Здравствуйте! 4 июня я записалась на курс Прикладная статистика. Заплатила за получение сертификата. Изучала лекции, прошла Тест 1. Сегодня вижу, что я вне курса! Почему так произошло? |
Проверка гипотез
Пример 2. Пусть при
и
. Пусть
, т.е. предельное распределение сосредоточено на [1/2; 1]. Пусть распределение
на [0; 1/2) имеет единственный атом в точке
величиной
, а на [1/2; 1] справедливо (10). Тогда по причинам, изложенным при доказательстве теоремы 1,
![\lim_{n\rightarrow\infty}\int\limits_{1/2}^1
f(x)dF_n(x)=\int\limits_{1/2}^1 f(x)dF(x),](/sites/default/files/tex_cache/e7ddc984743e8fe4ef5f78092601b008.png)
![\int\limits_0^{1/2}f(x)dF_n(x)=\sqrt{n},\;
\int\limits_0^{1/2}f(x)dF(x)=0,](/sites/default/files/tex_cache/943dbb0d5c66de6b9593a67761b79fd3.png)
Условие ограниченности подынтегральной функции можно заменить, как это сделано, например, в [13], на условие строгого возрастания функции распределения
.
Лемма. Пусть функции распределения всюду строго возрастает, т.е. из
вытекает
. Пусть функция
интегрируема по Риману-Стилтьесу по
, т.е. выполнено (14). Тогда функция
ограничена.
Доказательство. Рассмотрим точки и два разбиения
![T_1\{[0;y_1),[y_1;y_3)[y_3;y_5),...,[y_{2m-1};1]\},
T_2\{[0;y_2),[y_2;y_4)[y_4;y_6),...,[y_{2m-2};1]\},](/sites/default/files/tex_cache/ce486c07184ee29052319240f5a8760e.png)
Тогда для любых двух точек и
можно указать конечную последовательность точек
такую, что любые две соседние точки
, одновременно принадлежат некоторому элементу
разбиения
или разбиения
, причем
при
. Действительно, пусть
. Пусть для определенности
. Тогда можно положить
. Поскольку среди элементов разбиений
и
есть
, то
. Далее,
, и т.д.
Из указанных выше свойств последовательности следует, что
![|f(x)-f(x')|\le\sum_{i=1}^S|f(x_{i+1})-f(x_i)|\le\sum_{C\in T_1}\delta(f,C)+\sum_{C\in T_2}\delta(f,C).](/sites/default/files/tex_cache/ebf85d58e1c0d0557a1b2ac1e9cb25ad.png)
Пусть теперь число настолько мало, что согласно (14)
![\sum_{C\in T_1}\delta(f,C)F(C)<1,\;
\sum_{C\in T_2}\delta(f,C)F(C)<1.](/sites/default/files/tex_cache/01e55bd16e7f5b84ae9eb90c384a0bef.png)
Тогда согласно двум последним соотношениям
![|f(x)-f(x')|\le 2[\min\{F(C):C\in T_1\cup T_2\}]^{-1},](/sites/default/files/tex_cache/8540aa7d9195b118205851d5580f3115.png)
Доказательство теоремы 2. Пусть условие (14) не выполнено, т.е. существуют число и последовательность разбиений
., такие, что
при
и при всех
![]() |
( 20) |
Для доказательства теоремы построим две последовательности функций распределения и
., для которых выполнено (10), но последовательность
![\delta_n=\int\limits_0^1 f(x)dF_{1n}(x)-\int\limits_0^1 f(x)dF_{2n}(x)](/sites/default/files/tex_cache/f8d2e347cb7b357e5ca6b36bf00fd9ab.png)
![n\rightarrow\infty](/sites/default/files/tex_cache/4f4a010b8b5c78a1170f6e4c5a04285e.png)
![F_{1n}](/sites/default/files/tex_cache/d4e69f2cdefdd80ab245fcade0ce55e7.png)
![F_{2n}](/sites/default/files/tex_cache/3509de2aa81f11bf2665bbe5dd1baf80.png)
Для любого - элемента некоторого разбиения
- можно указать, как вытекает из определения
, точки
и
такие, что
![]() |
( 21) |
Построим и
следующим образом. Пусть
для любого
из
. При этом
имеет в
один атом в точке
величиной
, а
имеет в
также один атом в точке
той же величины
. Другими словами, распределение
в
сосредоточено в одной точке, а именно, в
, а распределение
сосредоточено в
. Тогда
![]() |
( 22) |
Из (20), (21) и (22) следует, что
