НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 6: Случайные величины и их распределения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Функция распределения

Описание распределения набором вероятностей $\Prob(\xi\in B)$ не очень удобно: слишком много существует борелевских множеств. Мы описали дискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные - плотностью распределения. Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.

Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностей попадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя ли обойтись знанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Борелевская $\sigma$ -алгебра $\mathfrak{B}(\mathbb R)$ порождается интервалами (равно как и лучами $(-\infty,\,x)$ ), поэтому можно ограничиться только вероятностями попадания в такие лучи для всех $x\in\mathbb R$ . А уже с их помощью можно будет определить и вероятность попасть в любое борелевское множество.

Замечание. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы $(-\infty,\,x]$ , или в $(x,\,\infty)$ , или в $[x,\,\infty)$ .

Определение 27. Функцией распределения случайной величины $\xi$ называется функция $F_\xi: \mathbb R\to [0,\,1]$ , при каждом $x\in\mathbb R$ равная вероятности случайной величине $\xi$ принимать значения, меньшие :

$F_\xi(x)=\Prob(\xi< x)=\Prob\{\omega\,:\,\xi(\omega)<x\}.$

Общие свойства функций распределения.

Теорема 21. Любая функция распределения обладает свойствами:

(F1) она не убывает: если x_1<x_2 , то $F_\xi(x_1)\le F_\xi(x_2);$

(F2) cуществуют пределы $\smash{\lim\limits_{x\to-\infty}}F_\xi(x)=0$ и $\smash{\lim\limits_{x\to+\infty}}F_\xi(x)=1;$

(F3) она в любой точке непрерывна слева

$F_\xi(x_0-0)=\lim_{x\to x_0-0}F_\xi(x)=F_\xi(x_0).$

Доказательство свойства (F1) Для любых чисел x_1<x_2 событие ${\{\xi<x_1\}}$ влечет событие $\{\xi<x_2\}$ , т.е. $\{\xi<x_1\} \subseteq \{\xi<x_2\}$ . Но вероятность - монотонная функция событий, поэтому

$\qquad F_\xi(x_1)=\Prob\{\xi<x_1\}\,\le \,\Prob\{\xi<x_2\}=F_\xi(x_2).\qquad$

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры (теорема 7).

Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции $F_\xi(x)$ . Остается лишь доказать равенства $\lim\limits_{x\to-\infty}F_\xi(x)=0$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}F_\xi(x)=1$ и $\lim\limits_{x\to x_0-0}F_\xi(x)=F_\xi(x_0)$ . Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности $\{x_n\}$ , так как существование предела влечет совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что $F_\xi(-n)\to 0$ при ${n\to\infty}$ . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий $B_n=\{\xi<-n\}$ :

$B_{n+1}=\bigl\{\xi<-(n{+}1)\bigr\} \subseteq B_n=\bigl\{\xi<-n\bigr\} \ \textrm{ для любых } n\geq 1.$

Пересечение

всех этих событий состоит из тех и только тех $\omega$ , для которых $\xi(\omega)$ меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода $\omega$ значение $\xi(\omega)$ вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий B_n

не содержит элементарных исходов, т.е. $B=\bigcap B_n=\emptyset$ . По свойству непрерывности меры, $F_\xi(-n)=\Prob(B_n)\to \Prob(B)=0$ при $n\to\infty$ .

Точно так же докажем остальные свойства.

Покажем, что $F_\xi(n)\to 1$ при $n\to\infty$ , т.е. $1{-}F_\xi(n)=\Prob(\xi\ge n)\to 0$ . Обозначим через B_n событие $B_n=\{\xi\geq n\}$ . События B_n вложены:

$B_{n+1}=\bigl\{\xi \geq (n+1)\bigr\} \subseteq B_n=\bigl\{\xi \geq n\bigr\} \ \textrm{ для любых } n\geq 1,$

а пересечение

этих событий снова пусто: оно означает, что $\xi$ больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры,

$\qquad 1-F_\xi(n)=\Prob(B_n)\to \Prob(B)=0 \text{ при } n\to\infty. \qquad$

Доказательство свойства (F3). Достаточно доказать, что $F_\xi(x_0-1/n)\to F_\xi(x_0)$ при $n\to\infty$ . Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности:

$F_\xi(x_0) - F_\xi\Bigl(x_0-\frac{1}{n}\Bigr)= \Prob(\xi<x_0)-\Prob\Bigl(\xi<x_0-\frac{1}{n}\Bigr)= \Prob\Bigl(x_0-\frac{1}{n}\le\xi<x_0\Bigr).$

Осталось обозначить событие $\{x_0-{1}/{n}\le\xi<x_0\}$ через B_n и снова воспользоваться свойством непрерывности меры.

Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения. То, что любая функция распределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.

Теорема 22. Если функция $F:\mathbb R\to[0,1]$ удовлетворяет свойствам (F1)-(F3) , то есть функция распределения некоторой случайной величины $\xi$ , т.е. найдется вероятностное пространство $\langle\Omega,\mathcal F,\Prob\rangle$ и случайная величина $\xi$ на нем такая, что $F(x)\equiv F_\xi(x)$ .

Помимо отмеченных в теореме 21, функции распределения обладают следующими свойствами:

Свойство 8. В любой точке x_0 разница $F_\xi(x_0+0)-F_\xi(x_0)$ равна $\Prob(\xi=x_0)$ . Иначе говоря, $F_\xi(x_0+0)=F_\xi(x_0)+ \Prob(\xi=x_0)=\Prob(\xi\le x_0)$ .

Это свойство получается аналогично свойствам (F2) и (F3)).

Разница $F_\xi(x_0+0)-F_\xi(x_0)$ между пределом при стремлении к x_0 справа и значением в точке x_0 есть величина скачка функции распределения. Эта величина равна нулю, если функция распределения непрерывна (справа) в точке x_0 . Слева функция распределения непрерывна всегда.

Замечание Очень часто функцией распределения называют $\Prob(\xi \le x)$ . Эта функция отличается от определенной выше лишь тем, что она непрерывна справа, а не слева. И вероятность $\Prob(\xi=x_0)$ для нее равна величине скачка слева, а не справа.

Свойство 9. Для любой случайной величины $\xi$

$\Prob(a\le\xi<b)=F_\xi(b)-F_\xi(a).$

Если $F_\xi(x)$ непрерывна в точках

и

, то

$\Prob(a<\xi<b)=\Prob(a\le\xi\le b)= \Prob(a<\xi\le b)=F_\xi(b)-F_\xi(a).$

Доказательство. Разобьем событие $\{\xi<b\}$ в объединение несовместных событий: $\{\xi<a\}\cup\{a\le\xi<b\}=\{\xi<b\}$ . По свойству аддитивности вероятности,

$\Prob\{\xi<a\}+\Prob\{a\le\xi<b\}=\Prob\{\xi<b\},$

или $F_\xi(a)+\Prob\{a\le\xi<b\}=F_\xi(b)$ , что и требовалось доказать.

Функция распределения дискретного распределения.

Согласно определению дискретного распределения, его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так:

$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\sum_{k\,:\, a_k<x} \Prob(\xi=a_k).$

Из свойств 8 и 9 вытекает следующее свойство.

Свойство 10. Случайная величина $\xi$ имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения $F_\xi(x)$ имеет в точках a_i скачки с величиной $p_i=\Prob(\xi=a_i)=F_\xi(a_i+0)-F_\xi(a_i)$ , и растет только за счет скачков.

Дальше >>

Введение в теорию вероятностей

Случайные величины и их распределения

Функция распределения

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Случайные величины и их распределения

Функция распределения

Вопросы и ответы

Студенты