НОУ ИНТУИТ | Менеджмент высоких технологий. Лекция 4: Организационно-экономическая система управления материальными запасами промышленных корпоративных систем

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 01.09.2009 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Утверждение 3.Решением задачи оптимизации

$f_1(Q) = \cfrac{\mu g}{Q} + \cfrac{sQ}{2} \to min \\ Q \in \left \{ \cfrac{\mu T}{n} n = 1, 2,\dots \right \}$

является либо $Q _{1}$ , либо $Q _{2}$ .

Действительно, из всех $Q \in \left \{ \cfrac{\mu T}{n} n = 1, 2,\dots \right \}$ часть лежит правее Q_0 , из них наименьшим является $Q _{2}$ , а часть лежит левее Q_0 , из них наибольшим является $Q _{1}$ . Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная функции $f _{1}(Q )$ отрицательна левее Q_0 и положительна правее Q_0 , следовательно, функция средних издержек $f _{1}(Q )$ убывает левее Q_0 и возрастает правее Q_0 . Значит, минимум по $Q \in \left \{ \cfrac{\mu T}{n} n = 1, 2,\dots \right \} \cap (Q : Q \ge Q_0)$ достигается при $Q = Q_{2}$ , а минимум по $Q \in \left \{ \cfrac{\mu T}{n} n = 1, 2,\dots \right \} \cap (Q : Q < Q_0)$ - при Q = Q_1

Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

Найти $Q_{0}$ по формуле квадратного корня (4.2).
Найти из условия (4.3).
Рассчитать $f_{1}(Q)$ по формуле (4.1) для $Q = Q_{1}$ и $Q = Q_{2}$ , где $Q_{1}$ и $Q_{2}$ определены в (4.3).
Наименьшее из двух чисел $f _{1}(Q _{1})$ и $f _{1}(Q_{2})$ - искомый минимум, а то из чисел $Q_{1}$ и $Q_{2}$ , на котором достигается минимум, - решением задачи оптимизации. Обозначим его $Q_{opt}.$

Итак, оптимальный план поставки - это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны $Q_{opt}$ .

Замечание.Если $f _{1}( Q _{1}) = f1(Q_{2})$ , то решение задачи оптимизации состоит из двух точек $Q_{1}$ и $Q_{2}$ . В этом частном случае существует два оптимальных плана.

Пример 1.На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т продукции в день - 50 руб. Плата за доставку одной партии - 980 руб. Горизонт планирования - 10 дней. Найти оптимальный план поставок.

В рассматриваемом случае $\mu =5$ (т/день), s = 50 (руб./тдень), g = 980 (руб./партия), Т = 10 (дней). По формуле (4.2) рассчитываем

$Q_0 = \sqrt{\cfrac{2\mu g}{s}} = \sqrt{\cfrac{2 \cdot 5 \cdot 980}{50}} = \sqrt{196} = 14$

Множество допустимых значений для имеет вид

$\left \{ \cfrac{\mu T}{n} n = 1, 2,\dots \right \} = \left \{50; \cfrac{50}{2}; \cfrac{50}{3}; \cfrac{50}{4}; \dots \right \} = \{50; 25; 16,67; 12,5;\dots \}$

Следовательно, $Q_{1} = 12,5$ и $Q_{2}= 16,67$ . Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе - с тремя. Поскольку

$f_1(Q) = \cfrac{5\cdot 980}{Q} + \cfrac{50Q}{2} = \cfrac{4900}{Q} + 25Q$

то

$f_{1} (Q _{1}) = f _{1}(12,5) = \cfrac{4900}{12,5}+ 25\cdot 12,5 = 392 + 312,5 = 704,5$

и

$f _{1}( Q _{2}) = f _{1}\left ( \cfrac{50}{3}\right ) = \cfrac{4900 \cdot 3}{50} + 25\cdot \cfrac{50}{3} = 294 + 416,67 = 710,67.$

Поскольку $f1(Q1) < f _{1}(Q_{2})$ , то $Q_{opt} = Q_1 = 12,5$ . Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами.

Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с $Q=Q_{0}$ . Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом?

