,0,....,n,..... и т.д. в порядке возрастания.

Эти функции можно реализовать на 4-х элементах, каждый из которых имеет максимум один вход. Таким образом, принципом подстановки аргументов для построения более сложных функций нельзя воспользоваться.

Необходимо рассмотреть более сложные функции, т.е. ФАЛ 2х аргументов.

Дадим такие определения:

1. ФАЛ, принимающие одинаковые значения на всех наборах аргументов, называются равными.
2. ФАЛ существенно зависит от аргумента Х_i, если

В противном случае она зависит не существенно, а соответствующий аргумент наз. фиктивным.

Например:

Видно, что Х₃ – фиктивный аргумент. Это показывает, что в функцию можно ввести любое число фиктивных аргументов, от которых она существенно не зависит. Этот прием в дальнейшем потребуется для выполнения ряда преобразований.

Все ФАЛ от 2-х аргументов. Сведем их в единую таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

№ функции	Значение функции на наборах логических переменных				Наименование функции	Обозначение функции
X1	0	0	1	1
X2	0	1	0	1
f0(X1,X2)	0	0	0	0	Константа "ноль"	f(X1,X2)=0
f1(X1,X2)	0	0	0	1	Конъюнкция, произведение
f2(X1,X2)	0	0	1	0	Запрет по X2
f3(X1,X2)	0	0	1	1	Переменная X1	f(X1,X2)= X1
f4(X1,X2)	0	1	0	0	Запрет по X1
f5(X1,X2)	0	1	0	1	Переменная X2	f(X1,X2)= X2
f6(X1,X2)	0	1	1	0	Сложение по mod2 (неравнозначность)
f7(X1,X2)	0	1	1	1	Дизъюнкция
f8(X1,X2)	1	0	0	0	Стрелка Пирса
f9(X1,X2)	1	0	0	1	Равнозначность
f10(X1,X2)	1	0	1	0	Инверсия X2	f(X1, X2)=¬X2 f(X1, X2)=X2
f11(X1,X2)	1	0	1	1	Импликация от X2 к X1	f(X1, X2)= X2 -> X1
f12(X1,X2)	1	1	0	0	Инверсия X1	f(X1, X2)=¬X1 f(X1, X2) = X1
f13(X1,X2)	1	1	0	1	Импликация от X1 к X2	f(X1, X2)= X1 -> X2
f14(X1,X2)	1	1	1	0	Штрих Шеффера	f(X1, X2)= X1|X2
f15(X1,X2)	1	1	1	1	Константа "единица"	f(X1, X2)=1

Эти функции введены формально. Однако им можно придавать определенный "логический" смысл. Алгебра логики часто называется исчислением высказываний.

При этом под высказываниями понимается всякое предложение, относительно которого можно утверждать, что оно истинно или ложно.

Например:

В=<один плюс один - два>

есть истинное высказывание.

Рассмотрим, какое смысловое содержание можно вложить в некоторые сложные высказывания на примере ФАЛ 2-х аргументов.

Инверсия

Читается НЕ Х или Х с чертой, отрицание Х.

Возьмем, например, такое высказывание: А=<Киев-столица Франции>, тогда сложное высказывание НЕ А означает: не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>.

Из простых высказываний можно строить более сложные, применяя так называемые связи.

Логические связи – это ФАЛ, аргументами которых являются простые высказывания.