НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 13: Центральная предельная теорема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Свойство 27.

Если $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} c=\text{const}$ и $\eta_n\Rightarrow\eta$ , то $\xi_n\cdot\eta_n\Rightarrow c\eta$ .
Если $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} c=\text{const}$ и $\eta_n\Rightarrow\eta$ , то $\xi_n+\eta_n\Rightarrow c+\eta$ .

Доказательство. Нелюбознательный читатель может пропустить это доказательство, вернувшись к нему при втором прочтении.

Заметим вначале, что если $\eta_n\Rightarrow\eta$ , то $c\eta_n\Rightarrow c\eta$ и ${c+\eta_n\Rightarrow c+\eta}$ (доказать). Поэтому достаточно доказать первое утверждение свойства 27 при c=1 , а второе утверждение - при c=0 .

Рассмотрим второе утверждение, оставив первое любознательному читателю. Пусть $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}0$ и $\eta_n\Rightarrow\eta$ . Докажем, что тогда $\xi_n+\eta_n\Rightarrow \eta$ .

Пусть x_0 - точка непрерывности функции распределения $F_{\eta}(x)$ . Требуется доказать, что имеет место сходимость $F_{\xi_n+\eta_n}(x_0)$ к $F_{\eta}(x_0)$ . Зафиксируем ${\varepsilon}>0$ такое, что $F_{\eta}(x)$ непрерывна в точках $x_0\pm{\varepsilon}$ .

Cобытия $H_1=\{|\xi_n|\ge {\varepsilon}\}$ и $H_2=\{|\xi_n|<{\varepsilon}\}$ образуют полную группу, поэтому

$F_{\xi_n+\eta_n}(x_0) =\Prob(\xi_n+\eta_n<x_0,\, H_1)+ \Prob(\xi_n+\eta_n<x_0,\, H_2)=P_1+P_2.$

Оценим

сверху и снизу. Для P_1

имеем

$0\le P_1=\Prob(\xi_n+\eta_n<x_0,\, H_1)\le \Prob(H_1)=\Prob(|\xi_n|\ge {\varepsilon}),$

и последняя вероятность может быть выбором

сделана сколь угодно малой. Для P_2

, с одной стороны,

$P_2=\Prob(\xi_n+\eta_n<x_0,\ -{\varepsilon}<\xi_n<{\varepsilon}) \le \Prob(-{\varepsilon}+\eta_n<x_0)= F_{\eta_n}(x_0+{\varepsilon}).$

Выше мы воспользовались тем, что если $-{\varepsilon}<\xi_n$ и $\xi_n+\eta_n<x_0$ , то тем более $-{\varepsilon}+\eta_n<x_0$ . С другой стороны,

$P_2 &=&\Prob(\xi_n+\eta_n<x_0,\, -{\varepsilon}<\xi_n<{\varepsilon}) \ge\Prob({\varepsilon}+\eta_n<x_0,\, -{\varepsilon}<\xi_n<{\varepsilon})\ge \\ &\ge &\Prob({\varepsilon}+\eta_n<x_0)-\Prob(|\xi_n|\ge {\varepsilon})= F_{\eta_n}(x_0-{\varepsilon})-\Prob(|\xi_n|\ge {\varepsilon}).$

Здесь первое неравенство объясняется включением

$\{{\varepsilon}+\eta_n<x_0, \, -{\varepsilon}<\xi_n<{\varepsilon}\} \subseteq \{\xi_n+\eta_n<x_0, \, -{\varepsilon}<\xi_n<{\varepsilon}\},$

которое получилось заменой в событии $\{{\varepsilon}+\eta_n<x_0\}$ числа ${\varepsilon}$ на меньшую величину $\xi_n$ , $\xi_n<{\varepsilon}$ . Второе неравенство следует из свойств:

$\Prob(A\overline B)\le \Prob(\overline B), \text{ поэтому } \Prob(AB)=\Prob(A) -\Prob(A\overline B)\ge \Prob(A) -\Prob(\overline B).$

Мы получили оценки снизу и сверху для P_1+P_2 , т.е. для $F_{\xi_n+\eta_n}(x_0)$ :

$F_{\eta_n}(x_0-{\varepsilon})-\Prob(|\xi_n|\ge {\varepsilon})\le F_{\xi_n+\eta_n}(x_0)\le \Prob(|\xi_n|\ge {\varepsilon})+ F_{\eta_n}(x_0+{\varepsilon}).$

Устремляя

к бесконечности и вспоминая, что $x_0\pm{\varepsilon}$ - точки непрерывности функции распределения $F_\eta$ , получаем

$\begin{equation} F_{\eta}(x_0-{\varepsilon})\le \underline{\lim}\, F_{\xi_n+\eta_n}(x_0)\le \overline{\lim}\, F_{\xi_n+\eta_n}(x_0)\le F_{\eta}(x_0+{\varepsilon}). \end{equation}$

( 24)

У любой функции распределения не более чем счетное множество точек разрыва. Поэтому можно выбрать такую уменьшающуюся до нуля последовательность ${\varepsilon}$ , что в точках $x_0\pm{\varepsilon}$ функция распределения $F_\eta$ будет непрерывной и, следовательно, останутся верны неравенства (24). Переходя к пределу по такой последовательности ${\varepsilon}\to 0$ и помня, что x_0

- точка непрерывности функции $F_\eta$ , получаем, что нижний и верхний пределы $F_{\xi_n+\eta_n}(x_0)$ при $n\to\infty$ совпадают и равны $F_{\eta}(x_0)$ .

В качестве простого следствия из только что доказанного второго утверждения свойства 27 покажем, что сходимость $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi$ по вероятности влечет слабую сходимость $\xi_n\Rightarrow\xi$ .

Представим $\xi_n$ в виде суммы $\xi_n=(\xi_n-\xi)+\xi$ . Здесь последовательность $\xi_n-\xi$ по вероятности стремится к нулю, а "последовательность" $\xi$ слабо сходится к $\xi$ . Поэтому их сумма слабо сходится к $\xi$ , что и требовалось доказать.

Основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Центральная предельная теорема

Вопросы и ответы