НОУ ИНТУИТ | Математика криптографии и теория шифрования. Лекция 3: Сравнения и матрицы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 19.01.2010 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 71 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

3.3. Рекомендованная литература

Для более детального изучения положений, обсужденных в этой лекции, мы рекомендуем нижеследующие книги и сайты. Пункты, указанные в скобках, показаны в списке ссылок в конце книги.

Книги

Несколько книг дают простой, но полный охват теории чисел: [Ros06], [Sch99], [Cou99] и [BW00]. Матрицы обсуждаются в любой книге по линейной алгебре: [LEF04], [DF04] и [Dur05] — это хорошие книги для начинающих.

Сайты

Нижеследующие сайты дают больше информации о темах, рассмотренных в этой лекции.

3.4. Итоги

Множество целых чисел, обозначаемое Z, содержит все целые числа от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Для целых чисел определены три общих бинарных операции — сложение, вычитание и умножение. Деление не удовлетворяет определению бинарности, потому что требует два выхода вместо одного.
В арифметике целых чисел, если мы делим a на n, мы можем получить q и r. Отношение между этими четырьмя целыми числами можно показать как $q \times n + r$ . Мы говорим a|n, если $a = q \times n$ . В этой лекции мы рассмотрели четыре свойства теории делимости.
Два положительных целых числа могут иметь больше чем один общий делитель. Но мы обычно интересуемся наибольшим общим делителем. Алгоритм Евклида дает эффективный и систематический алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Расширенный алгоритм Эвклида может вычислить НОД (a, b) и вычислить значение s и t, которые удовлетворяют уравнению as + bt = НОД (a, b). Линейное диофантово уравнение двух переменных: ax + by = c. Оно имеет частное и общие решения.
В модульной арифметике мы интересуемся только остатками; мы хотим знать значение r, когда мы делим a на n. Мы используем новый оператор, названный модулем (mod), такой, что a mod n = r. Здесь n называется модулем, а r называется вычетом.
Результат операции по модулю n — всегда целое число от 0 и до n-1. Мы можем сказать, что операция по модулю n создает набор, который в модульной арифметике называется множеством наименьших вычетов по модулю n, или Z_n.
Отображение из Z в Z_n не совпадают один в один. Определенные элементы Z могут быть отображены в элемент Z_n. В модульной арифметике все целые числа в Z, отображаемые в Z_n, называются сравнениями по модулю. Для обозначения этой операции применяется оператор сравнения ( $\equiv$ ).
Система вычетов [a] — множество целых чисел, сравнимых по модулю n. Это множество всех целых чисел x = a (mod n).
Три бинарных операции (сложение, вычитание и умножение), определенные для множества Z, могут быть также определены для множества Z_n. При необходимости результат может быть отражен в Z_n при помощи операции mod.
В этой лекции для модульных операторов были определены несколько свойств.
В Z_n два числа a и b — аддитивные инверсии по отношению друг к другу, если $a + b \equiv 0(\bmod n)$ . Они — мультипликативные инверсии по отношению друг к другу, если $a \times b \equiv 1(\bmod n)$ . Целое число a имеет мультипликативную инверсию в Z_n тогда и только тогда, когда НОД (n, a) = 1 ( a и n — взаимно простые числа).
Расширенный алгоритм Евклида находит мультипликативные инверсии b в Z_n, когда даны n и b и НОД (n, b) = 1. Мультипликативная инверсия b — это значение t при соответствующем отображении в Z_n.
Матрица — прямоугольный массив $l \times m$ . элементы, где l является номером строки, а m — номер столбца. Мы обозначаем матрицу заглавной буквой и жирным шрифтом, например, A. Элемент a_ij расположен в i -той строке и j -том столбце.
Две матрицы равны, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элементы равны.
Сложение и вычитание можно делать только для матриц равного размера. Мы можем умножить друг на друга две матрицы различных размеров, если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. В матрицах вычетов все элементы берутся из Z_n.
Все операции на матрицах вычетов проводятся в модульной арифметике.
Матрица вычета имеет инверсию, если детерминант матрицы имеет инверсию.
Уравнение $ax \equiv b(\bmod n)$ не может иметь решения или ограниченное число решений. Если НОД (a,n)|b, то имеется ограниченное число решений.
Система линейных уравнений с тем же самым модулем может быть решена, если матрица, сформированная из коэффициентов уравнений, имеет инверсию.

