НОУ ИНТУИТ | Основы математического моделирования. Лекция 2: Основные понятия теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Условные вероятности

При анализе того или иного явления часто возникает вопрос о том, как влияет на возможность осуществления некоторого события наступление другого события . Простейшим примером связи событий и может служить следующее: наступление ведет к обязательному осуществлению события или, наоборот, наступление исключает возможность осуществления события . В теории вероятностей характеристикой связи событий и служит так называемая условная вероятность P(A|B) события при условии , определяемая как

$P(A|B)= \frac{P(AB)}{P(B)}$

( 2.4)

(предполагается, что вероятность события является положительной).

Величина P(A|B) может рассматриваться как вероятность осуществления события при условии наступления события . Поясним это на примере опыта с конечным числом равновероятных элементарных исходов $\omega$ . Пусть — число всех элементарных исходов, N(B) — число тех из них, которые приводят к наступлению события . В этом случае вероятности событий и суть $P(B)=\frac{N(B)}{N}$ и $P(AB)=\frac{N(AB)}{N}$ , так что условная вероятность P(A|B) выражается следующей формулой:

$P(A|B)=\frac{N(AB)}{N(B)}$

( 2.5)

.

Здесь N(B) — число всех элементарных исходов $\omega$ , возможных при условии наступления события , а N(AB) — число тех из них, которые приводят к осуществлению события . В соответствии с общей формулой 2.1. равенство 2.5. определяет вероятность события в новых условиях, которые возникают при наступлении события .

Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям. Именно,

$0\le P(A|B)\le 1;$

если наступление события исключает возможность осуществления $A(AB=\emptyset)$ , то

P(A|B)=0;

если событие ведет к обязательному осуществлению события $A(B\subseteq A)$ , то

P(A B)=1;

если событие есть объединение непересекающихся событий $A_1,A_2,...(A= \cup {A_k}_{\substack{k}}$ , то

$P(A|B)=\sum\limits_k P(A_k|B)$ .

Действительно, если $A(AB=\emptyset)$ , то есть и являются непересекающимися, то P(AB)=0 , откуда и P(A|B)=0 ; если $B\subseteq A$ , то AB=B и P(AB)=P(B) , что равносильно равенству P(A|B)=1 ; если событие есть объединение непересекающихся событий A_1,A_2,... , то произведение является объединением непересекающихся событий A_1B,A_2B,.. . и согласно формуле 2.3.

$P(AB)=\sum\limits_k P(A_kB)$

откуда и вытекает указанный выше закон сложения условных вероятностей.

При нахождении вероятности того или иного события бывает удобным сначала считать осуществившимся подходящим образом выбранное событие и определить условную вероятность P(A|B) как вероятность события в новых условиях, когда событие является достоверным. Если имеется некоторая полная система несовместных событий B=B_1,B_2,... , то есть таких, что хотя бы одно из них обязательно осуществится, то вероятность P(A) события выражается через соответствующие условные вероятности P(A|B) при помощи следующей формулы:

$P(A)=\sum\limits_k P(A|B_k)P(B_k)$

( 2.6)

.

Это соотношение называется формулой полной вероятности. Оно вытекает из закона сложения вероятностей. Действительно, объединение событий B_1,B_2,.. . по условию является достоверным событием $\mathop{\cup}\limits_k B_k=\Omega$ ; следовательно, $A=\mathop{\cup}\limits_k B_k$ и

$P(A)=\sum\limits_k P(AB_k)=\sum\limits_k \frac{P(AB_k)}{P(B_k)} P(B_k)$ .

Общая теоретико-вероятностная схема

Числовая величина $\xi$ , значения которой зависят от элементарных исходов $\omega\in\Omega$ , называется случайной величиной:

$\xi=\xi(\omega), \omega\in\Omega$ .

Говорят, что задано распределение вероятностей случайной величины $\xi$ , если определены вероятности $P\{x^{\prime}\le\xi\le x^{\prime\prime}\}$ всевозможных событий $\{x^{\prime}\le\xi\le x^{\prime\prime}\}$ , каждое из которых означает, что $\xi$ принимает одно из значений $x=\xi(\omega)$ в соответствующих пределах $\{x^{\prime}\le\xi\le x^{\prime\prime}\}$ .

