Алгоритмы рекуррентных соотношений

Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами

Для решения рекуррентных соотношений общих правил, вообще говоря, нет. Однако существует весьма часто встречающийся класс соотношений, решаемый единообразным методом. Это - рекуррентные соотношения вида

где - некоторые числа. Такие соотношения называют линейными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффициентами.

Сначала рассмотрим, как решаются такие соотношения при , то есть изучим соотношение вида

Решение этих соотношений основано на следующих двух утверждениях.

1. Если и являются решениями рекуррентного соотношения (8.4), то при любых числах и последовательность также является решением этого соотношения.

   В самом деле, по условию, имеем

   
   

   Умножим эти равенства на и соответственно и сложим полученные тождества. Получим, что

   
   А это означает, что является решением соотношения(8.4).
2. Если является корнем квадратного уравнения
   
   то последовательность
   
   является решением рекуррентного соотношения
   
   В самом деле, если , то и . Подставляя эти значения в соотношение (8.4), получаем равенство
   
   Оно справедливо, так как по условию имеем . Заметим, что наряду с последовательностью любая последовательность вида
   
   также является решением соотношения (8.4). Для доказательства достаточно использовать утверждение (8.4), положив в нем .

Из утверждений 1 и 2 вытекает следующее правило решения линейных рекуррентных соотношений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть дано рекуррентное соотношение

Составим квадратное уравнение которое называется характеристическим для данного соотношения. Если это уравнение имеет два различных корня , то общее решение соотношения (8.5) имеет вид

Чтобы доказать это правило, заметим сначала, что по утверждению 2 являются решениями нашего соотношения. А тогда по утверждению 1 и является его решением. Надо только показать, что любое решение соотношения (8.5) можно записать в этом виде. Но любое решение соотношения второго порядка определяется значениями . Поэтому достаточно показать, что система уравнений

имеет решение при любых . Этими решениями являются (Случай, когда оба корня уравнения (8.6) совпадут друг с другом, разберем в следующем пункте.)

Пример на доказанное правило.

При изучении чисел Фибоначчи мы пришли к рекуррентному соотношению

Для него характеристическое уравнение имеет вид Корнями этого квадратного уравнения являются числа Поэтому общее решение соотношения Фибоначчи имеет вид (Мы воспользовались сделанным выше замечанием и взяли показатели вместо ). Мы называли числами Фибоначчи решения соотношения (8.7), удовлетворяющее начальным условиям ( то есть последовательность .). Часто бывает более удобно добавить к этой последовательности вначале числа 0 и 1, то есть рассматривать последовательность . Ясно, что эта последовательность удовлетворяет тому же самому рекуррентному соотношению (8.6) и начальным условиям . Полагая в формуле (8.8) , получаем для систему уравнений Отсюда находим, что и потому На первый взгляд кажется удивительным, что это выражение при всех натуральных значениях принимает целые значения.