3.5. Набор для практики

Обзорные вопросы

Покажите различие между Z и Z_n. Какое из этих множеств может содержать отрицательные целые числа? Как мы можем отобразить целое число в Z в целое число в Z_n?
Перечислите четыре свойства теории делимости, обсужденной в этой лекции. Приведите пример целого числа с единственным делителем. Приведите пример целого числа только с двумя делителями. Приведите пример целого числа с более чем двумя делителями.
Определите наибольший общий делитель двух целых чисел. Какой алгоритм может эффективно найти наибольший общий делитель?
Что такое линейное диофантово уравнение двух переменных? Сколько решений может иметь такое уравнение? Как может быть найдено решение(я)?
Что такое оператор по модулю и какие у него имеются приложения? Перечислите все свойства, которые мы упоминали в этой лекции для операций по модулю.
Определите сравнение и сопоставьте его свойства со свойствами равенства.
Определите систему вычетов и наименьший вычет.
Какова разница между множеством Z_n и множеством Z_n*? В каком множестве каждый элемент имеет аддитивную инверсию? В каком множестве каждый элемент имеет мультипликативную инверсию? Какой алгоритм используется, чтобы найти мультипликативную инверсию целого числа в Z_n?
Дайте определение матрицы. Что такое матрица-строка? Что такое матрица-столбец? Что такое квадратная матрица? Какая матрица имеет детерминант? Какая матрица может иметь инверсию?
Определите линейное сравнение. Какой алгоритм может использоваться, чтобы решить уравнение $ax \equiv b(\bmod n)$ ? Как мы можем решить набор линейных уравнений?

Упражнения

Какие из следующих отношений являются истинными, а какие — ложными?
```
5|26	3|123	27†127 	 15†21	 23|96	  8|5
```
Используя алгоритм Эвклида, найдите наибольший общий делитель следующих пар целых чисел:
- 88 и 220
- 300 и 42
- 24 и 320
- 401 и 700
Решите следующие примеры:
- Дано НОД (a, b) = 24, найдите НОД (a, b, 16)
- Дано НОД (a, b, c) = 12, найдите НОД (a, b, c, 16)
- Найдите НОД (200, 180, и 450)
- Найдите НОД (200, 180 450 610)
Предположим, что n — неотрицательное целое число.
- Найдите НОД (2n + 1, n)
- Используя результат части а, найдите НОД (201, 100), НОД (81, 40) и НОД (501, 250)
Предположим, что n — неотрицательное целое число.
- Найдите НОД (3 n + 1,2n +1).
- Используя результат части а, найдите НОД (301, 201) и НОД (121, 81)
Используя расширенный алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель следующих пар и значения s и t:
- 4 и 7
- 291 и 42
- 84 и 320
- 400 и 60
Найдите результаты следующих операций:
- 22 mod 7
- 140 mod 10
- -78 mod 13
- 0 mod 15
Выполните следующие операции, сначала используя следующее сокращение:
- (273 + 147) mod 10
- (4223 + 17323) mod 10
- (148 + 14432) mod 12
- (2467+461) mod 12
Выполните следующие операции, сначала используя следующее сокращение:
- $(125 \times 45)\bmod 10$
- $(424 \times 32)\bmod 10$
- $(144 \times 34)\bmod 12$
- $(221 \times 23)\bmod 22$
Используя свойства оператора mod, докажите следующее:
- Остаток от любого целого числа, когда оно делится на 10, — самая правая цифра
- Остаток от любого целого числа, когда оно делится на 100, — целое число, составленное из двух самых правых цифр
- Остаток от любого целого числа, когда оно делится на 1000, — целое число, составленное из трех самых правых цифр
Из арифметики известно, что остаток от целого числа при делении на 5 — такой же, что и остаток от деления самой правой цифры на 5. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.
Из арифметики известно, что остаток от целого числа при делении на 2 — такой же, что и остаток от деления самой правой цифры на 2. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.
Из арифметики известно, что остаток от целого числа при делении на 4 — такой же, что и остаток от деления двух самых правых цифр на 4. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.
Из арифметики известно, что остаток от целого числа при делении на 8 — такой же, что и остаток от деления самых правых трех цифр на 8. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.
Из арифметики известно, что остаток от целого числа при делении на 9 — такой же, как и остаток от деления суммы его десятичных цифр на 9. Другими словами, остаток от деления 6371 на 9 — такой же, как при делении 17 на 9, потому что 6 + 3 + 7 + 1 = 17. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.
Следующие упражнения показывают остатки от степени 10 при делении на 7. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней.
10⁰ mod 7 = 1 10¹ mod 7 = 3 10² mod 7 = 2