![\delta_n\ge\frac12 \sum_{C\in T_n}\delta(f,C)F(C)\ge\frac{\gamma}{2}.](/sites/default/files/tex_cache/056e21a11e8e353e2ab2a168db5bbc7e.png)
Остается показать, что для последовательностей функций распределения и
выполнено (10). Пусть
- точка непрерывности
. Пусть
![y_1(x,T)=\max\{y_{kn}:y_{kn}< x\},\;y_2(x,T)=\min\{y_{kn}:y_{kn}> x\},](/sites/default/files/tex_cache/d41641a3147e5c112e0ac1ea7dafc74d.png)
![y_{kn}](/sites/default/files/tex_cache/5a7d75436b8d3dd27dbe2c622164e931.png)
![T_n](/sites/default/files/tex_cache/7caa8af80129e75cf22ee399730348d8.png)
![F_{in}](/sites/default/files/tex_cache/7b6c0334386d92ad0aeae9958be0c146.png)
![F_{in}(y_j(x, T_n))= F(y_j(x, T_n)), i = 1, 2, j = 1, 2,](/sites/default/files/tex_cache/12ac422a55eddee9b9411f67ca2ede75.png)
![|F_{in}(x)-F(x)|\le F(y_2(x,T_n))-F(y_1(x,T_n)), i=1,2.](/sites/default/files/tex_cache/c7ba0d55c77a8eafa33a59ffdd73dd87.png)
В силу условия и непрерывности
в точке
правая часть последнего соотношения стремится к 0 при
, что и заканчивает доказательство теоремы 2.
Теоремы 1 и 2 демонстрируют основные идеи предельной теории статистик интегрального типа и непараметрических критериев в целом. Как показывают эти теоремы, основную роль в рассматриваемой теории играет предельное соотношение (14). Отметим, что если при
, то (14) справедливо, но, вообще говоря, не наоборот. Естественно возникает еще ряд постановок. Пусть (14) выполнено для
и
. При каких функциях
это соотношение выполнено для
? В прикладной статистике вместо
рассматривают
и
, а вместо интегрирования по функциям распределения
- интегрирование по случайным мерам
.
Как меняются формулировки в связи с такой заменой? В связи со слабой сходимостью (т.е. сходимостью по распределению)
к
и переходом от
к
возникает следующая постановка. Пусть
слабо сходится к
при
. Когда распределения
сближаются с распределениями
? Полным ответом на последний вопрос являются необходимые и достаточные условия наследования сходимости. Они приведены в
"Теоретическая база прикладной статистики"
.
Основные результаты. Наиболее общая теорема типа теоремы 1 выглядит так [ [ 4.19 ] ].
Теорема 3. Пусть существует последовательность разбиений ., такая, что при
и
(сходимость по вероятности)
![]() |
( 23) |
Пусть для любого , входящего хотя бы в одно из разбиений
,
![]() |
( 24) |
![\alpha\rightarrow\infty](/sites/default/files/tex_cache/7c44c4fd9ee64f79d37dc97e3ceb3c17.png)
![f_{\alpha}](/sites/default/files/tex_cache/fecf40e6c3d411d4298ef56a09f5055f.png)
![\alpha\rightarrow\infty](/sites/default/files/tex_cache/7c44c4fd9ee64f79d37dc97e3ceb3c17.png)
![]() |
( 25) |
![\alpha\rightarrow\infty](/sites/default/files/tex_cache/7c44c4fd9ee64f79d37dc97e3ceb3c17.png)
Как известно, полное сепарабельное метрическое пространство называется польским. Это понятие понадобится для формулировки аналога теоремы 2.
Теорема 4. Пусть - польское пространство,
конечномерно, существует измельчающаяся последовательность
разбиений, для которой соотношение (23) не выполнено. Тогда существует удовлетворяющая (24) последовательность
, для которой соотношение (25) неверно, хотя
слабо сходится к
при
.
Условие (23) естественно назвать условием римановости, поскольку в случае, рассмотренном в теореме 1, оно является условием интегрируемости по Риману-Стилтьесу. Рассмотрим наследуемость римановости при переходе от со значениями в
и
со значениями в
, удовлетворяющих (23), к
со значениями в
.
