Гамильтоновы графы

Пример.

Такие графы называют "тэта графами", поскольку они похожи на греческую букву ("тета"). По рисунку видно, что в таком графе не удается выделить простой цикл, содержащий все вершины.

Выведем еще два достаточных признака гамильтоновых графов.

Рассмотрим граф с вершинами. Пронумеруем их произвольным образом и выпишем их последовательность:

( 5.1)

При этом может случиться, что некоторые две соседние вершины, например, и , не связаны ребром. Будем говорить, что в данной последовательности имеется "разрыв" между вершинами и .

Очевидно, в последовательности не возникнут другие разрывы, если ее записать в обратном порядке, а именно: , .

Пусть для определенности разрыв в последовательности (5.1) имеет место между вершинами и . Положим теперь, что — вершина графа , связанная ребром с . Число таких вершин равно

Пытаясь ликвидировать разрыв в последовательности (5.1) между и , запишем ее в измененном порядке:

( 5.2)

При этом число разрывов уменьшится на единицу в том случае, если между вершинами и не возникнет новый разрыв.

Вершину среди вершин, не совпадающих с , можно всегда найти, так, чтобы между и не возник новый разрыв, если справедливо неравенство

(справа в этом неравенстве читаем число разрывов, которые могут произойти при всевозможных перестановках последовательности (5.1)).

Но вершины и были выбраны произвольно; можно было рассмотреть разрыв между другими соседними вершинами и в последовательности (5.1), можно было даже выбрать вершины и графа , не стоящие рядом в последовательности (5.1). Лишь бы соблюдалось неравенство

( 5.3)

Заметим, что неравенство (5.3) симметрично относительно и . Его можно записать в виде

( 5.4)

И тогда в последовательности (5.1) удастся ликвидировать все разрывы. А это означает, что в графе найдется гамильтонов путь.

Покажем, что если для любой пары вершин и графа с вершинами справедливо неравенство

( 5.5)

то граф обладает гамильтоновым циклом. Это один из достаточных признаков того, что данный граф является гамильтоновым.

Рассмотрим гамильтонов путь, связывающий вершины и графа .

Пример.

Пусть — одна из вершин графа , связанная ребром с вершиной . Тогда в силу неравенства (5.5), хотя бы для одной из таких вершин найдется в гамильтоновом пути смежная с ней вершина , такая, которая связана ребром с .

Добавляя к гамильтонову пути ребра и выбрасывая из него ребро , получаем гамильтонов цикл, что и требовалось.

Теперь, как следствие, получаем еще один достаточный признак того, что данный граф является гамильтоновым.

Формулируется этот признак так:

Граф с вершинами имеет гамильтонов цикл, если для произвольной его вершины

( 5.6)

Хотя этот признак проще, чем предыдущий (при его использовании приходится меньше считать), он позволяет распознать более узкий класс гамильтоновых графов.

Проведенное доказательство справедливости достаточных признаков гамильтоновых графов было косвенным — мы не строили для данного произвольного графа, удовлетворяющего неравенству (5.5) или неравенству (5.6), гамильтоновых циклов.