Теория трансверсалей

Доказательство. Очевидно, что словарный ранг не может превосходить числа . Чтобы доказать равенство, можно без потери общности предположить, что все единицы из содержатся в строках и столбцах (где ) и что строки и столбцы расположены в таком порядке, что в нижнем левом углу матрицы А находится -подматрица, полностью состоящая из нулей.

Если , то определим как множество целых чисел , таких, что . Нетрудно проверить, что объединение любых множеств содержит по меньшей мере целых чисел; поэтому семейство имеет трансверсаль. Отсюда следует, что подматрица из содержит множество из единиц, никакие две из которых не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Аналогично, матрица содержит множество из единиц, обладающих тем же свойством. Таким образом, матрица содержит множество из единиц, никакие две из которых не принадлежат одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Тем самым показано, что не превосходит словарного ранга.

Мы только что доказали теорему Кенига-Эгервари с помощью теоремы Холла, а доказательство теоремы Холла с помощью теоремы Кенига-Эгервари и того проще. Следовательно, эти две теоремы в некотором смысле эквивалентны. В лекции 17 мы докажем теорему о максимальном потоке и минимальном разрезе, которая тоже эквивалентна теореме Холла.

Общие трансверсали. Если — непустое конечное множество, а и — два семейства его непустых подмножеств, то интересно знать, когда существует общая трансверсаль для и , то есть множество, состоящее из различных элементов множества и являющееся трансверсалью и для , и для .

Сформулируем необходимое и достаточное условие для того, чтобы два семейства и имели общую трансверсаль; заметим, что эта теорема сводится к теореме Холла, если положить для .

Теорема Пусть — непустое конечное множество, а и — два семейства его непустых подмножеств. Тогда и имеют общую трансверсаль в том и только в том случае, если для всех подмножеств и множества

Набросок доказательства. Рассмотрим семейство подмножеств множества (считаем, что и не пересекаются), где множеством индексов также является и где , если , и , если .Нетрудно проверить, что и имеют общую трансверсаль тогда и только тогда, если семейство имеет трансверсаль. Применяя затем теорему Холла к семейству , получим нужный результат.

Условия, при которых существует общая трансверсаль для трех семейств непустых подмножеств некоторого множества, пока что не известны, и задача нахождения таких условий кажется очень трудной. Многие попытки решения этой задачи используют теорию матроидов; и действительно, некоторые задачи теории трансверсалей становятся почти тривиальными, если рассматривать их с точки зрения теории матроидов.