Регулярные языки и конечные автоматы

Задачи

Задача 5.1. Определите конкатенацию для следующих пар языков L₁ и L₂:

• L₁= {a, ab, abb} и ;
• и L₂= { a, b, abb, a} ;
• и ;

Задача 5.2. Пусть L={baa, bab, bba, bbb}. Какой из следующих языков является итерацией L^* этого языка?

• ;
• ;
• ;
• { w | w=bw' и | w| >= 12 }.

Задача 5.3. Докажите правильность регулярного выражения в примере 5.4.

Задача 5.4. Докажите следующие эквивалентности для регулярных выражений.

• p^*(p+q)^* = (p + qp^*)^* = (p+q)^* ;
• p(qp)^* = (pq)^*p ;
• (p^*q^*)^* =(q^*p^*)^* ;
• (pq)⁺(q^*p^* + q^*) = (pq)^*p q⁺p^*.

Задача 5.5. Постройте регулярное выражение, задающее язык язык L в алфавите .

• L= {w | w содержит нечетное число букв 0 и четное число букв 1}} ;
• L= {w | w содержит подслово 001 или подслово 110 } ;
• L= {w | w содержит по крайней мере мере два подряд идущих 0 } ;
• L= {w | w не содержит подслов 011 и 010}.

Задача 5.6. Определите, какой язык представляется следующими регулярными выражениями.

• (0^*1^*)0 ;
• (01^*)0 ;
• (00 +11 +(01 + 10)(00 +11)⁺(01+10))^*.

Задача 5.7. Упростить следующие регулярные выражения.

• (00^*)0 + (00)^* ;
• ;
• .

Задача 5.8. Выше в задаче 14.5 предлагалось построить автомат-распознаватель, который проверяет правильность сложения. Постройте регулярное выражение, задающее распознаваемый этим автоматом язык S, т.е. следующее множество слов в алфавите {0, 1}³

S= {(x₁(1),x₂(1),y(1)) (x₁(2),x₂(2),y(2)) ... (x₁(n),x₂(n),y(n)) | y = y(n) ... y(2)y(1) - это первые n битов суммы двоичных чисел x₁= x₁(n)... x₁(2)x₁(1) и x₂ = x₂(n)... x₂(2)x₂(1)}.

Задача 5.9. Пусть M_r - это автомат, который строится в доказательстве теоремы 5.1 по регулярному выражению r. Докажите, что

• у M_r нет переходов из единственного заключительного состояния q_f ;
• в диаграмме M_r из каждой вершины выходит не более двух ребер;
• число состояний M_r не более чем вдвое превосходит длину выражения r, т.е. |Q| <= 2 |r|.

Задача 5.10. Примените процедуру детерминизации из теоремы 4.2 и постройте ДКА, эквивалентный НКА из примера 5.7.