Для плана с $Q = Q_{0}$ интервал между поставками составляет $\cfrac{Q_0}{\mu} = \cfrac{14}{5} = 2,8 \text{ дня}$ . Следовательно, партии придут в моменты $t_{0} = 0$ ; $t _{1} = 2,8$ ; $t_{2} = 5,6$ ; $t_{3} = 8,4$ . Следующая партия должна была бы прийти уже за пределами горизонта планирования Т =10 , в момент $t_{4} = 11,2$ . Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного неполного. К моменту Т =10 пройдет 10 - 8,4 = 1,6 дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено $5 \cdot 1,6 = 8$ т продукции и останется 14 - 8 = 6 т. План с $Q = Q_{0}$ не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования Т =10 .

Подсчитаем общие издержки в плане с $Q = Q_{0}$ . Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна $\cfrac{14\cdot 2,8}{2}= 19,6$ трех треугольников - 58,8 . Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени $t_{3} = 8,4$ и Т = 10 , т. е. величинам и соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна 10 - 8,4 = 1,6 , а потому площадь трапеции есть $\cfrac{(14+ 6)\cdot 1,6}{2}= 16.$ Следовательно, площадь под графиком равна 58,8 + 16 = 74,8 , а плата за хранение составляет $50 \cdot 74,8 = 3740 \text{ руб}$ .

За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты $t_{0} = 0$ ; $t _{1} = 2,8$ ; $t_{2} = 5,6$ ; $t_{3} = 8,4$ ), следовательно, затраты на доставку равны $4 \cdot 980 = 3920$ руб. Общие издержки за 10 дней составляют 3740+3920 = 7660 руб., а средние издержки - 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в 766 / 704,5 = 1,087 раза, т. е. на $8,7 \%$ .

Отметим, что

$f_1(Q_0) = \cfrac{4900}{Q_0} + 25Q_0 = \cfrac{4900}{14} + 25 \cdot 14 = 350 +350 = 700$

т. е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т. e. на $0,64 \%$ . При этом оптимальный размер партии ( 12,5 т) отличается от $Q_{0} = 14$ т на 1,5 т, т. е. $Q_{opt} / Q_{0} = 0,89$ - различие на $11 \%$ . Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции $f _{1}(Q)$ . Это объясняется тем, что в точке $Q_{0}$ функция $f _{1}(Q)$ достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0.

Оба слагаемых в $f _{1}(Q_{0})$ равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

$\cfrac{\mu g}{Q_0} = \cfrac{\mu g}{\sqrt{\cfrac{2\mu g}{s}}} = \sqrt{\cfrac{\mu g s}{2}}; \, \cfrac{sQ_0}{2} = \cfrac{s\sqrt{\cfrac{2\mu g}{s}}}{2} = \sqrt{\cfrac{\mu g s}{2}}$

Таким образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой.

Средние издержки в плане с $Q = Q_{0}$ равны $\sqrt{2\mu gs}$ . Интервал между поставками при этом равен

$\cfrac{Q_0}{\mu} = \cfrac{\sqrt{\cfrac{2\mu g}{s}}}{\mu} = \sqrt{\cfrac{2g}{\mu s}}.$

Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:

$\sqrt{2\mu g s}\cdot \sqrt{\cfrac{2g}{\mu s}} = 2g$

при этом половина (т. е. ) приходится на оплату доставки партии, а половина - на хранение товара.

Асимптотически оптимальный план.Из проведенных рассуждений ясно, что напряженный план с $Q=Q_{0}$ является оптимальным тогда и только тогда, когда горизонт планирования приходится на начало очередного зубца, т. е. для

$T = n \cfrac{Q_0}{\mu} = n \sqrt{\cfrac{2g}{\mu s}}, n = 1, 2, \dots$

( 4.4)

Для всех остальных возможных горизонтов планирования этот план не является оптимальным. Оптимальным будет напряженный план с другим размером поставки. Для дальнейшего весьма существенно, что при изменении горизонта планирования от до $Т_{0}$ оптимальный план меняется на всем интервале $[0; T_{0}]$ .