Положим
![Y_k(a,\omega)=\{(y,y'):y\in Y_k,y'\in Y_k,||y||_k<a,||y'||<a,||y-y'||<\omega\},k=1,2,](/sites/default/files/tex_cache/9f58f643a5e16498138337f53977a69c.png)
![||\cdot||_k](/sites/default/files/tex_cache/a3bdf06475b53b010966ac440c1fad33.png)
![Y_k, k = 1, 2](/sites/default/files/tex_cache/b40078e7b09c33bc0f98e1c59b6cce94.png)
![A(C,a,\omega)=\{(x,x',y_1,y_1^*,y_2,y_2^*):x,x'\in C,(y_k,y_k^*)\in Y_k(a,\omega),k=1,2\}](/sites/default/files/tex_cache/af4e23edd670d96aeb9560c9e630a81e.png)
![q_{\alpha}(x,x',y_1,y_1^*,y_2,y_2^*)=h_{\alpha}(x,y_1,y_2)-h_{\alpha}(x',y_1^*,y_2^*).](/sites/default/files/tex_cache/573800e3378ebab23feb320fbf6bb46c.png)
Наконец, понадобится измеритель колеблемости
![c(h_{\alpha},T,a,\omega)=\sum_{C\in T}\sup_{A(C,a,\omega)}||q_{\alpha}||_3 F(C)](/sites/default/files/tex_cache/1091aaeea3a42f8bb6154c60f1b95d69.png)
![Z(a)=X\times\{y_1:||y_1||<a\}\times\{y_2:||y_2||<a\}.](/sites/default/files/tex_cache/09fbdef82e10ac81fff174ad43865103.png)
Теорема 5. Пусть асимптотически (при
) ограничены на
при любом положительном
, функции
и
асимптотически ограничены по вероятности и удовлетворяют условию (23). Пусть для участвующей в (23) последовательности
![]() |
( 26) |
![\alpha\rightarrow\infty, n\rightarrow\infty, \omega\rightarrow 0](/sites/default/files/tex_cache/7bbc6acc776df92d216b94c6aa71509f.png)
![a](/sites/default/files/tex_cache/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![f_{3\alpha}(x,\omega) = h\alpha(x, f_{1\alpha}(x,\omega), f_{2\alpha}(x,\omega))](/sites/default/files/tex_cache/e4d21f2fb4e5b8c99835d8eff80a5740.png)
Теорема 6. Пусть условие (26) не выполнено для . Тогда существуют детерминированные ограниченные функции
и
такие, что соотношение (23) выполнено для
и
и не выполнено для
.
Пример 3. Пусть , пространства
и
конечномерны, функция
непрерывна. Тогда условие (26) выполнено.
С помощью теорем 3 и 5 и результатов о наследовании сходимости можно изучить асимптотическое поведение статистик интегрального типа
![\xi_{\alpha}\int\limits_X h_{\alpha}(x,f_{1\alpha}(x,\omega),f_{2\alpha}(x,\omega))F_{\alpha}(dx,\omega)](/sites/default/files/tex_cache/8f5387e884e0317c44993bb348d72899.png)
![Y](/sites/default/files/tex_cache/57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png)
Теорема 7. Пусть для некоторой последовательности разбиений
справедливы соотношения (23) для
и
и (24) для
. Пусть последовательность функций
удовлетворяет условию в теореме 5, конечномерные распределения
слабо сходятся к конечномерным распределениям
, причем для
и
справедливо соотношение (23). Тогда
![\lim_{\alpha\rightarrow\infty}L(\xi_{\alpha},\eta_{\alpha})=0,](/sites/default/files/tex_cache/89e58a921d90a0a97b29fc8d2e3b0e47.png)
![L](/sites/default/files/tex_cache/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png)
![\eta_{\alpha}=\int\limits_X h_{\alpha}(x,f_1,(x,\omega),f_2(x,\omega))F(dx).](/sites/default/files/tex_cache/ff50a209c8c89654f61554d47f5becb1.png)
Теорема 7 дает общий метод получения асимптотических распределений статистик интегрального типа. Важно, что соотношение (23) выполнено для эмпирического процесса и для процессов, связанных с оцениванием параметров при проверке согласия [ [ 4.19 ] ].
Один из выводов общей теории состоит в том, что в качестве можно использовать практически любую состоятельную оценку истинной функции распределения. Этот вывод использовался при построении критерия типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения относительно 0 и обнаружения различий в связанных выборках (
"Статистический анализ числовых величин"
).
Асимптотическое поведение критериев типа Колмогорова может быть получено с помощью описанного выше метода аппроксимации ступенчатыми функциями. Этот метод не требует обращения к теории сходимости вероятностных мер в функциональных пространствах. Для критериев Колмогорова и Смирнова достаточно использовать лишь свойства эмпирического процесса и броуновского моста. В случае проверки согласия добавляется необходимость изучения еще одного случайного процесса. Он является разностью между двумя функциями распределения. Одна - функция распределения элементов выборки. Вторая - случайный член параметрического семейства распределений, полученный путем подстановки оценок параметров вместо их истинных значений.