НОУ ИНТУИТ | Основы информатики и программирования. Лекция 3: Высказывания и предикаты

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.09.2006 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный индустриальный университет

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Расширение понятия предиката

В реальных программах далеко не все переменные имеют логический тип, что означает невозможность их описания с помощью предикатов, введенных определением 3.9. Так, например, выражение i<3 для целочисленной переменной предикатом в смысле упомянутого определения заведомо не является, что плохо. Эти и некоторые другие причины побуждают расширить множество предикатов, что и будет сейчас сделано в три этапа.

Определение 3.17. Будем называть предикатом с переменными любых типов выражение, которое может быть получено из предиката (в смысле определения 3.9 ) заменой произвольного идентификатора на любое заключенное в скобки выражение логического типа с переменными различных типов. Вычисление значения получившегося предиката в произвольном состоянии немедленно сводится к вычислению значения исходного предиката .

Начиная с этого момента выражение $((i<3)\lor(j=0))$ — предикат, так как для него можно указать следующую цепочку вывода: $e \rightarrow (e\lor e) \rightarrow (id_1 \lor e) \rightarrow (id_1 \lor id_2) \rightarrow ((i<3) \lor id_2) \rightarrow ((i<3) \lor (j=0))$ . Множеством состояний этого предиката является пространство $\mathbb{Z}^2$ , так как каждая из двух входящих в него целых переменных может изменяться независимо от другой. Если и — программные переменные, то пространство $\mathbb{Z}^2$ следует заменить на $\mathbb{Z}_M^2$ .

Примером предиката, который определен в состоянии, в котором одна из входящих в него переменных не является определенной, может служить выражение P = ((a=0)||(b/a>0)) . В состоянии $s=\{(a,0), (b,U)\}$ он истинен: P(s)=T . Подобные предикаты возникают при описании фрагментов программ типа

if (a==0 || b/a > 0) ...

Следующим шагом в направлении расширения понятия предиката будет использование кванторов существования $\exists$ и всеобщности $\forall$ .

Если P(x) — предикат в смысле определения 3.17, зависящий от переменной произвольного типа, а — некоторое множество, то будем считать предикатами выражения $(\exists x ( x \in X \land P(x)))$ и $(\forall x ( x \in X \Rightarrow P(x)))$ . Первое из них означает, что существует хотя бы одно $x \in X$ для которого выполнено P(x) , а второе — что для всех $x \in X$ справедливо P(x) .

Часто вместо приведенных выше достаточно громоздких форм записи используют следующие более удобные, которые мы тоже будем считать допустимыми выражениями для предикатов.

$((\exists x \in X) P(x)) = (\exists x (x \in X \land P(x))),$

$((\forall x \in X) P(x)) = (\forall x (x \in X \Rightarrow P(x))).$

Когда используемое множество понятно из контекста, его опускают, что приводит к выражениям $(\exists x\ P(x))$ и $(\forall x\ P(x))$ .

Кроме кванторов существования и всеобщности иногда используют еще один квантор — квантор $\exists$ ! существования и единственности, который может быть определен с помощью двух основных кванторов следующим образом:

$((\exists !x ) P(x)) = (\exists x (P(x) \land \forall y (P(y) \Rightarrow (y = x)))).$

Использование кванторов в предикатах должно удовлетворять некоторым дополнительным ограничением. Связанным идентификатором будем называть идентификатор, непосредственно следующий в предикате за квантором, а свободным идентификатором — идентификатор, не являющийся связанным. Ограничение на использование кванторов в предикатах таково: в предикате один и тот же идентификатор не может быть как связанным, так и свободным, и, кроме того, идентификатор не может быть связан двумя различными кванторами.