10³ mod 7 = 1 10⁴ mod 7 = –3 10⁵ mod 7 = –2

Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от деления целого числа на 7. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
Следующие упражнения показывают остатки от деления степеней 10 на 11. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней
10² mod 11 = 1 10¹ mod 11 = –1 10² mod 11 = 1 10³ mod 11 = –1

Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от деления целого числа на 11. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
Следующие упражнения показывают остатки от деления степеней 10 на 13. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней.
10² mod 13 = 1 10¹ mod 13 = –3 10² mod 13 = –4

10³ mod 3 = –1 10⁴ mod 13 = 3 10⁵ mod 13 = 4

Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от целого числа при делении на 13. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
Назначим числовые значения для заглавных букв латинского алфавита ( A = 0, B = 1... Z = 25 ). Мы можем создать модульную арифметику, используя модуль 26.
- Что является (A + N) mod 26 в этой системе?
- Чему равно (A + 6) mod 26 в этой системе?
- Чему равно (Y – 5) mod 26 в этой системе?
- Чему равно (C – 10) mod 26 в этой системе?
Перечислите все пары аддитивной инверсии по модулю 20.
Перечислите все мультипликативные обратные пары по модулю 20.
Найдите мультипликативную инверсию каждого из следующих целых чисел в Z₁₈₀, используя расширенный алгоритм Евклида.
- 38
- 7
- 132
- 24
Найдите частное и общие решения следующих линейных диофантовых уравнений:
- 25x + 10y = 15
- 19x + 13y = 20
- 14x + 21y = 77
- 40x +16y = 88
Покажите, что нет ни одного решения следующих линейных диофантовых уравнений:
- 15x + 12y = 13
- 18x + 30y = 20
- 15x + 25y = 69
- 40x +30y = 98
Почтовое отделение продает марки только за 15 центов и за 39 центов. Найдите число марок, которые должен купить клиент, чтобы оплатить пересылку пакета стоимостью 2,70$. Найдите несколько решений.
Найдите все решения каждого из следующих линейных уравнений:
- $3x \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)$
- $4x \equiv 4\left( {\bmod 6} \right)$
- $9x \equiv 12\left( {\bmod 7} \right)$
- $256x \equiv 442\left( {\bmod 60} \right)$
Найдите все решения каждого из следующих линейных уравнений:
- $3x+5 \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)$
- $4x+6 \equiv 4\left( {\bmod 6} \right)$
- $9x+4 \equiv 12\left( {\bmod 7} \right)$
- $232x+42 \equiv 248\left( {\bmod 50} \right)$
Найдите $(A \times B)\bmod 16$ , используя матрицы на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Матрицы для упражнения 28
На рисунке 3.12 найдите детерминант и мультипликативную инверсию для каждой матрицы вычетов в множестве Z₁₀.

Рис. 3.12. Матрицы для упражнения 29
Найдите все решения для следующих систем линейных уравнений:
- $3x+5y \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)$ и $2x+y \equiv 3\left( {\bmod 5} \right)$
- $3x+2y \equiv 5\left( {\bmod 7} \right)$ и $4x+6y \equiv 4\left( {\bmod 7} \right)$
- $7x+3y \equiv 3\left( {\bmod 7} \right)$ и $4x+2y \equiv 5\left( {\bmod 7} \right)$
- $2x+5y \equiv 5\left( {\bmod 8} \right)$ и $x+6y \equiv 3\left( {\bmod 8} \right)$