Как происходит это изменение? При малых горизонтах планирования делается лишь одна поставка (в момент времени t = 0 ), график уровня запаса на складе состоит из одного зубца. При увеличении размер зубца плавно увеличивается. В некоторый момент Т(1) происходит переход от одного зубца к двум. В этот момент оптимальны сразу два плана поставки - с одним зубцом и с двумя. При переходе к планам с двумя зубцами размер зубца скачком уменьшается. При дальнейшем увеличении горизонта планирования оптимальный план описывается графиком с двумя одинаковыми зубцами, размер которых плавно растет. Далее в момент Т(2) становится оптимальным план с тремя зубцами, размер которых в этот момент скачком уменьшается (в компенсацию за увеличение числа скачков). И т. д.

Проблема состоит в том, что в реальной экономической ситуации выбор горизонта планирования весьма субъективен. Возникает вопрос, какой план разумно использовать, если горизонт планирования не известен заранее. Проблема горизонта планирования возникает не только в логистике. Она является общей для любого перспективного планирования, поэтому весьма важна для стратегического менеджмента (см. [14]). Для решения проблемы горизонта планирования необходимо использование конкретной модели принятия решений, в рассматриваемом случае - классической модели управления запасами.

Ответ можно указать, если горизонт планирования является достаточно большим. Оказывается можно использовать план, в котором все размеры поставок равны $Q_{0}$ . Для него уровень запаса на складе описывается функцией $y_{0}(t), 0 \le t \le +\infty$ , состоящей из зубцов высоты $Q_{0}$ . Предлагается пользоваться планом, являющимся сужением этого плана на интервал [0; T) . Другими словами, предлагается на интервале [0; T) использовать начальный отрезок этого плана. Он состоит из некоторого количества треугольных зубцов, а последний участок графика, описываемый трапецией, соответствует тому, что последняя поставка для почти всех горизонтов планирования не будет израсходована до конца. Такой план иногда называют планом Вильсона [11].

Ясно, что этот план не будет оптимальным (для всех , кроме заданных формулой (4.4)). Действительно, план Вильсона можно улучшить, уменьшив объем последней поставки. Однако у него есть то полезное качество, что при изменении горизонта планирования его начальный отрезок не меняется. Действительно, планы поставок для горизонтов планирования $Т_{1}$ и $Т_{2}$ , определенные с помощью функции $y_{0}(t), 0 \le t \le +\infty$ , задающей уровень запасов на складе, совпадают на интервале $[0; min \{Т _{1}, Т_{2}\})$ .

Определение.Асимптотически оптимальным планом называется план поставок - функция $y:[0; +\infty) \to [0; +\infty)$ такая, что

$\lim_{T \to \infty}{\cfrac{f(T; y_{opt}(T))}{f(T;y)}} = 1,$

где $y_{opt}(T)$ - оптимальный план на интервале [0; T) .

В соответствии с определениями и обозначениями, введенными в начале раздела, $f{T; y_{opt}(T))$ - средние издержки за время для плана $y_{opt}(T)$ , определенного на интервале [0; T) , а f(T;y) - средние издержки за время для плана $y:[0; +\infty) \to [0; +\infty)$ .

Теорема 1.План $y = y_{0}$ асимптотически оптимальный.

Таким образом, для достаточно больших горизонтов планирования планы $y_{0}(t)$ , $0 \le _t \le _T$ , все зубцы у которых имеют высоту $Q_{0}$ , имеют издержки, приближающиеся к минимальным. Следовательно, эти планы Вильсона, являющиеся сужениями одной и той же функции $y:[0; +\infty) \to [0; +\infty)$ на интервалы [0; T) при различных , можно использовать одновременно при всех достаточно больших .

Замечание.Согласно [11] решение проблемы горизонта планирования состоит в использовании асимптотически оптимальных планов, которые близки (по издержкам) к оптимальным планам сразу при всех достаточно больших

.