В предикате $R = (\forall i (m\leqslant i<n \Rightarrow x*i>0))$ идентификатор является связанным (квантором $\forall$ ), а идентификаторы , и — свободными. Выражение $(i>0 \land (\forall i (m \leqslant i<n \Rightarrow x*i > 0)))$ предикатом мы считать не можем, ибо в нем является одновременно и свободным идентификатором и связанным, что недопустимо. Его легко слегка изменить так, чтобы оно стало предикатом: $(i>0 \land (\forall k ( m \leqslant k<n \Rightarrow x*k > 0)))$ — уже предикат.

Третьим шагом в направлении расширения множества языка предикатов будет ослабление требования на наличие в предикате всех тех скобок, которые возникают в процессе его вывода. Напомним, что с точки зрения определения 3.9 выражение $a\lor b$ , например, предикатом не является, что не слишком удобно с практической точки зрения.

Разрешим удалять из предиката все те пары скобок, которые можно опустить без потери его однозначного толкования. При этом семантика полученного предиката определяется приоритетом операций: сначала вычисляются выражения внутри скобок, затем — логические выражения, заменившие логические идентификаторы в смысле определения 3.17, после этого — кванторы существования и всеобщности, а затем — логические операции , $\lands$ и $\land$ , $\lors$ и $\lor$ , $\Rightarrow$ и, наконец, .

Таким образом, мы принимаем следующее определение.

Определение 3.18. Будем называть предикатом в расширенном смысле предикат с переменными любых типов (см. определение 3.17 ), который может содержать кванторы и не иметь скобок, не являющимися необходимыми для его однозначного толкования.

Подробное описание приоритетов операторов в программах на языке Java приведено в следующей секции текущего параграфа, а пока совет — в случае сомнения всегда применяйте скобки для достижения нужного порядка вычисления выражения. Этот совет актуален и для программ и для предикатов.

Рассмотрим, как решаются типичные задачи на вычисление значения предикатов в расширенном смысле в различных состояниях.

Задача 3.4. Вычислите значения предикатов $P_1 = (x=0\ \land\ x/(y-2)=0)$ и $P_2 = (x=0 \ \lands \ x/(y-2)=0)$ в состоянии $s = \{(x, 7), (y, 2)\}$ .

Решение Если восстановить в этих предикатах все недостающие скобки, то мы получим предикаты $P_3 = ((x=0) \land ((x/(y-2))=0))$ и $P_4 = ((x=0) \lands ((x/(y-2))=0))$ соответственно. В состоянии выражение (x=0) является ложным, ибо (7=0) = F , а x/(y-2) имеет значение (не определено). В соответствии с таблицами истинности для операций $\land$ и $\lands$ можно сделать вывод, что P_1(s) = U , а P_2(s) = F .

Задача 3.5. Вычислите значения предиката $P = (\exists i \ 0 \leqslant i \leqslant 9 \ (i^2 \leqslant 0)) \land (\forall j \ j^2 \geqslant k)$ в состоянии $s = \{(k, 0)\}$ .

Решение Предикат представляет из себя конъюнкцию двух предикатов, первый из которых — это $\exists i\ 0 \leqslant i \leqslant 9\ i^2 \leqslant 0$ , а второй в состоянии совпадает с $\forall j\ j^2 \geqslant 0$ . Так как при i=0 выполнено $i^2 \leqslant 0$ , то первый из них истинен, а истинность второго предиката не вызывает сомнений. Таким образом, предикат P(s) , являющийся конъюнкцией двух истинных выражений, сам является истинным, — P(s) = T .

Для дальнейшего нам полезно формализовать понятие подстановки, которое мы фактически уже неоднократно использовали для вычисления значения предиката в заданном состоянии.

Определение 3.19. Подстановкой E^x_e называется выражение, получающееся одновременной подстановкой вместо всех свободных вхождений в .

Вот несколько простых примеров: (x+y)^x_z 0= (z+y) ; для $E = x<y \land (\forall i \ i<n \ f(i)<y)$ имеем $E^y_{x+y} = x<x+y \land (\forall i\ i<n \ f(i)<x+y))$ , но E^i_k = E , так как не свободно в .