НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Теорема 34. Пусть $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi$ при $n\to\infty$ . Тогда для сходимости ${\mathsf E\,}\xi_n\to{\mathsf E\,}\xi$ достаточно выполнения любого из следующих условий:

Все члены последовательности ограничены одной и той же постоянной: $|\xi_n|\leq C=const$ .
Все члены последовательности ограничены одной и той же случайной величиной с конечным первым моментом: $|\xi_n|\leq \eta$ , $\mathsf E \eta< \infty$
Существует $\alpha>1$ такое, что ${\mathsf E\,}|\xi_n|^{\alpha}<C$ при всех .

Самым слабым в этом списке является третье условие, наиболее ограничительным - первое. Ни одно из этих условий не является необходимым для сходимости математических ожиданий.

Сходимость по вероятности, так же как и любая другая сходимость, не портится под действием непрерывной функции.

Свойство 21. Пусть функция действует из $\mathbb R$ в $\mathbb R$ .

Если $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi$ и функция непрерывна, то $g(\xi_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} g(\xi)$ .
Если $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} c$ и непрерывна в точке , то $g(\xi_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} g(c)$ .

Доказательство. Простое доказательство первого утверждения можно предложить в двух случаях, которыми мы и ограничимся: если $\xi=c=\text{const}$ (и тогда достаточно, чтобы была непрерывна в точке ) или если функция равномерно непрерывна.

И в том и в другом случае для любого ${\varepsilon}>0$ найдется такое ${\delta>0,}$ что для любого $\omega$ , удовлетворяющего условию $|\xi_n(\omega)-\xi(\omega)|<\delta$ , выполняется неравенство $|g(\xi_n(\omega))-g(\xi(\omega))|<{\varepsilon}$ .

Другими словами, событие $\bigl\{|\xi_n-\xi|<\delta\bigr\}$ влечет за собой событие ${\bigl\{|g(\xi_n)-g(\xi)|<{\varepsilon}\bigr\}.}$ Следовательно, вероятность первого не больше вероятности второго. Но, какое бы ни было $\delta>0$ , вероятность первого события стремится к единице по определению сходимости по вероятности:

$1\longleftarrow\Prob\bigl(|\xi_n-\xi|<\delta\bigr)\le \Prob\bigl(|g(\xi_n)-g(\xi)|<{\varepsilon}\bigr)\le 1.$

Тогда вероятность второго события также стремится к единице.

То же самое можно утверждать и для непрерывной функции многих переменных, примененной к нескольким сходящимся последовательностям.

Свойство 22. Пусть функция отображает $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$ .

Если $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi$ , $\eta_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \eta$ при $n\to\infty$ , функция $g(x,\,y)$ всюду непрерывна, то $g(\xi_n,\,\eta_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} g(\xi,\,\eta)$ .
Если $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} c_1$ , $\eta_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} c_2$ при $n\to\infty$ , функция непрерывна в точке $(c_1,\,c_2)$ , то $g(\xi_n,\,\eta_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} g(c_1,\,c_2)$ .

Доказательство. Докажем опять только второе свойство. Воспользуемся определением непрерывности функции двух переменных: для любого ${\varepsilon}>0$ найдется такое ${\delta>0,}$ что для любого $\omega$ , принадлежащего одновременно двум событиям

$A_n=\bigl\{|\xi_n(\omega)-c_1|<\delta\bigr\}, \qquad B_n=\bigl\{|\eta_n(\omega)-c_2|<\delta\bigr\},$

выполняется неравенство

$|g(\xi_n(\omega),\,\eta_n(\omega))-g(c_1,\,c_2)|<{\varepsilon}.$

Тогда событие $A_n\cap B_n$ влечет событие $C={\bigl\{|g(\xi_n,\,\eta_n)-g(c_1,\,c_2)|<{\varepsilon}\bigr\},}$ поэтому вероятность первого не больше вероятности второго. Но вероятность пересечения двух событий, вероятности которых стремятся к единице, также стремится к единице:

$\Prob(A_n\cap B_n) = 1-\Prob\bigl(\overline{A_n} \cup \overline{B_n}\bigr) \geq 1-\Prob\bigl(\overline{A_n}\bigr) - \Prob\bigl(\overline{B_n}\bigr) \to 1.$

Поэтому $\Prob(C)\geq \Prob(A_n\cap B_n)\to 1$ при $n\to\infty$ .

Из свойства 22 вытекают обычные свойства пределов, хорошо знакомые нам по числовым последовательностям. Например, функции ${g(x,\,y)=x+y}$ и $g(x,\,y)=xy$ непрерывны в $\mathbb R^2$ , поэтому предел суммы (произведения) сходящихся по вероятности последовательностей равен сумме (произведению) пределов.

Свойство 23. Если $\xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi$ и $\eta_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\eta$ , то $\xi_n+\eta_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi+\eta\mspace{1mu}$ и $\xi_n\cdot\eta_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi\cdot\eta\mspace{1mu}\vphantom{\int_{b_b}}$ .

Сходимость "почти наверное" сильнее сходимости по вероятности.

Свойство 24. Если $\xi_n\to\xi$ п.н., то $\xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi$ .

Доказательство. Ограничимся для простоты случаем, когда $\xi_n(\omega)\to\xi(\omega)$ для любого $\omega$ . Зафиксируем $\omega\in\Omega$ . По определению предела, $\xi_n(\omega)\to\xi(\omega)$ при $n\to\infty$ , если для всякого ${\varepsilon}>0$ найдется $N=N(\omega,\,{\varepsilon})\ge 0$ такое, что для всех n> N выполняется неравенство $|\xi_n(\omega)-\xi(\omega)|<{\varepsilon}$ .