НОУ ИНТУИТ | Введение в математику. Лекция 11: Элементы линейной алгебры

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.04.2007 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Кабардино-Балкарский государственный университет

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x₁, x₂,..., x_n называют совокупность уравнений (каждое из которых может содержать от 1 до n неизвестных):

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +\dotsc+ a_{1n}x_n =b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +\dotsc+ a_{2n}x_n =b_2 \\ \hdotsfor{1} \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +\dotsc+ a_{mn}x_n =b_m \\ \end{cases}$

Числа a_ij (i=1, 2,..., m; j=1, 2,...,n) называются коэффициентами системы , а числа b_i (i = 1, 2,., m) - свободными членами .

Решением системы называется совокупность чисел x₁, x₂,..., x_n, которые обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство (тождество).

Система называется совместной, если существует хотя бы одно решение, а в противном случае, - несовместной . Если система имеет только одно решение, то она называется определенной, разрешимой единственным образом . Если имеется два и более решений, то система называется неопределенной .

Рассмотрим три матрицы вида

$A= \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dotsc & a_{2n} \\ \hdotsfor{4} \\ a_{m1} & a_{m2} & \dotsc & a_{mn} \end{Vmatrix}, \quad X = \begin{Vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dotsc \\ x_n \end{Vmatrix} , \quad B= \begin{Vmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \dotsc \\ b _n \end{Vmatrix} .$

С помощью этих матриц систему уравнений можно записать в виде: AX=B. Это равенство проверяется непосредственно, используя правило перемножения матриц и условие равенства двух матриц. Такое равенство называется матричной записью системы уравнений.

Если $B\equiv 0$ , то система называется однородной . Всякая однородная система совместна, так нулевой вектор X=0 всегда удовлетворяет соответствующему матричному уравнению.

Если m=n (то есть A - квадратная матрица $(n\times n)$ ), то система называется системой из n уравнений с n неизвестными или системой порядка n. В этом случае можно говорить об определителе $\det (A)$ , который именуется определителем системы.

Рассмотрим эту систему отдельно:

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +\dotsc+ a_{1n}x_n =b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +\dotsc+ a_{2n}x_n =b_2 \\ \hdotsfor{1} \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\dotsc+ a_{nn}x_n =b_n \\ \end{cases}$

Из множества существующих методов решения систем уравнений мы рассмотрим два метода - метод Крамера и метод Гаусса.

Теорема(Крамера). Если $\det (A)$ системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам (Крамера):

$x_1 = \frac {\det (A_1)}{\det (A)}, \quad x_2 = \frac {\det (A_2)}{\det (A)}, \quad \dotsc, \quad x_n = \frac {\det (A_n)}{\det (A)},$

где A_k, k=1, 2,..., n - матрица, получаемая из матрицы A заменой элементов k -го столбца столбцом свободных членов, матрицей-столбцом B:

$A_k = \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1,k-1} & b_1 & a_{1,k+1} & \dotsc & a_{1n} \cr \hdotsfor{8} \cr a_{n1} & a_{n2} & \dotsc & a_{n,k-1} & b_n & a_{n,k+1} & \dotsc & a_{nn} \end{Vmatrix} .$

Метод Гаусса является одним из самых простых и самых старых. Этот метод реализуется так называемой вычислительной схемой (алгоритмом) единственного деления (или схемой с выбором ведущего элемента). Мы рассмотрим теперь систему общего вида.

Решим этим методом (шагами, этапами схемы) систему

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +\dotsc+ a_{1n}x_n =b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +\dotsc+ a_{2n}x_n =b_2 \\ \hdotsfor{1} \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\dotsc+ a_{nn}x_n =b_n \\ \end{cases}$

1-ый шаг. Пусть (для простоты рассуждений) $a_{11}\ne 0$ . Если это не так, то меняем местами уравнения, чтобы было выполнено это условие. Разделив первое уравнение на $a_{11}\ne 0$ , получим:

$x_1 + a_{12}^{(1)} x_2 +a_{13}^{(1)} x_3 + \dotsc + a_{1n}^{(1)} x_n =b_1^{(1)}, \quad a_{1i}^{(1)} = \frac {a_{1i}}{a_{11}} , \quad b_1^{(1)} = \frac {b_1}{a_{11}}.$

Умножая это уравнение поочередно на a₂₁, a₃₁, ..., a_n1 и вычитая полученные после этого уравнения поочередно из 2 -го, 3 -го, ..., n -го уравнений исходной системы, получим эквивалентную ей систему вида

