Паросочетания и свадьбы

Поразительно, что это очевидное необходимое условие является в то же время и достаточным. В этом и состоит теорема Холла о свадьбах ; ввиду ее важности мы приведем три доказательства. Первое из них принадлежит Халмошу и Вогену.

Теорема (Ф. Холл, 1935) Решение задачи о свадьбах существует тогда и только тогда, если любые юношей из данного множества знакомы в совокупности по меньшей мере с девушками .

Доказательство Как было отмечено выше, необходимость условия очевидна. Для доказательства достаточности воспользуемся индукцией и допустим, что утверждение справедливо, если число юношей меньше . (Ясно, что при теорема верна.) Предположим теперь, что число юношей равно , и рассмотрим два возможных случая.

(i) Сначала будем считать, что любые юношей ) в совокупности знакомы по меньшей мере с девушками (т.e. что наше условие всегда выполняется "с одной лишней девушкой"). Тогда, если взять любого юношу и женить его на любой знакомой ему девушке, для других юношей останется верным первоначальное условие. По предположению индукции мы можем женить этих юношей; тем самым доказательство в первом случае завершено.

(ii) Предположим теперь, что имеются юношей , которые в совокупности знакомы ровно с девушками. По индуктивному предположению этих юношей можно женить. Остаются еще юношей, но любые из них должны быть знакомы, по меньшей мере, с девушками из оставшихся, поскольку в противном случае эти юношей вместе с уже выбранными юношами будут знакомы меньше, чем с девушками, а это противоречит нашему предположению. Следовательно, для этих юношей выполнено первоначальное условие, и по предположению индукции мы можем их женить так, чтобы каждый был счастлив. Доказательство теоремы закончено.

Теорему Холла можно также сформулировать на языке паросочетаний в двудольном графе; число элементов множества обозначается через .

Следствие Пусть — двудольный граф, и для любого подмножества множества пусть — множество тех вершин из , которые смежны, по крайней мере, с одной вершиной из . Тогда совершенное паросочетание из в существует в том и только в том случае, если для каждого подмножества из .

Доказательство Доказательство этого следствия является просто переводом изложенного выше доказательства на языке теории графов.