НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 14: Характеристические функции

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Доказательство ЗБЧ Хинчина

Пусть $\xi_1,\,\xi_2,\,\ldots$ - последовательность независимых в совокупности и одинаково распределенных случайных величин с конечным первым моментом ${{\mathsf E\,}|\xi_1|<\infty}$ . Обозначим через математическое ожидание ${\mathsf E\,}\xi_1$ . Требуется доказать, что

$\frac{S_n}{n}=\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}{n}{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}a.$

По свойству 26 сходимость по вероятности к постоянной эквивалентна слабой сходимости. Так как - постоянная, достаточно доказать слабую сходимость $\frac{S_n}{n}$ к . По теореме о непрерывном соответствии, эта сходимость имеет место тогда и только тогда, когда для любого $t\in\mathbb R$ сходятся характеристические функции

${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{S_n/n} (t) \to \phi_a(t)={\mathsf E\,} e^{ita} = e^{ita}.$

Найдем характеристическую функцию случайной величины $\frac{S_n}{n}$ . Пользуясь свойствами (Ф3) и (Ф4), получаем

${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{S_n/n} (t) = {\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{S_n}\Bigl(\frac{t}{n}\Bigr) = \left({\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{\xi_1}\Bigl(\frac{t}{n}\Bigr)\right)^n.$

Вспомним, что первый момент $\xi_1$ существует, поэтому свойство (Ф6) позволяет разложить ${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{\xi_1}(t)$ в ряд Тейлора в окрестности нуля:

${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{\xi_1}(t) = 1+it {\mathsf E\,}\xi_1+o(|t|)=1+ita+o(|t|).$

В точке

соответственно

${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{\xi_1}\Bigl(\frac{t}{n}\Bigr) = 1+\frac{ita}{n}+o\Bigl(\Bigl|\frac{t}{n}\Bigr|\Bigr),$

${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{S_n/n} (t) = \left(\phi_{\xi_1}\Bigl(\frac{t}{n}\Bigr)\right)^n= \left(1+\frac{ita}{n}+o\Bigl(\Bigl|\frac{t}{n}\Bigr|\Bigr)\right)^n.$

При $n\to\infty$ , пользуясь "замечательным пределом" ${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\to e^x$ , получаем

${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{S_n/n} (t) = \left(1+\frac{ita}{n}+o\Bigl(\Bigl|\frac{t}{n}\Bigr|\Bigr)\right)^n \to e^{ita},$

что и требовалось доказать.

Доказательство центральной предельной теоремы

Пусть $\xi_1,\,\xi_2,\,\ldots$ - последовательность независимых в совокупности и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание ${\mathsf E\,}\xi_1$ и через $\sigma^2$ - дисперсию ${\mathsf D\,}\xi_1$ . Требуется доказать, что

$\frac{S_n-na}{\sigma\sqrt{n}}= \frac{\xi_1+\ldots+\xi_n-na}{\sigma\sqrt{n}} \Rightarrow {\mathrm N}_{0,1}.$

Введем "стандартизованные" случайные величины $\zeta_i=(\xi_i-a)\mspace{1mu}/\mspace{1mu}\sigma$ - независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть Z_n есть их сумма:

$Z_n=\zeta_1+\ldots+\zeta_n=\frac{S_n-na}\sigma.$

Требуется доказать, что последовательность $\frac{Z_n}{\sqrt{n}}$ слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Характеристическая функция величины $\frac{Z_n}{\sqrt{n}}$ равна

$\begin{equation} {\vphantom{\sum\limits}\phi}_{Z_n\mspace{1mu}/\mspace{1mu}\sqrt{n}}\mspace{2mu}(t) = {\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{Z_n}\Bigl(\frac{t}{\sqrt{n}}\Bigr) = \Bigl({\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{\zeta_1}\Bigl(\frac{t}{\sqrt{n}}\Bigr)\Bigr)^n. \end{equation}$

( 25)

Характеристическую функцию случайной величины $\zeta_1$ можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты ${\mathsf E\,}\zeta_1=0$ , ${\mathsf E\,} \zeta_1^2={\mathsf D\,}\zeta_1=1$ :

${\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{\zeta_1}(t) = 1+it {\mathsf E\,}\zeta_1-\frac{t^2}{2} {\mathsf E\,}\zeta_1^2 +o(t^2)=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2).$

Подставим это разложение, взятое в точке $t/\sqrt{n}$ , в равенство (25) и устремим

к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

${\vphantom{\sum\limits}\phi}_{Z_n\mspace{1mu}/\mspace{1mu}\sqrt{n}}\mspace{2mu}(t)= \left({\vphantom{\textstyle\int}\phi}_{\zeta_1}\Bigl(\frac{t}{\sqrt{n}}\Bigr)\right)^n = \left(1-\frac{t^2}{2n}+o\Bigl(\frac{t^2}{n}\Bigr)\right)^n \!\to {\vphantom{\textstyle\int}e}^{-{t^2}\mspace{1mu}/\mspace{1mu}{2}} \text{ при } n\to\infty.$

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости

$\qquad \frac{Z_n}{\sqrt{n}} = \frac{S_n-na}{\sigma\sqrt{n}} \Rightarrow {\mathrm N}_{0,1}. \qquad$

Дальше >>

Введение в теорию вероятностей

Лекция 14: Характеристические функции

Доказательство ЗБЧ Хинчина

Доказательство центральной предельной теоремы

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Лекция 14: Характеристические функции

Доказательство ЗБЧ Хинчина

Доказательство центральной предельной теоремы

Вопросы и ответы

Студенты