$\left. \begin{matrix} x+a_{12}^{(1)} x_2 +a_{13}^{(1)}x_3 + \dotsc + a_{1n}^{(1)}x_n = b_1^{(1)} \hfill \null\\ a_{22}^{(1)} x_2+a_{23}^{(1)}x_3 + \dotsc + a_{2n}^{(1)}x_n = b_2^{(1)} \hfill\null \\ \hdotsfor{1} \\ a_{n2}^{(1)} x_2+a_{n3}^{(1)}x_3 + \dotsc + a_{nn}^{(1)}x_n = b_n^{(1)} \hfill \null\\ \end{matrix} \right \}$

где $a^{(1)}_{ij}=a_{ij}-a_{1j}^{(1)}a_{i1}$ , при j, $j\ge 2$ ; $b_i^{(1)}=b_i-a_{i1}b^{(1)}_1$ , $i\ge 2$ . К последнему (n-1) -му уравнению системы снова применим указанные выше действия.

2-ой шаг. Пусть $a_{22}^{(1)}\ne 0$ . Делим второе уравнение системы, полученной из исходной на предыдущем этапе, на $a_{22}^{(1)}$ ; умножаем полученное уравнение соответственно на $a_{32}^{(1)}$ , $a_{42}^{(1)}$ , ..., $a_{n2}^{(1)}$ и вычитаем из 3-го, 4-го, ..., n -го уравнений; в результате второго этапа получим следующую систему:

$\left. \begin{matrix} {x_1 + a_{12}^{(1)} x_2+ a_{13}^{(1)} x_3 +\dotsc + a_{1n}^{(1)}x_n = b_1^{(1)} } \hfill\null\\ {x_2 + a_{23}^{(2)} x_3 + \dotsc + a_{2n}^{(2)}x_n = b_2^{(2)} } \hfill\null\\ \hdotsfor{1} \\ {a_{n3}^{(2)}x_3 + \dotsc + a_{nn}^{(2)}x_n = b_n^{(2)}} \hfill\null \\ \end{matrix} \right \}$

где $a_{ij}^{(2)}=a_{ij}^{(1)}-a^{(2)}_{2j}a_{i2}^{(1)}$ , $b_i^{(2)}=b_i^{(1)} - b_2^{(2)}a_{i2}^{(1)}$ , $j,i\ge 3$ .

n-й шаг. В результате выполнения n шагов получим систему вида

$\left. \begin{matrix} x_1 + a_{12}^{(1)}x_2 + a_{13}^{(1)}x_3 + \dotsc + a_{1n}^{(1)}x_n = b_1^{(1)} \hfill\null\\ x_2 + a_{23}^{(2)}x_3 + \dotsc + a_{2n}^{(2)}x_n = b_2^{(2)} \hfill\null\\ \hdotsfor{1} \\ x_{n-1} +a _{n-1,n}^{(n-1)} x_n = b_{n-1} ^{(n-1)} \hfill\null\\ x_n = b_n^{(n)} \hfill\null \end{matrix} \right \}$

Проделанная совокупность n шагов называется прямым ходом метода Гаусса . Решение системы находится с помощью обратного хода метода Гаусса, который состоит в следующем.

Из последнего уравнения находим x_n, затем подставляем это значение в предпоследнее уравнение и находим x_n-1, затем оба x_n и x_n-1 подставляем в (n-2) -е уравнение и находим x_n-2 и т.д., пока не найдем из 1 -го уравнения последнее неизвестное x_1.

Под пространством мы до сих пор понимали реально существующее пространство трех измерений: ширины, длины и высоты. Результатом такого процесса абстрагирования от конкретной сущности 1, 2, 3-мерных пространств явилось понятие n -мерного пространства (пространства размерности n, n>3 ). Это есть результат обобщения геометрического пространства. Могут быть рассмотрены различные типы абстрактных многомерных (размерности $n\in N$ ) и даже бесконечномерных пространств.

Множество E назовем линейным пространством, а его элементы - векторами этого пространства, если:

для любых двух элементов $x, y\in E$ определяется элемент, называемый их суммой и обозначаемый x+y ;
для каждого элемента $x\in E$ и любого числа $\lambda \in R$ можно определить элемент из E, называемый произведением $\lambda$ на x и обозначаемый как $\lambda x$ ;
для любых элементов и любых чисел выполнены следующие аксиомы:
1. x+y=y+x ;
2. (x+y)+z=x+(y+z) ;
3. $\forall {\lambda\in R}$ , $\forall x,y\in E$ : $\lambda (x+y)= \lambda x+\lambda y$ ;
4. $\forall {\lambda_1,\lambda_2\in R}$ , $\forall {x\in E}$ : $(\lambda_1+\lambda_2)x=\lambda_1x+\lambda_2x$ ;
5. $\forall \lambda _1,\lambda _2\in R$ , $\forall x\in E$ : $\lambda _1(\lambda _2x)=(\lambda _1\lambda _2)x$ ;
6. существует нулевой элемент (обозначаемый как 0 ) пространства: $\forall x\in E$ , x+0=x ;
7. $\forall x\in E$ существует противоположный ему элемент (обозначаемый как -x ) такой, что x+(-x)=0 ;
8. существует единичный элемент (обозначаемый как 1 ): $\forall x\in E$ , $x\cdot 1=x$ .