Доказательство.По определению оптимального плана

$\cfrac{f(T;y_{opt}(T))}{f(T;y)}\le 1$

Найдем нижнюю границу для рассматриваемого отношения. При фиксированном можно указать неотрицательное целое число такое, что

$\cfrac{nQ_0}{\mu} \le T \le \cfrac{(n+1)Q_0}{\mu}$

Так как $Tf(T; y_{opt} (T))$ и $\cfrac{nQ_0}{\mu}f \left ( \cfrac{nQ_0}{\mu}; y_{opt}(T )\right )$ - общие издержки на интервалах (0; Т) и $\left (0; \cfrac{nQ_0}{\mu}\right )$ соответственно при использовании оптимального на интервале времени (0; Т) плана, то, очевидно, поскольку второй интервал - часть первого (или совпадает с ним), первые издержки больше вторых, т. е.

$Tf(T; y_{opt} (T)) \ge \cfrac{nQ_0}{\mu}f \left ( \cfrac{nQ_0}{\mu}; y_{opt}(T )\right )$

Далее, т. к. на интервале $(0; nQ_{0}/ \mu )$ , включающем целое число периодов плана $у _{0}$ , оптимальным является начальный отрезок этого плана $у_{0}(nQ_{0} / \mu )$ , то

$\cfrac{nQ_0}{\mu}f \left ( \cfrac{nQ_0}{\mu}; y_{opt}(T )\right ) \ge \cfrac{nQ_0}{\mu}f \left ( \cfrac{nQ_0}{\mu}; y_{0}(T )\right )$

В правой части последнего неравенства стоит $\cfrac{nQ _{0}}{\mu}\sqrt{2\mu gs}$ (здесь использована формула для минимального значения средних издержек f(T; y) при , кратном $nQ_{0}/ \mu$ ). Из проведенных рассуждений вытекает, что

$Tf(T; y_{opt}(T)) \ge \cfrac{nQ _{0}}{\mu}\sqrt{2\mu gs}$

( 4.6)

Для общих издержек на интервалах (0; Т) и $(0; (n + 1)Q_{0} / \mu )$ при использовании плана $у _{0}$ , очевидно, справедливо следующее неравенство

$Tf(T; y_{0}(T)) \le \cfrac{(n+1)Q_0}{\mu} f \left (\cfrac{(n+1)Q_0}{\mu}; y_0(T) \right )$

Следовательно,

$Tf(T; y_{0}(T)) \le \cfrac{(n+1)Q_0}{\mu} \sqrt{2\mu gs}$

( 4.7)

Из неравенств (4.6) и (4.7) вытекает, что

$\cfrac{ f(T;y_{opt}(T))}{f(T;y_0)} \ge \cfrac{n}{n+1} = 1 - \cfrac{1}{n+1} \ge 1 - \cfrac{Q_0}{\mu T}$

Так как $\cfrac{Q_0}{\mu T}\to 0$ при $Т \to \infty,$ то, учитывая неравенство (4.5), из последнего неравенства выводим справедливость заключения теоремы 1. Таким образом, асимптотическая оптимальность плана $у_{0}$ доказана.

При небольшом средние издержки в плане Вильсона могут существенно превышать средние издержки в оптимальном плане. Превышение вызвано скачками функции $f (T; y_{0}(T))$ , связанными с переходами через моменты прихода очередных поставок (и увеличением общих издержек скачком на величину платы за доставку партии). Величину превышения средних издержек в плане Вильсона по сравнению с оптимальными планами можно рассчитать.

Пусть горизонт планирования $T = t_{k} + \varepsilon$ , где $t_{k}$ - момент прихода (k+1) -й поставки в плане Вильсона, $\varepsilon \ge 0$ . Тогда, как можно доказать,

$\lim_{\varepsilon \to \infty}{\cfrac{f(T;y_0(T))}{f(T; y_{opt}(T))}} = \lim_{\varepsilon \to \infty}{\cfrac{f(t_k + \varepsilon;y_0(t_k + \varepsilon))}{f(t_k + \varepsilon; y_{opt}( t_k + \varepsilon))}} = 1 + \cfrac{1}{2k}$

Таким образом, затраты в плане Вильсона минимальные (относительно оптимального плана) при $T = t_{k}, k = 1, 2, \dots ,$ где $t_{k}$ - моменты прихода поставок. Напомним, что план Вильсона является оптимальным при указанных . Однако при , бесконечно близком к $t_{k}$ , но превосходящем $t_{k}$ , затраты увеличиваются по сравнению с затратами в оптимальном плане в $\{1+1 / (2k)\}$ раз. При дальнейшем возрастании отношение издержек (средних или общих) в плане Вильсона к аналогичным издержкам в оптимальном плане постепенно уменьшается, приближаясь к 1 при приближении (снизу) к моменту $t_{k+1}$ прихода следующей поставки. А там - новый скачок, но уже на меньшую величину $\{1+1 / (2k+2)\}$ . И т. д.