Случайная величина $\xi$ имеет дискретное распределение (иначе, величина $\xi$ является дискретной), если в зависимости от элементарных исходов $\omega$ величина $\xi=\xi(\omega)$ принимает конечное или счетное число различных значений с соответствующими вероятностями $P_{\xi}(x)$ :

$P_{\xi}(x)=P\{\xi=x\}(x),// \sum\limits^{\infty}_{-\infty} P_{\xi}(x)=1$ .

Для таких величин

$P\{x^{\prime}\le\xi\le x^{\prime\prime}\}=\sum\limits_{x^{\prime}}^{x^{\prime\prime}} P_{\xi}(x)$

( 2.7)

(суммирование идет по конечному или счетному числу значений в пределах $x^{\prime}\le\xi\le x^{\prime\prime}$ , которые может принять дискретная случайная величина $\xi$ ).

Говорят, что $\xi=\xi(\omega)$ имеет непрерывное распределение вероятностей, если для любых $x^{\prime}$ и $x^{\prime\prime}$ $(x^{\prime}\le x^{\prime\prime})$

$P\{x^{\prime}\le\xi\le x^{\prime\prime}\}=\int\limits_{x^{\prime}}^{x^{\prime\prime}} p_{\xi}(x)dx$

( 2.8)

,

где $p_{\xi}(x)$ — некоторая неотрицательная интегрируемая функция,

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} p_{\xi}(x)dx=1$ ,

называемая плотностью распределения вероятностей величины $\xi$ .

Рассмотрим дискретную случайную величину $\xi$ . Говорят, что $\xi$ имеет математическое ожидание, если

$\sum\limits_{-\infty}^{\infty}|x|P\{\xi=x\}>\infty$ ;

математическим ожиданием (или средним значением ) называется выражение

$M\xi= \sum\limits_{-\infty}^{\infty}xP\{\xi=x\}$

( 2.9)

(суммирование идет по конечному или счетному числу значений $x,-\infty <\infty$ которые может принимать дискретная величина $\xi$ ).

Если задано распределение вероятностей случайной величины $\xi$ , то математическое ожидание случайной величины вида $\eta=\varphi (\xi)$ может быть подсчитано по следующей формуле:

$M\varphi (\xi)= \sum\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi (x)P_{\xi}(x)$

( 2.10)

,

где $\varphi=\varphi (x)$ — некоторая функция от .

Как видно из самого определения, математическое ожидание обладает следующими свойствами:

M1=1;

для любой постоянной

$M(c\xi )=cM\xi;$

для любых величин $\xi_1$ и $\xi_2$ имеющих математические ожидания $M \xi_1$ и $M \xi_2$ ,

$M(\xi_1+\xi_2)=M \xi_1+M \xi_2;$

( 2.11)

если $\xi\ge 0$ , то $M\xi\ge 0$

если $\xi_1 \le\xi_2$ , то

$M\xi_1 \le M\xi_2;$

( 2.12)

если случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы, то

$M(\xi_1 \xi_2)=M\xi_1 M\xi_2;$

( 2.13)

Математическое ожидание определяется и для непрерывно распределенных случайных величин. Именно, всякая случайная величина $\xi$ может быть сколь угодно точно аппроксимирована дискретными величинами. Например, если разбить действительную прямую $-\infty<x<\infty$ точками $x_{kn}$ , $-\infty<k<\infty$ так, чтобы

$\mathop{sup}\limits_k|x_{kn}-x_{k-1,n}|=\varepsilon$ ,

и определить дискретные случайные величины $\xi_n$ как

$\xi_n=x_{kn}$ при $x_{k-1}<\xi\le x_{kn}$ ,

то, очевидно, $|\xi - \xi_n|\le\varepsilon$ , где $\varepsilon > 0$ можно выбрать сколь угодно малыми. Если взять последовательность величин $\xi_n$ такого типа (n=1,2,3,...) , для которых