Множество всех упорядоченных наборов из n чисел $\smu{2} x=(x_1,x_2,..., x_n)$ для которых определены операции сложения и умножения этих наборов и умножения набора на число по законам, приведенным выше, называется n -мерным арифметическим пространством . Число n - размерность пространства, элемент x=(x₁, x₂,..., x_n) - вектор пространства, а числа x_i - координаты вектора x .

Обозначают n -мерное векторное пространство через Rⁿ.

Линейное пространство называют евклидовым, если в нем определено скалярное произведение, удовлетворяющее свойствам скалярного произведения векторов (см. выше).

Обозначают евклидово пространство размерности n через Eⁿ.

Пространство X называется метрическим (метризуемым), если в этом пространстве можно определить некоторым образом метрику $\rho (x,y)$ любых двух элементов или аналог расстояния между элементами x, y , причем вводимое расстояние должно удовлетворять аксиомам метрики (расстояния):

$\rho (x,y)\ge 0$ , $\rho (x,y)=0 \iff x=y$ (аксиома неотрицательности);
$\rho (x,y)=\rho (y,x)$ (асксиома симметрии);
$\rho (x+y,z) \le \rho (x,z)+\rho (y,z)$ (аксиома треугольника).

Нормой вектора x=(x₁, x₂,..., x_n) в евклидовом пространстве называется неотрицательный скаляр (число)

$\|x\| = \sqrt{(x,x)} = \sqrt{x^2_1+x^2_2+\dotsc+x^2_n}.$

"Норма" вектора является обобщением понятия "длина" геометрического вектора и удовлетворяет следующим законам:

$\|x\|\ge 0$ , $\forall x$ , |x|=0 $\iff$ x=0 ( аксиома неотрицательности и равенства нулю );
$\| \lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ ( аксиома однородности );
$\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$ ( аксиома треугольника )
$(x,y)^2\le \|x\|^2\cdot \|y\|^2$ ( неравенство Коши-Буняковского ).

Пусть n -мерные векторы a₁, a₂, ..., a_k. Вектор

$a=\lambda _1a_1+\lambda _2a_2 + \dotsc + \lambda _ka_k$

называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂,..., a_k .

Естественным базисом n-мерного пространства или базисными векторами называются векторы вида $\smu{2} e_1=(1,0,0,\dotsc,0)$ , $\smu{2} e_2=(0,1,0,\dotsc,0), \dotsc, e_n=(0,0,0,\dotsc,1)$ . Любой вектор n -мерного пространства является линейной комбинацией базисных векторов. Коэффициентами n -мерного вектора при представлении его в виде линейной комбинации базисных векторов служат координаты вектора.

Пример. Действительно, легко проверить, что любой вектор x=(x₁,x₂,...,x_n) представим как x=x₁ e₁+x₂e₂+...+x_n e_n.

Арифметический вектор x=(x₁, x₂, ..., x_n) из Eⁿ можно понимать как направленный отрезок в n -мерном геометрическом пространстве, а базис (e₁,e₂,...,e_n) - как попарно перпендикулярные орты n -мерной системы координат. Векторы x₁, x₂,...,x_k из n -мерного пространства называются линейно-независимыми, если равенство $c_1x_1+c_2x_2+\dotsc+c_kx_k=0, \quad c_i=\const$ справедливо только при нулевых значениях всех постоянных. Если равенство возможно при каком-то хотя бы одном $c_i\ne 0$ , то x₁, x₂, ..., x_k называют линейно-зависимыми .

Пример. Векторы e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e3=(0,0,1) линейно-независимы, так как справедлива эквивалентность: c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃= (c₁,c₂,c₃)=0 $\iff$ c₁=c₂=c₃. Векторы a_1=(1,2,3), a_2=(2,4,6) - линейно-зависимые, так как c₁a₁+c₂a₂=0 при c₁=2, c₂=-1.

Если векторы x₁, x₂,..., x_k линейно-зависимы, то по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных. Например, если $c_1\ne0$ , то

$x_1= -\frac {c_2}{c_1}\,x_2 - \frac {c_3}{c_1}\,x_3 -\dotsc - \frac {c_k}{c_1}\,x_k =\alpha _2x_2 +\alpha _3x_3 + \dotsc + \alpha _kx_k .$

Дальше >>

Введение в математику

Элементы линейной алгебры

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в математику

Элементы линейной алгебры

Вопросы и ответы

Студенты