Сразу после прихода первой поставки отношение затрат составляет 1,5 (превышение на 50%), после прихода второй - 1,25 (превышение на 25%), третьей - 1,167 (превышение на 16,7%), четвертой - 1,125 (превышение на 12,5%), пятой - 1,1 (превышение на 10%), и т. д. Таким образом, при небольших горизонтах планирования превышение затрат может быть значительным, план Вильсона отнюдь не оптимальный. Но чем больше горизонт планирования, тем отклонение меньше. Уже после сотой поставки оно не превышает 0,5%.

Влияние отклонений от оптимального объема партии.В реальных производственных и управленческих ситуациях часто приходится принимать решения об использовании объемов партии, отличных от оптимальной величины $Q_{0}$ , рассчитанной по формуле квадратного корня (4.2). Например, при ограниченной емкости склада или для обеспечения полной загрузки транспортных средств большой вместимости. Это возможно также в ситуации, когда величина партии измеряется в целых числах (штучный товар) или даже в десятках, дюжинах, упаковках, ящиках, контейнерах и т. д., а величина $Q_{0}$ не удовлетворяет этому требованию и, следовательно, не может быть непосредственно использована в качестве объема поставки.

Поэтому необходимо уметь вычислять возрастание средних издержек при использовании напряженного плана с одинаковыми поставками объема , отличного от $Q_{0}$ , по сравнению со средними издержками в оптимальном плане. Будем сравнивать средние издержки за целое число периодов. Как показано выше, они имеют вид

$f_1(Q) = \cfrac{\mu g}{Q} + \cfrac{sQ}{2}$

где - объем партии. Тогда

$\cfrac{f_1(Q) - f_1(Q_0) }{f_1(Q_0) } = \cfrac{1 }{2 } \left (\cfrac{Q-Q_0 }{Q } \right ) \left (\cfrac{Q-Q_0 }{Q_0} \right )$

( 4.8)

Это тождество нетрудно проверить с помощью простых алгебраических преобразований.

Пример 2.Пусть используется план с $Q = 0,9 Q_{0}$ . Тогда

$\cfrac{f_1(Q) - f_1(Q_0) }{f_1(Q_0) } = \cfrac{1 }{2 } \left (\cfrac{-0,1Q_0 }{0,9Q_0 } \right ) \left (\cfrac{-0,1Q_0 }{Q_0 } \right ) = \cfrac{0,01}{1,8 } = 0,0056$

Таким образом, изменение объема партии на 10% привело к увеличению средних издержек лишь на 0,56%.

Пример 3.Пусть используемое значение объема поставки отличается от оптимального не более чем на 30%. На сколько могут возрасти издержки?

Из формулы (4.8) вытекает, что максимальное возрастание издержек будет в случае $Q = 0,7 \cdot Q_{0}$ . Тогда

$\cfrac{f_1(Q) - f_1(Q_0) }{f_1(Q_0) } = \cfrac{1 }{2 } \left (\cfrac{-0,3Q_0 }{0,7Q_0 } \right ) \left (\cfrac{-0,3Q_0 }{Q_0 } \right ) = \cfrac{0,09}{1,4 } = 0,0643$

Таким образом, издержки могут возрасти самое большее на 6,43%.

Дальше >>

Менеджмент высоких технологий

Организационно-экономическая система управления материальными запасами промышленных корпоративных систем

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Менеджмент высоких технологий

Организационно-экономическая система управления материальными запасами промышленных корпоративных систем

Вопросы и ответы

Студенты